previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 12, задача 16

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение BP : PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

а) Докажем, что ABCD – параллелограмм.

AD \parallel BC по условию, тогда ABQP – трапеция, вписанная в окружность, следовательно AB=PQ (трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая).

Пусть \angle ABQ = \alpha, тогда \angle BQP = \alpha, \angle APQ = 180^{\circ} - \alpha. Углы BQP и PQC – смежные, \angle BQP = 180^{\circ} - \alpha, значит, \angle QCD = 180^{\circ} - \alpha.

Получим, что \angle ABQ = \angle QCD = 180^{\circ};

\angle ABQ и \angle QCD – соответственные, значит, AB \parallel CD, ABCD – параллелограмм.

б) Пусть R=2r; найдём BP:PC.

\triangle ABP вписан в окружность;

По теореме синусов, \frac{BP}{sin \angle BAP} = 2R;

Аналогично, \triangle PQC вписан в окружность \frac{PC}{sin \angle PQC} = 2r;

\angle BAP = \angle PQC (из пункта (а)), тогда \frac{BP}{PC} = \frac{R}{r} = 2.