previous arrow
next arrow
Slider

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 6, задача 14

Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 20AC = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB_1, причем BP:PB_1=1:3

а) Пусть M – серединаA_1C_1.  Докажите, что прямые MP и AC перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями A_1B_1C_1 и ACP.

Решение:

а) Пусть N – середина  AC. Проведём MP в плоскости MB_1B;

(MB_1B)\cap(ABC)=BN.

Так как MN \perp (ABC), PB \perp (ABC),

NB – проекция прямой MP на плоскость (ABC). Треугольник ABC – равнобедренный, NB – медиана и высота, NB \perp AC. По теореме о трёх перпендикулярах, MP \perp AC.

 

б) Найдём тангенс угла между (A_1B_1C_1) и ACP. Пусть угол между (A_1B_1C_1) и (ACP) равен \varphi; так как (ABC)\parallel(A_1B_1C_1), этот угол равен углу между (ABC) и (ACP). (ABC)\cap(ACP)=AC;

NB \perp AC, \, NP \perp AC (по теореме о трёх перпендикулярах), \angle PNB= \varphi – искомый угол.

tg\varphi=\frac{PB}{NB}=\frac{C}{NB}; из \triangle BNC:NB= \sqrt{BC^2-NC^2}=12; \, tg \varphi = \frac{1}{2}.

Ответ: 0,5