Две окружности пересекаются в точках \(P\) и \(Q\). Прямая, проходящая через точку \(P\), второй раз пересекает первую окружность в точке \(A\), а вторую – в точке \(D\). Прямая, проходящая через точку \(Q\) параллельно \(AD\), второй раз пересекает первую окружность в точке \(B\), а вторую – в точке \(C.\)
а) Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
б) Найдите отношение \(BP : PC\), если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Решение:
а) Докажем, что \(ABCD\) – параллелограмм.
\(AD \parallel BC\) по условию, тогда \(ABQP\) – трапеция, вписанная в окружность, следовательно \(AB=PQ\) (трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая).
Пусть \(\angle ABQ = \alpha\), тогда \(\angle BQP = \alpha, \ \angle APQ = 180^{\circ} - \alpha.\)
Углы \(BQP\) и \(PQC\) – смежные, \(\angle BQP = 180^{\circ} - \alpha\), значит, \(\angle QCD = 180^{\circ} - \alpha.\)
Получим, что \(\angle ABQ = \angle QCD = 180^{\circ};\)
\( \angle ABQ\) и \( \angle QCD\) – соответственные, значит, \(AB \parallel CD, \ ABCD\) – параллелограмм.
б) Пусть \(R=2r\); найдём \(BP:PC.\)
\(\triangle ABP\) вписан в окружность.
По теореме синусов, \(\displaystyle \frac{BP}{sin \angle BAP} = 2R.\)
Аналогично, \(\triangle PQC\) вписан в окружность \(\displaystyle \frac{PC}{sin \angle PQC} = 2r;\)
\(\angle BAP = \angle PQC\) (из пункта (а)), тогда \(\displaystyle \frac{BP}{PC} = \frac{R}{r} = 2.\)
