Дан остроугольный треугольник \(ABC\). Биссектриса внутреннего угла при вершине \(B\) пересекает биссектрису внешнего угла при вершине \(C\) в точке \(M\), а биссектриса внутреннего угла при вершине \(C\) пересекает биссектрису внешнего угла при вершине \(B\) в точке \(N\).
а) Докажите, что угол \(ABC\) в два раза больше угла \(CNM\).
б) Найдите \(CN\), если \(AB = AC = 13\), \(BC = 10\).
а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит, \(\angle MBN= \angle MCN=90^{\circ}.\)
Отрезок \(MN\) виден из точек \(B\) и \(C\) под прямым углом, значит, точки \(M, C, B, N\) лежат на одной окружности, тогда \(\angle CNM = \angle CBM\) (опирается на дугу \(CM\)).
\(\angle CNB=\frac{1}{2} \angle ABC,\) ч.т.д.
б) Пусть \(AB=AC=13\), \(BC=10.\)
\(\triangle ABC\) – равнобедренный. Найдём \(CN\). В пункте (а) мы доказали, что точки \(B, N, M, C\) лежат на одной окружности. Пусть \(MC \cap NB=P;\) \(\triangle CBP\) – равнобедренный.
Пусть \(\angle ACB=\angle AB=2 \alpha;\)
\(\angle BCP=\angle MCA=90^{\circ}- \alpha;\)
Из \(\triangle CPB=180^{\circ}-2\cdot \angle BCP=180^{\circ}-2\cdot(90^{\circ}-\alpha)=2 \alpha.\)
Рассмотрим \(\triangle MPN.\) В нём \(MB\) и \(NC\) – высоты; \(cos \angle CPB=cos2 \alpha.\)
Пусть \(H\) – середина \(BC\); \(\triangle ABC\) – равнобедренный, \(AH\) – медиана и высота \(\triangle ABC\).
Тогда из \(\triangle ACH\): \(cos \angle ACH= \frac{CH}{AC}= \frac{5}{13}= cos2 \alpha.\)
\(\triangle ACH \sim \triangle NPC\) по двум углам; \(\frac{AH}{CN}=\frac{CH}{CP}.\)
Из \(\triangle ACH\) найдём \(AH=12.\) Найдём \(CP\). Из \(\triangle HCP\), \(\angle H=90^{\circ}\), получим: \(\frac{HC}{CP} = sin \alpha.\)
Найдём \(sin\alpha\), зная, что \(cos2\alpha=\frac{5}{13}.\)
По формуле косинуса двойного угла, \(cos2\alpha=1-sin^{2}\alpha;\)
\(2sin^{2} \alpha = 1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13};\)
\(sin^{2} \alpha = \frac{4}{13}\); так как \(\angle\alpha\) – острый;
\(sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}.\) Тогда \(\frac{5}{CP}=\frac{2}{\sqrt{13}};\)
\(CP=\frac{5\sqrt{13}}{2}\); \(CN = \frac{AH \cdot CP}{CH} = \frac{12 \cdot 5 \sqrt{13}}{2\cdot5}=6\sqrt{13}\).
Несложно доказать, что точка \(A\) лежит на прямой \(MN\) (хотя при решении это и не понадобилось).
