previous arrow
next arrow
Slider

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 2, задача 16

Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.

а) Докажите, что угол ABC в два раза больше угла CNM.

б) Найдите CN, если AB = AC = 13, BC = 10.

 

а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит, \angle MBN= \angle MCN=90^{\circ}.

Отрезок MN виден из точек B и C под прямым углом, значит точки M, C, B, N лежат на одной окружности, тогда \angle CNM = \angle CBM (опирается на дугу CM)

\angle CNB=\frac{1}{2} \angle ABC, ч.т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Пусть AB=AC=13, BC=10;

\triangle ABC – равнобедренный. Найдём CN. В пункте (а) мы доказали, что точки B, N, M, C лежат на одной окружности. Пусть MC \cap NB=P;

\triangle CBP – равнобедренный. Пусть \angle ACB=\angle AB=2 \alpha;

\angle BCP=\angle MCA=90^{\circ}- \alpha;

Из \triangle CPB=180^{\circ}-2\cdot \angle BCP=180^{\circ}-2\cdot(90^{\circ}-\alpha)=2 \alpha;

Рассмотрим \triangle MPN. В нём MB и NC – высоты; cos \angle CPB=cos2 \alpha. Пусть H – середина BC; \triangle  ABC – равнобедренный, AH – медиана и высота \triangle ABC. Тогда из \triangle ACH: cos \angle ACH= \frac{CH}{AC}= \frac{5}{13}= cos2 \alpha.

\triangle ACH \sim \triangle NPC по двум углам; \frac{AH}{CN}=\frac{CH}{CP}.

Из \triangle ACH найдём AH=12. Найдём CP. Из \triangle HCP, \angle H=90^{\circ}, получим: \frac{HC}{CP} = sin \alpha.

Найдём sin\alpha, зная, что cos2\alpha=\frac{5}{13}.

По формуле косинуса двойного угла, cos2\alpha=1-sin^{2}\alpha;

2sin^{2} \alpha = 1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13};

sin^{2} \alpha = \frac{4}{13}; так как \angle\alpha – острый,

sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}. Тогда \frac{5}{CP}=\frac{2}{\sqrt{13}};

CP=\frac{5\sqrt{13}}{2}; CN = \frac{AH \cdot CP}{CH} = \frac{12 \cdot 5 \sqrt{13}}{2\cdot5}=6\sqrt{13}.

Несложно доказать, что точка A лежит на прямой MN (хотя при решении это и не понадобилось)