Вариант 12, задача 16 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$ . Прямая, проходящая через точку $P$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую – в точке $D$ . Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$ , второй раз пересекает первую окружность в точке $B$ , а вторую – в точке $C$ .

а) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP : PC$ , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

а) Докажем, что $ABCD$ – параллелограмм.

$AD \parallel BC$ по условию, тогда $ABQP$ – трапеция, вписанная в окружность, следовательно $AB=PQ$ (трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая).

Пусть $\angle ABQ = \alpha$ , тогда $\angle BQP = \alpha$ , $\angle APQ = 180^{\circ} - \alpha$ .

Углы $BQP$ и $PQC$ – смежные, $\angle BQP = 180^{\circ} - \alpha$ , значит, $\angle QCD = 180^{\circ} - \alpha$ .

Получим, что $\angle ABQ = \angle QCD = 180^{\circ}$ ;

$\angle ABQ$ и $\angle QCD$ – соответственные, значит, $AB \parallel CD$ , $ABCD$ – параллелограмм.

б) Пусть $R=2r$ ; найдём $BP:PC$ .

$\triangle ABP$ вписан в окружность.

По теореме синусов, $\frac{BP}{sin \angle BAP} = 2R$ .

Аналогично, $\triangle PQC$ вписан в окружность $\frac{PC}{sin \angle PQC} = 2r$ ;

$\angle BAP = \angle PQC$ (из пункта (а)), тогда $\frac{BP}{PC} = \frac{R}{r} = 2$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 12, задача 16» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.09.2023

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 12, задача 16

Это полезно