На продолжении стороны \(AC\) за вершину \(A\) треугольника \(ABC\) отложен отрезок \(AD\), равный стороне \(AB\). Прямая, проходящая через точку \(A\) параллельно \(BD\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M.\)
а) Докажите, что луч \(AM\) – биссектриса угла \(BAC.\)
б) Найдите площадь трапеции \(AMDB\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 180 и известно отношение \(AC : AB = 3 : 2.\)
Решение:
а) Пусть \(K\) – середина \(BD, \ AK\) – медиана, высота и биссектриса \(\triangle ABD;\) (\(\triangle ABD\) – равнобедренный);
\(\angle KBA=\angle BAM\) (накрест лежащие).
Пусть \(\angle BDA=\angle DBA=\alpha\); тогда \(\angle BAD=180^{\circ}-2 \alpha.\)
\(\angle BAC=2\alpha\) (внешний угол \(\triangle BAD\)).
Значит, \(\angle BAM=\displaystyle \frac{1}{2}\angle BAC; \ AM\) – биссектриса угла \(BAC.\)
б) Найти \(S_{AMBD}\), если \(S_{\triangle ABC}=180, \ \displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}.\)
По свойству биссектрисы треугольника, \(\displaystyle \frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2};\)
\(S_{\triangle AMC}=\displaystyle \frac{3}{5}\cdot S_{\triangle ABC}=108;\)
\(\triangle DBC \sim \triangle AMC; \ k=\displaystyle \frac{MC}{BC}=\frac{3}{5}; \)
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle DBC}}=k^2=\left (\displaystyle \frac{3}{5}\right )^2;\)
\(S_{\triangle AMC}=\left (\displaystyle \frac{3}{5}\right )^2\cdot S_{\triangle DBC};\)
\(S_{\triangle DBC}=\displaystyle \frac{25}{9}\cdot S_{\triangle AMC}=\displaystyle \frac{25}{9}\cdot 108=300;\)
\(S_{AMBD}=S_{\triangle DBC}-S_{\triangle AMC}=300-108=192.\)
Ответ: 192.
