ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 16

На сторонах $AB, \, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1, \, A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 8 : 3, BA_1 : A_1C = 1 : 2, CB_1 : B_1A = 3 : 1.$ Отрезки $BB_1$ и $CC1$ пересекаются в точке $D.$

а) Докажите, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD,$ если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 28, \, BC = 18.$

Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:

Пусть $(AD) \cap BC = A_2.$

По теореме Чевы,

$\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1.$

$\displaystyle \frac{8}{3} \cdot \frac{BA_2}{A_2C} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$\displaystyle \frac{BA_2}{A_2C} = \frac{1}{8},$ тогда

$\displaystyle BA_2 = \frac{1}{9}BC$

$\displaystyle A_2A_1 = \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \right ) BC = \frac{2}{9}BC,$

$\displaystyle A_1C = \frac{2}{3}BC,$ тогда $\displaystyle A_2A_1 = \frac{1}{3}A_1C$

$\displaystyle A_1C : A_2C = B_1C : AC = \frac{3}{4},$

Это значит, что $\triangle A_1CB_1 \sim \triangle A_2CA$ по двум углам и $AA_2 \parallel B_1A_1,$ то есть $AD \parallel B_1A_1.$

Рассмотрим треугольник $ABB_1.$

Прямая $C_1C$ пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны $AB_1.$

По теореме Менелая,

$\displaystyle \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BD}{DB_1} \cdot \frac{B_1C}{AC} = 1$

$\displaystyle \frac{8}{3} \cdot \frac{BD}{DB_1} = \frac{3}{4} = 1;$

$\displaystyle \frac{BD}{DB_1} = \frac{1}{2} = \frac{BA_1}{A_1C};$

тогда $\displaystyle \frac{BD}{BB_1} = \frac{BA_1}{BC} = \frac{1}{3},$

$\triangle BDA_1 \sim \triangle BB_1C$ по углу и двум сторонам, отсюда

$\angle BDA_1 = \angle BB_1C_1, \, DA_1 \parallel B_1C.$

Мы получили:

$AD \parallel B_1A_1$

$DA_1 \parallel AB_1, \, ADA_1B_1$ — параллелограмм по определению.

Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.

Обозначим

$AC_1 = 8x, \, BC_1 = 3x,$

$BA_1 = y, \, A_1C = 2y,$

$AB_1 = z, \, B_1C = 3z.$

Докажем, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

Пусть $K$ — середина $AC.$

Тогда $AK = KC = 2z, \, B_1K = z$

Тогда $\triangle A_1CK \sim \triangle BCB_1$ по углу и двум пропорциональным сторонам,

$A_1K \parallel BB_1.$

Проведём $AN \parallel BB_1,$

По теореме Фалеса $BN = y.$

Пусть $CC_1 \cap AN = p.$

$\triangle APC_1 \sim \triangle BDC_1$ по двум углам;

$\displaystyle \frac{AP}{BD} = \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{8}{3}.$

Пусть $AP = 8k,$

$BD = 3k.$

$\triangle B_1CD \sim \triangle ACP$ по 2 углам, $\displaystyle \frac{AP}{B_1D} = \frac{AC}{B_1C} = \frac{4}{3},$
тогда $\displaystyle B_1D = \frac{3}{4}AP = 6k,$

$\displaystyle \frac{BD}{B_1D} = \frac{1}{2}.$

Это значит, что $\triangle BDA_1 \sim \triangle BB_1C$ по углу и двум сторонам и $A_1D \parallel AC.$

При этом $\displaystyle A_1D = \frac{1}{3}B_1C = Z = AB_1.$

Получим, что в четырёхугольнике $ADA_1B_1$ :

$AB_1 \parallel A_1D$
$AB_1 = A_1D$

Значит, $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.

б) Найдём $CD$ , если $AD \perp BC, \, AC = 28, \, BC=18.$

Поскольку $A_1B_1 \parallel AD,$ получим, что $A_1B_1 \perp BC, \, \triangle A_1B_1C$ — прямоугольный.

Мы доказали в пункте (а), что $B_1DA_1C$ — трапеция, причём $B_1A \perp A_1C.$

По условию, $AC = 28.$

Тогда $\displaystyle A_1D = \frac{28}{4} = 7,$

$\displaystyle B_1C = \frac{28}{4} \cdot 3 = 21,$

$\displaystyle A_1C = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12.$

Пусть $M \in B_1C, \, CM = 7, \, B_1M = 28.$

Тогда $A_1MCD$ — параллелограмм (по признаку паралелограмма)

$A_1M = CD.$

$B_1M = 28,$ по теореме Пифагора из $\triangle B_1A_1C:$

$\displaystyle B_1A_1 = \sqrt{21^2-12^2} = 3 \sqrt{7^2 - 4^2} = 3 \sqrt{33},$

$\displaystyle \cos \angle A_1B_1C = \cos \angle A_1B_1M = \frac{B_1A_1}{B_1C} = \frac{\sqrt{33}}{7}$

Найдём $A_1M$ из $\triangle A_1B_1M$ по теореме косинусов.

$A_1M^2 = A_1B_1 \, ^2 + B_1M^2 - 2A_1B_1 \cdot B_1M \cdot \cos \angle A_1B_1M,$

$\displaystyle A_1M^2 = 9 \cdot 33 + 28^2 - \frac{2 \cdot 28 \cdot 3 \sqrt{33} \cdot \sqrt{33}}{7} = 28^2 - 15\cdot 33 = 784 - 495 = 289;$

$CD = A_1M = 17.$

Ответ: 17.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

ЕГЭ-2020. Санкт-Петербург, задача 16

Это полезно