а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б )Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Заметим, что сумма чисел в каждой тройке \(S_{i} \leq 34\). В задачах такого типа часто удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.
а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34)
2, 4, 27 (сумма 33)
5, 6, 21 (сумма 32)
7, 8, 16 (сумма 31)
9, 10, 11 (сумма 30).
б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:
«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?»
Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке \(S_{i}\), где \(i\) принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть \(S_{1}\) – максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и каждая следующая сумма меньше предыдущей.
Тогда \(S_{2} \leq 33, \ S_{3} \leq 32, \ ... S_{10} \leq 25.\)
Суммируя по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит \(34 + 33 + 32 + 31 + … + 25\), то есть 295.
(мы применили формулу суммы \(n\) членов арифметической прогрессии: \(\displaystyle S_{n}=\frac{1}{ 2}(a_{1}+a_{n})\cdot n\)).
С другой стороны, мы задействовали все 30 чисел, и сумму их легко найти – это сумма арифметической прогрессии, члены которой – натуральные числа от 1 до 30.
Обозначим ее \(S_{30}\).
\(\displaystyle S_{30}= \frac{1+30}{2}\cdot 30 =465.\)
Получили, что \(S_{30}>295\) – противоречие.
Значит, 10 ходов сделать нельзя.
в) Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте (а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте (б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.
Повторим рассуждения, аналогичные пункту 2, для случаев \(n =\) 9, 8, 7 и 6.
Если \(n\) (число ходов) равно 9, то \(S= S_{1}+ S_{2}+...+ S_{9}\) не превосходит \(34 + 33 + … + 26\), то есть \(S \leq 270\).
С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем \(1 + 2 + 3 + 4 … + 27\), то есть \(S \geq 378\) – противоречие.
Аналогично, для \(n = 8\) получим, что \(S \leq 244\) и \(S \geq 300\) – тоже противоречие.
Для \(n=7\) имеем: \(S \leq 217\) и \(S \geq 231\), значит, и 7 ходов сделать нельзя.
Для \(n = 6\) противоречия нет. Итак, число ходов \(n \leq 6\).
Приведем пример, когда \(n = 6\) (этот метод называется «Оценка плюс пример», о нем подробно рассказано в Видеокурсе по задачам на числа и их свойства)
Тройки чисел:
12, 11, 10, сумма 33
13, 14, 7, сумма 34
15, 16, 1, сумма 32
17, 2, 3, сумма 22
4, 8, 9, сумма 21
18, 5, 6, сумма 29.
Итак, наибольшее число ходов – 6.
(ЕГЭ) В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 граммов, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получает по \(100 + 400 = 500\) г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по \(200 + 300 = 500\) г корма.
б) Нет, не может.
Пусть среди кроликов есть «счастливец», которого покормили все школьники. Он получил максимально возможное количество корма, равное \(100 + 200 + 300 + 400 = 1000\) г.
Среди кроликов также может быть «невезучий», которого никто не покормил. Он получил 0 грамм корма. Значит, количество корма для одного кролика может принимать 11 различных значений: 0, 100, 200, 300… 1000 граммов.
Поскольку кроликов 15, а возможных значений только 11, среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.
в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам
\(4\cdot (100 + 200 + 300 + 400) = 4000\) г. корма.
В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть 11 различных значений для количества корма, которое получил кролик. Но если 11 кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно \(0 + 100 + 200 +…+ 1000 = 5500\) грамм. Это на 1500 граммов больше, чем 4000 граммов.
Значит, накормить 11 кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.
Вариант с 10 кроликами также невозможен: даже если среди кроликов не будет того, который получил 1000 г, все равно не хватает 500 г корма.
Получается, что число кроликов не больше, чем 9. Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно 9.
| 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 600 | 700 | 800 | 900 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 ученик 100г | + | + | + | + | |||||
| 2 ученик 200 г | + | + | + | + | |||||
| 3 ученик 300 г | + | + | + | + | |||||
| 4 ученик 400 г | + | + | + | + |
Варианты 1000 г и 500 г отсутствуют. Все условия задачи выполнены – каждый ученик покормил 4 кроликов, и все кролики получили различное количество корма.
Ответ: 9.
В пункте (в) мы применили метод «Оценка плюс пример». Это один из основных методов решения задач на числа и их свойства.
Сначала мы доказали, что число кроликов не больше 9.
После этого привели пример, когда кроликов ровно 9.
