Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC = 20, \ AC = 32\). Боковое ребро призмы равно 24. Точка \(P\) принадлежит ребру \(BB_1\), причем \(BP:PB_1=1:3.\)
а) Пусть \(M\) — середина\(A_1C_1\). Докажите, что прямые \(MP\) и \(AC\) перпендикулярны.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями \(A_1B_1C_1\) и \(ACP.\)
Решение:
а) Пусть \(N\) — середина \(AC\). Проведём \(MP\) в плоскости \(MB_1B;\)
\((MB_1B)\cap(ABC)=BN.\)
Так как \(MN \perp (ABC), \ PB \perp (ABC).\)
\(NB\) — проекция прямой \(MP\) на плоскость \((ABC).\) Треугольник \(ABC\) — равнобедренный, \(NB\) — медиана и высота, \(NB \perp AC.\) По теореме о трёх перпендикулярах, \(MP \perp AC.\)
б) Найдём тангенс угла между \((A_1B_1C_1)\) и \(ACP.\)
Пусть угол между \((A_1B_1C_1)\) и \((ACP)\) равен \(\varphi\); так как \((ABC)\parallel(A_1B_1C_1),\) этот угол равен углу между \((ABC)\) и \((ACP).\)
\((ABC)\cap(ACP)=AC;\)
\(NB \perp AC, \, NP \perp AC\) (по теореме о трёх перпендикулярах), \(\angle PNB= \varphi\) — искомый угол.
\(tg\varphi=\displaystyle \frac{PB}{NB}=\frac{C}{NB}.\)
Из \(\triangle BNC: \ NB= \sqrt{BC^2-NC^2}=12; \, tg \varphi =\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Ответ: 0,5.
