Slider

Задача 19 номер ЕГЭ математика — Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, ...,30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б )Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Заметим, что сумма чисел в каждой тройке S_{i} \leq  34. В задачах такого типа часто удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.

а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34)
2, 4, 27 (сумма 33)
5, 6, 21 (сумма 32)
7, 8, 16 (сумма 31)
9, 10, 11 (сумма 30).

б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:

«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?»

Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке S_{i}, где i принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть S_{1} – максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и каждая следующая сумма меньше предыдущей.

ТогдаS_{2} \leq  33, S_{3} \leq  32, ... S_{10} \leq  25.

Суммируя по всем десяти тройкам, получим, что сумма всех тридцати чисел не превосходит 34 + 33 + 32 + 31 + … + 25, то есть 295.

(мы применили формулу суммы n членов арифметической прогрессии: S_{n}=\frac{ \Large 1}{ \Large 2}(a_{1}+a_{n})\ast n.
С другой стороны, мы задействовали все 30 чисел, и сумму их легко найти – это сумма арифметической прогрессии, члены которой – натуральные числа от 1 до 30.

Обозначим ее S_{30}.

S_{30}= (1+30) / 2 *30 =465.

Получили, что S_{30}>295 – противоречие.
Значит, 10 ходов сделать нельзя.

в) Какое же максимальное число ходов можно сделать? В пункте а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.

Повторим рассуждения, аналогичные пункту 2, для случаев n = 9, 8, 7 и 6.

Если n (число ходов) равно 9, то S= S_{1}+ S_{2}+...+ S_{9} не превосходит 34 + 33 + … + 26, то есть S \leq 270. С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 … + 27, то есть S \geq 378– противоречие.

Аналогично, для n = 8 получим, что S \leq 244 и S \geq 300 – тоже противоречие.
Для n=7 имеем:S \leq 217 и S \geq 231, значит, и 7 ходов сделать нельзя.

Для n = 6 противоречия нет. Итак, число ходов n \leq 6.

Приведем пример, когда n = 6 (этот метод называется «Оценка плюс пример», о нем подробно рассказано в видеокурсе «Ключ к С6» )

Тройки чисел:
12, 11, 10, сумма 33
13, 14, 7, сумма 34
15, 16, 1, сумма 32
17, 2, 3, сумма 22
4, 8, 9, сумма 21
18, 5, 6, сумма 29.

Итак, наибольшее число ходов – 6.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
РЕКОМЕНДУЕМ:
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.