В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB = 4,\) а боковое ребро \(SA = 7.\) На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = SK = 1.\)
а) Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC.\)
б) Найдите объём пирамиды \(BCKM.\)
\(AB = 4, SA = 7,\)
\(AM = SK = 1.\)
а) Докажем, что \((CKM) \perp (ABC).\)
Пусть \(L = CM \cap BD.\) Найдём, в каком отношении точка \(L\) делит отрезок \(BO.\) (точка \(O\) – центр основания пирамиды)
\(\triangle CBM\) – прямоугольный, \(CB = 4, BM = 3,\) по теореме Пифагора \(CM = 5.\)
Заметим, что \(BL\) – биссектриса \(\triangle CBM;\) по свойству биссектрисы \(\displaystyle \frac{CL}{LM} = \frac{CB}{BM} = \frac{4}{3},\) тогда \(\displaystyle CL = \frac{4}{7}CM = \frac{4}{7} \cdot 5 = \frac{20}{7}, LM = \frac{3}{7} CM = \frac{15}{7}.\)
В \(\displaystyle \triangle CBM \, \sin \angle BCM = \frac{3}{5}, \sin \angle BMC = \frac{4}{5}.\)
Применим теорему синусов к треугольникам \(CBL\) и \(BML.\)
В \(\triangle CBL:\)
\(\displaystyle \frac{BL}{\sin \angle BCL} = \frac{CL}{\sin 45^\circ};\)
В \(\displaystyle \triangle BML: \frac{BL}{\sin \angle BML} = \frac{LM}{\sin 45^\circ}.\) Перемножив эти равенства и подставив данные, получим:
\(\displaystyle \frac{BL^2}{\sin \angle BCL \cdot \sin \angle BML} = \frac{CL \cdot LM}{\sin^2 45^\circ}.\)
\(\displaystyle \frac{BL^2 \cdot 25}{3\cdot 4} = \frac{20 \cdot 15 \cdot 2}{7^2};\)
\(\displaystyle BL = \frac{12 \sqrt{2}}{7}.\)
Так как \(\displaystyle BO = \frac{1}{2}BD = \frac{4 \sqrt{2}}{2},\)
\(\displaystyle \frac{BL}{BO} = \frac{12 \sqrt{2} \cdot 2}{7 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{6}{7} = \frac{BK}{SB}\)
Тогда \(\triangle KBL \sim \triangle SBO\) по углу и двум сторонам; отсюда \(KL \parallel SO.\) Это значит, что \(KL \perp (ABC);\) по признаку перпендикулярности плоскостей, \((CKM) \perp (ABC).\)
б) Найдём объём пирамиды \(BKCM.\)
\(KL \perp (ABC),\) значит, \(KL\) – высота пирамиды \(BCKM.\)
\(\displaystyle KL = \frac{6}{7}SO = \frac{6}{7} \cdot \sqrt{SB^2 - BO^2} = \frac{6 \sqrt{41}}{7}\)
\(\displaystyle S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2}BC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6;\)
\(\displaystyle V_{BKCM} = \frac{1}{3}S_{\triangle BCM} \cdot KL = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6 \sqrt{41}}{7} = \frac{12\sqrt{41}}{7}.\)
Для решения этой задачи необходимо хорошее знание планиметрии. Мы применили свойство биссектрисы и теорему синусов. Конечно, возможны и другие способы решения.
