Дан остроугольный треугольник . Биссектриса внутреннего угла при вершине
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине
в точке
, а биссектриса внутреннего угла при вершине
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине
в точке
.
а) Докажите, что угол в два раза больше угла
.
б) Найдите , если
,
.
а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит,
Отрезок виден из точек
и
под прямым углом, значит, точки
лежат на одной окружности, тогда
(опирается на дугу
).
ч.т.д.
б) Пусть ,
– равнобедренный. Найдём
. В пункте (а) мы доказали, что точки
лежат на одной окружности. Пусть
– равнобедренный.
Пусть
Из
Рассмотрим В нём
и
– высоты;
Пусть – середина
;
– равнобедренный,
– медиана и высота
.
Тогда из :
по двум углам;
Из найдём
Найдём
. Из
,
, получим:
Найдём , зная, что
По формуле косинуса двойного угла,
; так как
– острый;
Тогда
;
.
Несложно доказать, что точка лежит на прямой
(хотя при решении это и не понадобилось).
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 2, задача 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023