Две окружности пересекаются в точках и
. Прямая, проходящая через точку
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
. Прямая, проходящая через точку
параллельно
, второй раз пересекает первую окружность в точке
, а вторую – в точке
.
а) Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.
б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
а) Докажем, что – параллелограмм.
по условию, тогда
– трапеция, вписанная в окружность, следовательно
(трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая).
Пусть , тогда
,
. Углы
и
– смежные,
, значит,
.
Получим, что ;
и
– соответственные, значит,
,
– параллелограмм.
б) Пусть ; найдём
.
вписан в окружность;
По теореме синусов, ;
Аналогично, вписан в окружность
;
(из пункта (а)), тогда
.