На катетах \(AC\) и \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) вне треугольника построены квадраты \(ACDE\) и \(BFKC.\) Точка \(M\) – середина гипотенузы \(AB, \ H\) – точка пересечения прямых \(CM\) и \(DK.\)
а) Докажите, что прямые \(CM\) и \(DK\) перпендикулярны.
б) Найдите \(MH\), если известно, что катеты треугольника \(AB\) равны 60 и 80.
Решение:
\(\triangle DKC=\triangle ABC\) по двум катетам;
\(\angle BAC=KDC=\alpha.\)
Тогда \(\angle CKD=90^{\circ}-\alpha;\)
\(\triangle ACM\) – равнобедренный по свойству медианы прямоугольного треугольника.
\(\angle HCK=\alpha=\angle ACM;\)
из \(\triangle HCK: \ \angle H=90^{\circ}.\)
б) Пусть \(AC=60, \, BC=80.\) Найдём \(MH.\)
\(MH=MC+CH;\)
\(MC=\displaystyle \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{60^2+80^2}=50\) (по свойству медианы прямоугольного треугольника);
\(CH\) – высота \(\triangle KDC; \ DK=AB=100;\)
\(S_{\triangle KDC}=\displaystyle \frac{1}{2}CD \cdot CK=\displaystyle \frac{1}{2}CH \cdot DK;\)
\(CH=\displaystyle \frac{CD \cdot CK}{DK}=\frac{60 \cdot 80}{100}=48;\)
\(MH=50+48=98.\)
