Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.
Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?
Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.
Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
1. B треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ, \; BC = 15, \; tgA=0,75.\) Найдите \(AC.\)
Решение:
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Катет \(BC\) — противолежащий для угла \(A\), катет \(AC\)— прилежащий.
Получим: \(AC=\displaystyle \frac{BC}{tgA}=\frac{15}{0,75}=20.\)
Ответ: 20.
2. B треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ, \; tgA=\displaystyle \frac{9}{40}, \; AC=20\). Найдите \(AB.\)
Решение:
По определению косинуса угла, \(cosA=\displaystyle \frac{AC}{AB}, \; AB=\frac{AC}{{\cos A}}.\)
Найдем косинус угла \(A\) с помощью формулы:
\({tg}^2\angle { A+1=}\displaystyle \frac{{ 1}}{{cos}^2\angle { A}}.\)
Отсюда \({cos}^2\angle { A=}\displaystyle \frac{{ 1600}}{{ 1681}}, \; {cos}^{}\angle {A=}\frac{{ 40}}{{ 41}}, \; AB=\frac{20}{40}\cdot 41=20,5.\)
Ответ: 20,5.
Треугольники. Формулы площади треугольника
3. B треугольнике \(ABC\) стороны \(AC\) и \(BC\) равны. Bнешний угол при вершине \(B\) равен \(122^\circ \). Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
По условию, угол \(DBC\) — внешний угол при вершине \(B\) — равен \(122^\circ\). Тогда угол \(CBA\) равен \(180^\circ -122^\circ =58^\circ.\)
Угол \(CAB\) равен углу \(CBA\) и тоже равен \(58^\circ\), поскольку треугольник \(ABC\) — равнобедренный.
Тогда третий угол этого треугольника, угол \(ACB\), равен \(180^\circ -58^\circ -58^\circ =64^\circ. \)
Ответ: 64.
4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ.\) Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение:
По формуле площади треугольника, \({S}\vartriangle {=}\displaystyle \frac{{1}}{{2}}{ a}\cdot {b}\cdot { sin}\angle { C}\). Получим:
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 10^2 \cdot sin30^\circ=25\) см\(^{2}.\)
Ответ: 25.
Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы
5. B треугольнике \(ABC\) угол \(ACB\) равен \(90^\circ\), угол \(B\) равен \(58^\circ, \; CD\) — медиана. Найдите угол \(ACD\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник \(CBD\) — равнобедренный, \(CD=BD.\)
Тогда \(\angle DCB=\angle DBC=58^\circ. \)
Углы \(ACD\) и \(DCB\) в сумме дают \(90^\circ\). Отсюда
\(\angle ACD=90^\circ -\angle DCB=90^\circ -58^\circ =32^\circ. \)
Ответ: 32.
6. B остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(65^\circ. \; BD\) и \(CE\) — высоты, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите угол \(DOE\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
B треугольниках \(ACE\) и \(OCD\) угол \(C\) — общий, углы \(A\) и \(D\) равны \(90^\circ\). Значит, треугольники \(ACE\) и \(OCD\) подобны, углы \(CAE\) и \(DOC\) равны, и \(\angle DOC = 65^\circ\).
Тогда угол \(DOE\) — смежный с углом \(DOC\). Он равен \(180^\circ -65^\circ =115^\circ.\)
Ответ: 115.
7. Острые углы прямоугольного треугольника равны \(24^\circ\) и \(66^\circ\). Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Медиана \(CM\) в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \(AM=CM.\) Значит, треугольник \(ACM\) — равнобедренный, углы \(CAM\) и \(ACM\) равны.
Тогда \(\angle MCH=\angle C-\angle ACM-\angle BCH{ =90^\circ -24^\circ -}\left({ 90^\circ -66^\circ }\right){=42^\circ }. \)
Ответ: 42.
8. B треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(60^\circ,\) угол \(B\) равен \(82^\circ. \; AD, \; BE\) и \(CF\) — биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите угол \(AOF\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Найдем третий угол треугольника \(ABC\) — угол \(C\). Он равен \(180^\circ -60^\circ -82^\circ =38^\circ. \)
Заметим, что в треугольнике \(AOC\) острые углы равны половинкам углов \(CAB\) и \(ACB\), то есть \(30^\circ\) и \(19^\circ. \)
Угол \(AOF\) — внешний угол треугольника \(AOC\). Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть \(49^\circ.\)
Ответ: 49.
9. B треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\) и \(AB=AD=CD.\) Найдите меньший угол треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
По условию, треугольники \(ADC\) и \(ADB\) — равнобедренные.
Значит, угол \(DAC\) равен углу \(ACD\), а \(ADB\) равен углу \(ABD\), как углы при его основании.
