Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(a^2+11|x+2|+3\sqrt{x^2+4x+13}=5a+2|x-2a+2|\) имеет хотя бы один корень.
Решение:
Сделаем замену: \(x+2=t.\) Получим:
\(a^2+11|t|+3\sqrt{t^2+9}=5a+2|t-2a|;\)
\(2|t-2a|-11|t|+5a-a^2=3\sqrt{t^2+9}.\)
Рассмотрим левую и правую часть.
Правая часть уравнения:
\(g(t)=3\sqrt{t^2+9};\)
\(g(t)\geq3\cdot\sqrt{9}; \, g(t)\geq9.\)
\(g'(t)=\displaystyle \frac{3\cdot2t}{2\sqrt{t^2+9}}=\frac{3t}{\sqrt{t^2+9}};\)
\(g'(t)=0\) при \(t=0;\)
если \(t< 0, \ g'(t)< 0, \, g(t)\) убывает;
если \(t> 0, \ g'(t)> 0, \ g(t)\) возрастает;
\(t=0\) — точка минимума \(g(t), \ g(0)=9.\)
Левая часть: \(f(t)=2|t-2a|-11|t|+5a-a^2.\)
Рассмотрим функцию: \(z(t)=2|t-b|-11|t|,\) где:
\(b=2a;\)
\(z(0)=2|b|;\)
\(z(b)=-11|b|.\)
Если \(t < b, \, t < 0\), графиком \(z(t)\) является прямая с угловым коэффициентом \(k_1=-2+11=9.\)
Если \(t > 0, \, t > b\), графиком \(z(t)\) является прямая с угловым коэффициентом \(k_2=2-11=-9.\)
Значит, \( z (t) \leq z(0) ; \ Z_{max}(t)=2|b|.\)
Тогда \(f_{max}(t)=f(0)=4|a|+5a-a^2.\)
Уравнение имеет хотя бы один корень, если \(f(0)\geq g(0).\)
\(4|a|+5a-a^2\geq9;\)
\(a^2-5a-4|a|+9\leq0.\)
Раскроем модуль:
1) Если \(a\geq0,\) то \(a^2-9a+9\leq0.\)
\(D=81-36=45; \, a=\displaystyle \frac{9\pm3\sqrt{5}}{2}.\)
Решение неравенства: \(a\in\left (\displaystyle \frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \ \frac{9+3\sqrt{5}}{2}\right ).\)
2) Если \(a< 0, \; a^2-a+9\leq0\) — это неравенство не имеет решений.
Ответ: \(a\in\left (\displaystyle \frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \ \frac{9+3\sqrt{5}}{2}\right ).\)
