Дан остроугольный треугольник . Биссектриса внутреннего угла при вершине
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине
в точке
, а биссектриса внутреннего угла при вершине
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине
в точке
.
а) Докажите, что угол в два раза больше угла
.
б) Найдите , если
,
.
а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит,
Отрезок виден из точек
и
под прямым углом, значит точки
лежат на одной окружности, тогда
(опирается на дугу
)
ч.т.д.
б) Пусть ,
– равнобедренный. Найдём
. В пункте (а) мы доказали, что точки
лежат на одной окружности. Пусть
– равнобедренный. Пусть
Из
Рассмотрим В нём
и
– высоты;
Пусть
– середина
;
– равнобедренный,
– медиана и высота
. Тогда из
:
по двум углам;
Из найдём
Найдём
. Из
,
, получим:
Найдём , зная, что
По формуле косинуса двойного угла,
; так как
– острый,
Тогда
;
.
Несложно доказать, что точка лежит на прямой
(хотя при решении это и не понадобилось)