previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 14

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.

AB = 4, SA = 7,

AM = SK = 1.

а) Докажем, что (CKM) \perp (ABC).

Пусть L = CM \cap BD. Найдём, в каком отношении точка L делит отрезок BO. (точка O – центр основания пирамиды)

\triangle CBM – прямоугольный, CB = 4, BM = 3, по теореме Пифагора CM = 5.

Заметим, что BL – биссектриса \triangle CBM; по свойству биссектрисы \displaystyle \frac{CL}{LM} = \frac{CB}{BM} = \frac{4}{3}, тогда \displaystyle CL = \frac{4}{7}CM = \frac{4}{7} \cdot 5 = \frac{20}{7}, LM = \frac{3}{7} CM = \frac{15}{7}.

В \displaystyle \triangle CBM \, \sin \angle BCM = \frac{3}{5}, \sin \angle BMC = \frac{4}{5}.

Применим теорему синусов к треугольникам CBL и BML.

В \triangle CBL:

\displaystyle \frac{BL}{\sin \angle BCL} = \frac{CL}{\sin 45^\circ};

В \displaystyle \triangle BML: \frac{BL}{\sin \angle BML} = \frac{LM}{\sin 45^\circ}. Перемножив эти равенства и подставив данные, получим:

\displaystyle \frac{BL^2}{\sin \angle BCL \cdot \sin \angle BML} = \frac{CL \cdot LM}{\sin^2 45^\circ}.

\displaystyle \frac{BL^2 \cdot 25}{3\cdot 4} = \frac{20 \cdot 15 \cdot 2}{7^2};

\displaystyle BL = \frac{12 \sqrt{2}}{7}.

Так как \displaystyle BO = \frac{1}{2}BD = \frac{4 \sqrt{2}}{2},

\displaystyle \frac{BL}{BO} = \frac{12 \sqrt{2} \cdot 2}{7 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{6}{7} = \frac{BK}{SB}

Тогда \triangle KBL \sim \triangle SBO по углу и двум сторонам; отсюда KL \parallel SO. Это значит, что KL \perp (ABC); по признаку перпендикулярности плоскостей, (CKM) \perp (ABC).

б) Найдём объём пирамиды BKCM.

KL \perp (ABC), значит, KL – высота пирамиды BCKM.

\displaystyle KL = \frac{6}{7}SO = \frac{6}{7} \cdot \sqrt{SB^2 - BO^2} = \frac{6 \sqrt{41}}{7}

\displaystyle S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2}BC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6;

\displaystyle V_{BKCM} = \frac{1}{3}S_{\triangle BCM} \cdot KL = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6 \sqrt{41}}{7} = \frac{12\sqrt{41}}{7}.

Для решения этой задачи необходимо хорошее знание планиметрии. Мы применили свойство биссектрисы и теорему синусов. Конечно, возможны и другие способы решения.