Вариант 2, задача 16 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

Дан остроугольный треугольник $ABC$ . Биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $C$ в точке $M$ , а биссектриса внутреннего угла при вершине $C$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $B$ в точке $N$ .

а) Докажите, что угол $ABC$ в два раза больше угла $CNM$ .

б) Найдите $CN$ , если $AB = AC = 13$ , $BC = 10$ .

а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит, $\angle MBN= \angle MCN=90^{\circ}.$

Отрезок $MN$ виден из точек $B$ и $C$ под прямым углом, значит, точки $M, C, B, N$ лежат на одной окружности, тогда $\angle CNM = \angle CBM$ (опирается на дугу $CM$ ).

$\angle CNB=\frac{1}{2} \angle ABC,$ ч.т.д.

б) Пусть $AB=AC=13$ , $BC=10.$

$\triangle ABC$ – равнобедренный. Найдём $CN$ . В пункте (а) мы доказали, что точки $B, N, M, C$ лежат на одной окружности. Пусть $MC \cap NB=P;$ $\triangle CBP$ – равнобедренный.

Пусть $\angle ACB=\angle AB=2 \alpha;$

$\angle BCP=\angle MCA=90^{\circ}- \alpha;$

Из $\triangle CPB=180^{\circ}-2\cdot \angle BCP=180^{\circ}-2\cdot(90^{\circ}-\alpha)=2 \alpha.$

Рассмотрим $\triangle MPN.$ В нём $MB$ и $NC$ – высоты; $cos \angle CPB=cos2 \alpha.$

Пусть $H$ – середина $BC$ ; $\triangle ABC$ – равнобедренный, $AH$ – медиана и высота $\triangle ABC$ .

Тогда из $\triangle ACH$ : $cos \angle ACH= \frac{CH}{AC}= \frac{5}{13}= cos2 \alpha.$

$\triangle ACH \sim \triangle NPC$ по двум углам; $\frac{AH}{CN}=\frac{CH}{CP}.$

Из $\triangle ACH$ найдём $AH=12.$ Найдём $CP$ . Из $\triangle HCP$ , $\angle H=90^{\circ}$ , получим: $\frac{HC}{CP} = sin \alpha.$

Найдём $sin\alpha$ , зная, что $cos2\alpha=\frac{5}{13}.$

По формуле косинуса двойного угла, $cos2\alpha=1-sin^{2}\alpha;$

$2sin^{2} \alpha = 1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13};$

$sin^{2} \alpha = \frac{4}{13}$ ; так как $\angle\alpha$ – острый;

$sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}.$ Тогда $\frac{5}{CP}=\frac{2}{\sqrt{13}};$

$CP=\frac{5\sqrt{13}}{2}$ ; $CN = \frac{AH \cdot CP}{CH} = \frac{12 \cdot 5 \sqrt{13}}{2\cdot5}=6\sqrt{13}$ .

Несложно доказать, что точка $A$ лежит на прямой $MN$ (хотя при решении это и не понадобилось).

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 2, задача 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 2, задача 16

Это полезно