previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 8, задача 16

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM : MB = 1 : 2. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2\sqrt{3}.

 

Решение:

а) Пусть O=AC \cap BD;

\angle AOD=90^{\circ} (опирается на диаметр),

Тогда AC \perp BD. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам; \triangle AOD = \triangle AOB = \triangle COB =COD, значит, AD = AB = BC = CD;

ABCD – ромб.

б) Пусть AM=x, \, MB=2x; AD=2\sqrt{3}

Найдём AC

Так как AB=AD=2\sqrt{3}, AM = \frac{2\sqrt{3}}{3}, BM = \frac{4\sqrt{3}}{3}.

\angle AMD = 90^{\circ} (опирается на диаметр)

\triangle ABD – равнобедренный, AO и DM – его высоты.

Из \triangle AMD: MD^2 = AD^2 - AM^2; если AM = x, то AD=3x;

MD^2 = 9x^2 - x^2 = 8x^2; MD=2 \sqrt{2} x;

Из \triangle BMD: BD^2 = BM^2 + MD^2 = 4x^2 + 8x^2 =12x^2;

S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} AB \cdot MD = \frac{1}{2} BD \cdot AO, отсюда

AO = \frac{AB \cdot MD}{BP} = \frac{3x \cdot 2 \sqrt{2} x}{2 \sqrt{3} x}=\sqrt{6} x = \frac{\sqrt{6} \cdot 2 \sqrt {3}}{3} = 2 \sqrt{2};

AC = 2AO = 4 \sqrt{2}

Ответ: 4 \sqrt{2}.