icon icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Вписанный и описанный четырехугольники

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82^{\circ} и 58^{\circ}. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^{\circ}. Пусть угол A равен 82^{\circ}. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол B равен 58^{\circ}, то угол D равен 180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Рисунок к задаче 2

Пусть сторона AB равна x, AD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
x+3x=BC + 2x
Получается, что BC равна 2x. Тогда периметр четырехугольника равен 8x. Мы получаем, что x=4, а большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Рисунок к задаче 3

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d, и значит, периметр равен 2\left( a+c \right).
Получаем, что a+c=40, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^{\circ}.

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Поделиться страницей

Это полезно

Сдай ЕГЭ по географии на 90+
- Что такое ЕГЭ по Географии?
- Сложно или легко сдавать ЕГЭ по географии на 80+?
- Как подготовится к ЕГЭ по географии?
Онлайн-курс Физика 100 баллов
Параметры на ЕГЭ
по профильной математике 2021