previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 4, задача 16

На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что луч AM – биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMDB, если площадь треугольника ABC равна 180 и известно отношение AC : AB = 3 : 2.

Решение

а) Пусть K – середина BD, AK – медиана, высота и биссектриса \triangle ABD; (\triangle  ABD – равнобедренный)

\angle KBA=\angle BAM (накрест лежащие);

Пусть \angle BDA=\angle DBA=\alpha; тогда \angle BAD=180^{\circ}-2 \alpha.

\angle BAC=2\alpha(внешний угол \triangle BAD).

Значит, \angle BAM=\frac{1}{2}\angle BAC; AM – биссектриса угла BAC.

б) Найти S_{AMBD}, если S_{\triangle ABC}=180,

\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}.

По свойству биссектрисы треугольника, \frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2};

S_{\triangle AMC}=\frac{3}{5}\cdot S_{\triangle ABC}=108

\triangle DBC \sim \triangle AMC; k=\frac{MC}{BC}=\frac{3}{5};

\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle DBC}}=k^2=(\frac{3}{5})^2

S_{\triangle AMC}=(\frac{3}{5})^2\cdot S_{\triangle DBC};

S_{\triangle DBC}=\frac{25}{9}\cdot S_{\triangle AMC}=\frac{25}{9}\cdot 108=300;

S_{AMBD}=S_{\triangle DBC}-S_{\triangle AMC}=300-108=192.