ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 14

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB = 4,$ а боковое ребро $SA = 7.$ На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = SK = 1.$

а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC.$
б) Найдите объём пирамиды $BCKM.$

$AB = 4, SA = 7,$

$AM = SK = 1.$

а) Докажем, что $(CKM) \perp (ABC).$

Пусть $L = CM \cap BD.$ Найдём, в каком отношении точка $L$ делит отрезок $BO.$ (точка $O$ – центр основания пирамиды)

$\triangle CBM$ – прямоугольный, $CB = 4, BM = 3,$ по теореме Пифагора $CM = 5.$

Заметим, что $BL$ – биссектриса $\triangle CBM;$ по свойству биссектрисы $\displaystyle \frac{CL}{LM} = \frac{CB}{BM} = \frac{4}{3},$ тогда $\displaystyle CL = \frac{4}{7}CM = \frac{4}{7} \cdot 5 = \frac{20}{7}, LM = \frac{3}{7} CM = \frac{15}{7}.$

В $\displaystyle \triangle CBM \, \sin \angle BCM = \frac{3}{5}, \sin \angle BMC = \frac{4}{5}.$

Применим теорему синусов к треугольникам $CBL$ и $BML.$

В $\triangle CBL:$

$\displaystyle \frac{BL}{\sin \angle BCL} = \frac{CL}{\sin 45^\circ};$

В $\displaystyle \triangle BML: \frac{BL}{\sin \angle BML} = \frac{LM}{\sin 45^\circ}.$ Перемножив эти равенства и подставив данные, получим:

$\displaystyle \frac{BL^2}{\sin \angle BCL \cdot \sin \angle BML} = \frac{CL \cdot LM}{\sin^2 45^\circ}.$

$\displaystyle \frac{BL^2 \cdot 25}{3\cdot 4} = \frac{20 \cdot 15 \cdot 2}{7^2};$

$\displaystyle BL = \frac{12 \sqrt{2}}{7}.$

Так как $\displaystyle BO = \frac{1}{2}BD = \frac{4 \sqrt{2}}{2},$

$\displaystyle \frac{BL}{BO} = \frac{12 \sqrt{2} \cdot 2}{7 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{6}{7} = \frac{BK}{SB}$

Тогда $\triangle KBL \sim \triangle SBO$ по углу и двум сторонам; отсюда $KL \parallel SO.$ Это значит, что $KL \perp (ABC);$ по признаку перпендикулярности плоскостей, $(CKM) \perp (ABC).$

б) Найдём объём пирамиды $BKCM.$

$KL \perp (ABC),$ значит, $KL$ – высота пирамиды $BCKM.$

$\displaystyle KL = \frac{6}{7}SO = \frac{6}{7} \cdot \sqrt{SB^2 - BO^2} = \frac{6 \sqrt{41}}{7}$

$\displaystyle S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2}BC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6;$

$\displaystyle V_{BKCM} = \frac{1}{3}S_{\triangle BCM} \cdot KL = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6 \sqrt{41}}{7} = \frac{12\sqrt{41}}{7}.$

Для решения этой задачи необходимо хорошее знание планиметрии. Мы применили свойство биссектрисы и теорему синусов. Конечно, возможны и другие способы решения.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 14» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.09.2023

ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 14

Это полезно