previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 4, задача 16

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 4, задача 16

На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что луч AM – биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMDB, если площадь треугольника ABC равна 180 и известно отношение AC : AB = 3 : 2.

Решение:

а) Пусть K – середина BD, AK – медиана, высота и биссектриса \triangle ABD; (\triangle  ABD – равнобедренный);

\angle KBA=\angle BAM (накрест лежащие).

Пусть \angle BDA=\angle DBA=\alpha; тогда \angle BAD=180^{\circ}-2 \alpha.

\angle BAC=2\alpha(внешний угол \triangle BAD).

Значит, \angle BAM=\frac{1}{2}\angle BAC; AM – биссектриса угла BAC.

б) Найти S_{AMBD}, если S_{\triangle ABC}=180,

\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}.

По свойству биссектрисы треугольника, \frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2};

S_{\triangle AMC}=\frac{3}{5}\cdot S_{\triangle ABC}=108;

\triangle DBC \sim \triangle AMC; k=\frac{MC}{BC}=\frac{3}{5};

\frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle DBC}}=k^2=(\frac{3}{5})^2;

S_{\triangle AMC}=(\frac{3}{5})^2\cdot S_{\triangle DBC};

S_{\triangle DBC}=\frac{25}{9}\cdot S_{\triangle AMC}=\frac{25}{9}\cdot 108=300;

S_{AMBD}=S_{\triangle DBC}-S_{\triangle AMC}=300-108=192.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 4, задача 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023