Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что \(ABCD\) – ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\), причем \(AM : MB = 1 : 2\). Найдите диагональ \(AC\), если известно, что \( AD = 2\sqrt{3}\).
Решение:
а) Пусть \(O=AC \cap BD;\)
\(\angle AOD=90^{\circ}\) (опирается на диаметр).
Тогда \(AC \perp BD\). Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам;
\(\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle COB =COD\), значит, \( AD = AB = BC = CD\);
\(ABCD\) – ромб.
б) Пусть \(AM=x, \, MB=2x\); \(AD=2\sqrt{3}.\)
Найдём \(AC.\)
Так как \(AB=AD=2\sqrt{3}\), \(AM = \frac{2\sqrt{3}}{3}\), \(BM = \frac{4\sqrt{3}}{3}.\)
\(\angle AMD = 90^{\circ}\) (опирается на диаметр).
\(\triangle ABD\) – равнобедренный, \( AO\) и \(DM\) – его высоты.
Из \(\triangle AMD\): \(MD^2 = AD^2 - AM^2\); если \(AM = x\), то \(AD=3x\);
\(MD^2 = 9x^2 - x^2 = 8x^2\); \(MD=2 \sqrt{2} x\).
Из \(\triangle BMD\): \(BD^2 = BM^2 + MD^2 = 4x^2 + 8x^2 =12x^2\);
\(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} AB \cdot MD = \frac{1}{2} BD \cdot AO\), отсюда
\( AO = \frac{AB \cdot MD}{BP} = \frac{3x \cdot 2 \sqrt{2} x}{2 \sqrt{3} x}=\sqrt{6} x = \frac{\sqrt{6} \cdot 2 \sqrt {3}}{3} = 2 \sqrt{2}\);
\(AC = 2AO = 4 \sqrt{2}.\)
Ответ: \(4 \sqrt{2}.\)
