Решите неравенство: \(log_x(x-2)\cdot log_x(x+2)\leq0.\)
Решение:
Согласно методу рационализации, в неравенствах вида \(log_{h}f\leq0\) множитель \(log_{h}f\) можно заменить на \((h-1)(f-1).\)
Применим метод рационализации. Неравенство равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\x\ne1 ,
\\x-2> 0 ,
\\x+2> 0 ,
\\(x-1)(x-2-1)(x-1)(x+2-1)\leq0 ;\end{matrix}\right. \)
\(\left\{\begin{matrix}
x> 0,\\x\ne1 ,
\\x> 2 ,
\\(x-1)^2(x-3)(x+1)\leq0. \end{matrix}\right. \)
Решение системы неравенств: \(x\in(2;3].\)
Ответ: \(x\in(2;3].\)
