На катетах \(AC\) и \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) вне треугольника построены квадраты \(ACDE\) и \(BFKC\). Точка \(M\) – середина гипотенузы \(AB\), \(H\) – точка пересечения прямых \(CM\) и \(DK\).
а) Докажите, что прямые \(CM\) и \(DK\) перпендикулярны.
б) Найдите \(MH\), если известно, что катеты треугольника \(AB\) равны 60 и 80.
Решение:
\(\triangle DKC=\triangle ABC\) по двум катетам;
\(\angle BAC=KDC=\alpha\).
Тогда \(\angle CKD=90^{\circ}-\alpha\);
\(\triangle ACM\) – равнобедренный по свойству медианы прямоугольного треугольника.
\(\angle HCK=\alpha=\angle ACM\);
из \(\triangle HCK\): \(\angle H=90^{\circ}\).
б) Пусть \(AC=60, \, BC=80\). Найдём \(MH\).
\(MH=MC+CH;\)
\(MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{60^2+80^2}=50\) (по свойству медианы прямоугольного треугольника);
\(CH\) – высота \(\triangle KDC\); \(DK=AB=100\);
\(S_{\triangle KDC}=\frac{1}{2}CD \cdot CK=\frac{1}{2}CH \cdot DK\);
\(CH=\frac{CD \cdot CK}{DK}=\frac{60 \cdot 80}{100}=48\);
\(MH=50+48=98\).
