Вариант 12, задача 16 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$ . Прямая, проходящая через точку $P$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую – в точке $D$ . Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $B$ , а вторую – в точке $C$ .

а) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP : PC$ , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

а) Докажем, что $ABCD$ – параллелограмм.

$AD \parallel BC$ по условию, тогда $ABQP$ – трапеция, вписанная в окружность, следовательно $AB=PQ$ (трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая).

Пусть $\angle ABQ = \alpha$ , тогда $\angle BQP = \alpha$ , $\angle APQ = 180^{\circ} - \alpha$ . Углы $BQP$ и $PQC$ – смежные, $\angle BQP = 180^{\circ} - \alpha$ , значит, $\angle QCD = 180^{\circ} - \alpha$ .