Вариант 2, задача 16 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

Дан остроугольный треугольник $ABC$ . Биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $C$ в точке $M$ , а биссектриса внутреннего угла при вершине $C$ пересекает биссектрису внешнего угла при вершине $B$ в точке $N$ .

а) Докажите, что угол $ABC$ в два раза больше угла $CNM$ .

б) Найдите $CN$ , если $AB = AC = 13$ , $BC = 10$ .

а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит, $\angle MBN= \angle MCN=90^{\circ}.$

Отрезок $MN$ виден из точек $B$ и $C$ под прямым углом, значит точки $M, C, B, N$ лежат на одной окружности, тогда $\angle CNM = \angle CBM$ (опирается на дугу $CM$ )

$\angle CNB=\frac{1}{2} \angle ABC,$ ч.т.д.

б) Пусть $AB=AC=13$ , $BC=10;$

$\triangle ABC$ – равнобедренный. Найдём $CN$ . В пункте (а) мы доказали, что точки $B, N, M, C$ лежат на одной окружности. Пусть $MC \cap NB=P;$

$\triangle CBP$ – равнобедренный. Пусть $\angle ACB=\angle AB=2 \alpha;$

$\angle BCP=\angle MCA=90^{\circ}- \alpha;$

Из $\triangle CPB=180^{\circ}-2\cdot \angle BCP=180^{\circ}-2\cdot(90^{\circ}-\alpha)=2 \alpha;$

Рассмотрим $\triangle MPN.$ В нём $MB$ и $NC$ – высоты; $cos \angle CPB=cos2 \alpha.$ Пусть $H$ – середина $BC$ ; $\triangle ABC$ – равнобедренный, $AH$ – медиана и высота $\triangle ABC$ . Тогда из $\triangle ACH$ : $cos \angle ACH= \frac{CH}{AC}= \frac{5}{13}= cos2 \alpha.$