previous arrow
next arrow
Slider

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 11, задача 18

Найдите все значения а, при которых уравнение

a^2+11|x+2|+3\sqrt{x^2+4x+13}=5a+2|x-2a+2|

имеет хотя бы один корень

Сделаем замену x+2=t. Получим:

a^2+11|t|+3\sqrt{t^2+9}=5a+2|t-2a|

2|t-2a|-11|t|+5a-a^2=3\sqrt{t^2+9}

Рассмотрим левую и правую часть

Правая часть уравнения:

g(t)=3\sqrt{t^2+9};

g(t)\geq3\cdot\sqrt{9}; \, g(t)\geq9.

g

g при t=0;

если t\textless0, g убывает

если t\textgreater0, g, g(t) возрастает;

t=0 - точка минимума g(t),

g(0)=9.

Левая часть:

f(t)=2|t-2a|-11|t|+5a-a^2

Рассмотрим функцию

z(t)=2|t-b|-11|t|, где

b=2a,

z(0)=2|b|

z(b)=-11|b|

Если t \textless b, \, t \textless 0, графиком z(t) является прямая с угловым коэффициентом k_1=-2+11=9;

Если t \textgreater 0, \, t \textgreater b, графиком z(t) является прямая с угловым коэффициентом k_2=2-11=-9.
Значит, z (t) \leq z(0) ; Z_{max}(t)=2|b|.

Тогда f_{max}(t)=f(0)=4|a|+5a-a^2

Уравнение имеет хотя бы один корень, если f(0)\geq g(0).

4|a|+5a-a^2\geq9

a^2-5a-4|a|+9\leq0

Раскроем модуль

1) Если a\geq0, то

a^2-9a+9\leq0.

D=81-36=45; \, a=\frac{9\pm3\sqrt{5}}{2};

решение неравенства: a\in(\frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \frac{9+3\sqrt{5}}{2})

2) Если a\textless 0,

a^2-a+9\leq0 Это неравенство не имеет решений.

Ответ: a\in(\frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \frac{9+3\sqrt{5}}{2})