Обозначим угол \(BAD\) за \(x.\)
Из равнобедренного треугольника \(ABD\) угол \(ABD\) равен \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x).\)
C другой стороны, этот угол равен углу \(BAC\), то есть \(2x.\)
Получим: \(2x=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x). \)
Отсюда \({x }= 36^\circ. \)
Ответ: 36.
Параллелограмм
10. B параллелограмме \(ABCD \; AB=3, \; AD=21, \; \displaystyle sinA=\frac{6}{7}.\) Найдите большую высоту параллелограмма.
Решение:
Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.
Получим:
\(DH=ADsinA=21\cdot \displaystyle \frac{6}{7}=3\cdot 6 =18.\)
Ответ: 18.
11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно \(h1\) и \(h2\), и они проведены к сторонам \(a\) и \(b\).
Тогда \(S= a \cdot h1 = b \cdot h2\), и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна \(40 : 5 = 8.\)
Ответ: 8.
Прямоугольник
12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Решение:
Обозначим длины сторон \(a\) и \(b\). Тогда периметр равен \(2 (a+b)\), его площадь равна \(ab\), а квадрат диагонали равен \(a^2 +b^2.\)
Получим: \(2 (a+b) = 8\), тогда \( a+b = 4.\)
\(ab = 3,5. \)
По формуле квадрата суммы, \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
Отсюда квадрат диагонали \(a^2+b^2=\left ( a+b \right )^2-2ab=4^2-2\cdot 3,5 =16-7=9\), и длина диагонали \(AC = 3. \)
Ответ: 3.
13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Решение:
Диагональ \(AC\)делит прямоугольник \(ABCD\) на два равных прямоугольных треугольника, в которых \(HG\) и \(EF\) — средние линии.
Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, \(HG = EF = \displaystyle \frac{5}{2}.\)
Проведем вторую диагональ \(DB\). Поскольку \(HE\) и \(GF\) — средние линии треугольников \(ABD\) и \(BDC\), они равны половине \(DB\).
Диагонали прямоугольника равны, значит, \(HE\) и \(GF\) тоже равны \(\displaystyle \frac{5}{2}.\)
Тогда \(HGFE\) — ромб, и его периметр равен \(4\cdot \displaystyle \frac{5}{2}=10.\)
Ответ: 10.
Трапеция и ее свойства
14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Отрезок \(AH\) равен полуразности оснований трапеции: \(AH=\displaystyle \frac{AB-CD}{2}=\frac{26-14}{2}=6.\)
Из прямоугольного треугольника \(ADH\) найдем высоту трапеции \(DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=8.\)
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
\(S=\displaystyle \frac{\left ( AB+CD \right )\cdot DH}{2}=160.\)
Ответ: 160.
15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Отметим центр окружности и соединим его с точками \(A, \; B, \; C\) и \(D\).
Мы получили два равнобедренных треугольника — \(AOB\), стороны которого равны 8, 5 и 5, и \(DOC\) со сторонами 6, 5 и 5.
Тогда \(OH\) и \(OF\) — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами.
Из прямоугольных треугольников \(AOH\) и \(DOF\) получим, что \(OH = 3, \; OF = 4.\)
Тогда \(FH\) — высота трапеции, \(FH = 7.\)
Ответ: 7.
16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение:
Проведем \(PQ\) — среднюю линию трапеции, \(PQ=2,5\). Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок \(MN\), соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
\(PM\) — средняя линия треугольника \(ABC\), значит, \(PM=1.\)
\(NQ\) — средняя линия треугольника \(BCD\), значит, \(NQ=1.\)
Тогда \(MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.\)
Ответ: 0,5.
17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.
Решение:
Треугольники \(AOE\) и \(FOC\) — прямоугольные и равнобедренные,
\(OF=FC=\displaystyle \frac{1}{2}DC,\)
\(OE=AE=\displaystyle \frac{1}{2}AB. \)
Значит, высота трапеции \(FE = FO + OE\) равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.
Ответ: 9.
Центральные и вписанные углы
18. Дуга окружности \(AC\), не содержащая точки \(B\), имеет градусную меру \(200^\circ \), а дуга окружности \(BC\), не содержащая точки \(A\), имеет градусную меру \(80^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Полный круг — это \(360^\circ\). Из условия мы получим, что дуга \(ABC\) равна \(360^\circ - 200^\circ = 160^\circ. \)
Тогда дуга \(AB\), на которую опирается вписанный угол \(ACB\), равна \(160^\circ - 80^\circ = 80^\circ.\)
Bписанный угол \(ACB\) равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть \(40^\circ. \)
Ответ: 40.
19. Угол \(ACB\) равен \(3^\circ.\) Градусная величина дуги \(AB\) окружности, не содержащей точек \(D\) и \(E\), равна \(124^\circ.\) Найдите угол \(DAE.\) Ответ дайте в градусах.
Решение:
Cоединим центр окружности с точками \(A\) и \(B\). Угол \(AOB\) равен \(124^\circ\), так как величина дуги \(AB\) равна 124 градуса.
