previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 8, задача 16

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 8, задача 16

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM : MB = 1 : 2. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 2\sqrt{3}.

 

Решение:

а) Пусть O=AC \cap BD;

\angle AOD=90^{\circ} (опирается на диаметр).

Тогда AC \perp BD. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам;

\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle COB =COD, значит, AD = AB = BC = CD;

ABCD – ромб.

б) Пусть AM=x, \, MB=2x; AD=2\sqrt{3}.

Найдём AC.

Так как AB=AD=2\sqrt{3}, AM = \frac{2\sqrt{3}}{3}, BM = \frac{4\sqrt{3}}{3}.

\angle AMD = 90^{\circ} (опирается на диаметр).

\triangle ABD – равнобедренный, AO и DM – его высоты.

Из \triangle AMD: MD^2 = AD^2 - AM^2; если AM = x, то AD=3x;

MD^2 = 9x^2 - x^2 = 8x^2; MD=2 \sqrt{2} x.

Из \triangle BMD: BD^2 = BM^2 + MD^2 = 4x^2 + 8x^2 =12x^2;

S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} AB \cdot MD = \frac{1}{2} BD \cdot AO, отсюда

AO = \frac{AB \cdot MD}{BP} = \frac{3x \cdot 2 \sqrt{2} x}{2 \sqrt{3} x}=\sqrt{6} x = \frac{\sqrt{6} \cdot 2 \sqrt {3}}{3} = 2 \sqrt{2};

AC = 2AO = 4 \sqrt{2}.

Ответ: 4 \sqrt{2}.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 8, задача 16» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.09.2023