Задача 18 ЕГЭ по математике. Сравнение с суммой арифметической прогрессии

На доске написаны числа 1, 2, 3, ...,30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б )Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Заметим, что сумма чисел в каждой тройке . В задачах такого типа часто удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.

а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34)
2, 4, 27 (сумма 33)
5, 6, 21 (сумма 32)
7, 8, 16 (сумма 31)
9, 10, 11 (сумма 30).

б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:

«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?»

Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке , где принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть – максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и каждая следующая сумма меньше предыдущей.

Тогда , ,

Суммируя по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит 34 + 33 + 32 + 31 + … + 25, то есть 295.

(мы применили формулу суммы n членов арифметической прогрессии: ).

С другой стороны, мы задействовали все 30 чисел, и сумму их легко найти – это сумма арифметической прогрессии, члены которой – натуральные числа от 1 до 30.

Обозначим ее .

Получили, что – противоречие.
Значит, 10 ходов сделать нельзя.

в) Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.

Повторим рассуждения, аналогичные пункту 2, для случаев n = 9, 8, 7 и 6.

Если n (число ходов) равно 9, то не превосходит 34 + 33 + … + 26, то есть .

С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 … + 27, то есть – противоречие.

Аналогично, для n = 8 получим, что и – тоже противоречие.

Для n=7 имеем: и , значит, и 7 ходов сделать нельзя.

Для n = 6 противоречия нет. Итак, число ходов .

Приведем пример, когда n = 6 (этот метод называется «Оценка плюс пример», о нем подробно рассказано в Видеокурсе по задачам на числа и их свойства)

Тройки чисел:
12, 11, 10, сумма 33
13, 14, 7, сумма 34
15, 16, 1, сумма 32
17, 2, 3, сумма 22
4, 8, 9, сумма 21
18, 5, 6, сумма 29.

Итак, наибольшее число ходов – 6.