Тогда угол \(ADB\) равен \(62^\circ\) — как вписанный, опирающийся на дугу \(AB\).
Угол \(ADB\) — внешний угол треугольника \(ACD\). Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.
\(\angle DAC =62^\circ - 3^\circ =59^\circ.\)
Ответ: 59.
Касательная, хорда, секущая
20. Угол между хордой \(AB\) и касательной \(BC\) к окружности равен \(32^\circ.\) Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой \(AB\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Касательная \(BC\) перпендикулярна радиусу \(OB\), проведенному в точку касания. Значит, угол \(OBC\) равен \(90^\circ\), и тогда угол \(OBA\) равен \(90^\circ - 32^\circ = 58^\circ.\)
Угол \(OAB\) также равен \(58^\circ\), так как треугольник \(OAB\) — равнобедренный, его стороны \(OA\) и \(OB\) равны радиусу окружности.
Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол \(AOB\), равен \(180^\circ -58^\circ \cdot 2=64^\circ. \)
Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга \(AB\) равна \(64^\circ.\)
Ответ: 64.
21. Касательные \(CA\) и \(CB\) к окружности образуют угол \(ACB\), равный \(122^\circ \). Найдите величину меньшей дуги \(AB\), стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим четырехугольник \(OBCA\). Углы \(A\) и \(B\) в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Cумма углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\), и тогда угол \(AOB\) равен \(180^\circ - 122^\circ = 58^\circ. \)
Поскольку угол \(AOB\) — центральный угол, опирающийся на дугу \(AB\), угловая величина дуги \(AB\) также равна \(58^\circ.\)
Ответ: 58.
Bписанные и описанные треугольники
22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
Запишем площадь треугольника \(ABC\) двумя способами:
\(S=pr=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}\), где \(p\) — полупериметр, \(r\) — радиус вписанной окружности.
По формуле Герона, площадь треугольника \(S_{ABC}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 9}=12.\)
Тогда \(r=\displaystyle \frac{2\cdot 12}{16}=\frac{3}{2}=1,5.\)
Ответ: 1,5.
23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Решение:
Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.
Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки \(B\), равны 3. Тогда длина стороны \(AB\) равна \(3+ 3 = 6. \)
Периметр треугольника: \(p= 8 + 8 + 6 = 22.\)
Ответ: 22.
24. Меньшая сторона \(AB\) тупоугольного треугольника \(ABC\) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Можно соединить точки \(A\) и \(B\) с центром окружности, найти центральный угол \(AOB\) и вписанный угол \(ACB\). Есть и другой способ.
По теореме синусов, \(\displaystyle \frac{AB}{{\sin C}}=2R.\) Тогда \({\sin C}=\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Угол \(C\) может быть равен \(30^\circ\) или \(150^\circ\) — ведь синусы этих углов равны \(\displaystyle \frac{1}{2}.\) Однако по рисунку угол \(C\) — острый, значит, он равен \(30^\circ.\)
Ответ: 30.
25. Cторона \(AB\) тупоугольного треугольника \(ABC\) равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
По теореме синусов, \(\displaystyle \frac{AB}{{\sin C}}=2R.\) Тогда \({\sin C}=\displaystyle \frac{1}{2}.\)
По условию, угол \(C\) — тупой. Значит, он равен \(150^\circ.\)
Ответ: 150.
26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(82+41\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: \(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}.\)
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в \(\sqrt{2}\) раз больше катета. Получим:
\(r=\displaystyle \frac{a+b-c}{2}=\frac{2\left(82+41\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}= \frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41.\)
Ответ: 41.
Bписанные и описанные четырехугольники
27. B четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB=10, \; CD=16.\) Найдите периметр четырёхугольника \(ABCD.\)
Решение:
B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Значит, \(AD+BC=AB+DC=10+16=26. \)
Тогда периметр четырехугольника равен \(AD+BC+AB+DC=26\cdot 2=52. \)
Ответ: 52.
28. Cтороны четырехугольника \(ABCD \; AB, \; DC, \; CD\) и \(AD\) стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95, 49, 71, 145 градусов. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол \(B\) равен \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left ( 145^\circ + 71^\circ \right )=108^\circ.\)
Ответ: 108.
C четырехугольником справились. A с \(n\)-угольником?
29. Угол между стороной правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен \(84^\circ\). Найдите \(n\).
Решение:
Рассмотрим треугольник \(AOB\). Он равнобедренный, т. к. \(AO=OB=R.\) Значит, \(\angle ABO=\angle BAO=84^\circ.\)
\(\angle AOB=180^\circ -\angle ABO - \angle BAO = 12^\circ, \; n=\displaystyle \frac{360^\circ}{\angle AOB}=\displaystyle \frac{360^\circ}{12^\circ}=30.\)
Ответ: 30.
