1. а) Решите уравнение
\(2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \sin 2x +\sin x=0\)
б) Найдите все его корни на отрезке \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\)
Решение:
\(2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x +\sin x =0\)
\(\sin x \left ( 2 \cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x+1 \right )=0\)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
\sin x=0 \\
2\cos^2 x+2\sqrt{2} \cos x +1 =0
\end{array}
\right.
\)
Решим второе уравнение;
сделаем замену \(\cos x =t; \left| t \right|\leq 1\)
\(2t^2+2\sqrt{2}t+1=0\)
\(D=8-8=0;\)
\(\displaystyle t=-\frac{\sqrt{2}}{2};\) получим:
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
\sin x=0 \\
\cos x =-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right.
; \)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
x=\pi k, \: k \in Z \\
x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n, \: n \in Z
\end{array}\right.
; \)
б) Отберем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\) с помощью единичной окружности.
Отметим на единичной окружности отрезок \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\) и найдем серии решений;
\(\displaystyle x_1=-4\pi +\frac{3\pi}{4}=-\frac{13 \pi}{4}\)
\(\displaystyle x_2=-3\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{11 \pi}{4}\)
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -4\pi;\: -\frac{13\pi}{4};\: -3\pi;\: -\frac{11\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \pi k;\; \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\:\; k,\; n \in Z\)
б) \(\displaystyle -4\pi ;\; - \frac{13\pi}{4}; \: -3 \pi ; \: -\frac{11 \pi}{4}\)
2. а) Решите уравнение \(2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x }+{\sin x\ }=0;\)
б) Найдите все корни на отрезке \(\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].\)
Решение:
а) \(2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x\ }+\sin x=0,\)
По формуле синуса двойного угла, \({\sin 2x=2{\sin x{\cos x } } }\)
\(2{\sin x\ }{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\sin x{\cos x }}+\sin x=0,\)
Вынесем за скобки \({\sin x}:\)
\({\sin x }(2{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\cos x}+1)=0,\) а так как \({\left(\sqrt{2}{\cos x }\right)}^2=2{\cos}^2x,\\) получим:
\({\sin x }{(\sqrt{2}{\cos x }+1)}^2=0, \)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
\(\left[ \begin{array}{c}
{\sin x=\ }0 \\
{\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ } \end{array}
\right. , \ \left[ \begin{array}{c}
x=\pi n,\; n\in Z \\
x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z \end{array}
\right. , \left[ \begin{array}{c}
x=\pi n,\; n\in Z \\
x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z \\
x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z \end{array}
\right.\)
б) Найдем корни на промежутке \(\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].\)
1) Рассмотрим первую серию решений: \(x=\pi n,\ n\in Z.\)
Решим неравенство \(\displaystyle -4\pi \leq \pi n\leq -\frac{5\pi }{2}, \; n \in Z. \)
\(\displaystyle -4\leq n\leq -\frac{5}{2},n\in Z,\ \)
\(\displaystyle -4\leq n\leq -2,5,\ n\in Z\ ,\ \)
\(\left[ \begin{array}{c}
n=-4 \\
n=-3 \end{array}
\right., \)
значит, из первой серии решений в указанный промежуток попадают 2 корня \(x_1=-4\pi \) и \({x}_2=-3\pi ; \;\)
2) Рассмотрим вторую серию решений: \(\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z.\)
Решим неравенство \(\displaystyle -4\pi \leq \frac{3\pi }{4}+2\pi m\leq -\frac{5\pi }{2}, \; m\ \in Z,\)
\(\displaystyle \frac{-19\pi }{4}\leq 2\pi m\leq -\frac{13\pi }{4},m\ \in Z, \)
разделим все части неравенства на 2\(\pi :\)
\(\displaystyle \frac{-19}{8}\leq m\leq -\frac{13}{8}m\in Z, \)
\(\displaystyle -2\frac{3}{8}\leq m\leq -1\frac{5}{8}m\in Z,\; m=-2.\ \)
Значит, из второй серии решений получаем ещё один корень \(\displaystyle {\ x}_3=\frac{3\pi }{4}-4\pi =-\frac{13\pi }{4}\ .\)
3) Рассмотрим третью серию решений: \(\displaystyle x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z.\)
\(\displaystyle -4\pi \leq -\frac{3\pi }{4}+2\pi k\leq \frac{-5\pi }{2},\ k\in Z\ \)
\(\displaystyle -\frac{13\pi }{4}\leq 2\pi k\leq -\frac{7\pi }{4},\ k\in Z\ \)
\(\displaystyle -\frac{13}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z ;\)
\(\displaystyle -1\frac{5}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z; \)
\(k=-1,\) из третьей серии получаем четвертый корень \(\displaystyle x_4=-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{8}.\)
Ответ: а) \(\pi n,\ n\in Z; \; \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z;\ \)
б) \(\displaystyle -4\pi ,\; -\frac{13\pi }{4},\; -3\pi ,\; -\frac{11\pi }{8}.\)
3. а) Решить уравнение \(\displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })=\sqrt{3}{\cos x\ }\)
б) Найти корни на \(\displaystyle \left[\pi ; \; \frac{5\pi }{2}\right].\)
Решение:
Применим формулы приведения: \(\displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })={\cos \ (\frac{\pi }{2}\ }-2x)={\sin 2\ x },\)
Применим формулу синуса двойного угла: \({\sin 2\ x\ }=2{\sin x\ }{\cos x},\)
уравнение примет вид:
\(2{\sin x\ }{\cos x\ }\ =\sqrt{3}{\cos x } , \)
\(2{\sin x\ }{\cos x\ }-\sqrt{3}{\cos x\ }=0,\)
\((2{\sin x\ }-\sqrt{3}{)\ \cos x\ }=0,\)
\(\left[ \begin{array}{c}
2{\sin x\ }-\sqrt{3}=0 \\
{\ \cos x\ }=0 \end{array}
\right., \left[ \begin{array}{c}
{\sin x\ }=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
{\ \cos x\ }=0 \end{array}
\right..\)
\(\ \left[ \begin{array}{c}
x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z \\
x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z \\
x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z \end{array}
\right..\)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left[\pi ; \;\ \frac{5\pi }{2}\right]\) с помощью двойных неравенств.
1) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{3}+2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}, k\in Z, \)
\(\displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{3},\ k\in Z\)
\(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{13\pi }{6},\ k\in Z, \)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq \frac{13}{12},\ k\in Z\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq 1\frac{1}{12},\ k\in Z\)
k = 1, значит, на данном промежутке из этой серии находится только 1 корень
\(\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\)
2) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{2\pi }{3}+2\pi m\leq \frac{5\pi }{2},\ m\in Z, \)
\(\displaystyle \pi -\frac{2\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{2\pi }{3},\ m\in Z\)
\(\displaystyle \frac{\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{11\pi }{6}; \;\ m\in Z,\)
\(\displaystyle \ \frac{1}{6}\leq m\leq \frac{11}{12}; \;\ m\in Z\)
\(m\in \emptyset ,\) значит, из этой серии на данном промежутке корней нет.
3) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ \ n\in Z\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{2}+\pi n\leq \frac{5\pi }{2},\ n\in Z, \)
\(\displaystyle \pi -\frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\ n\in Z\)
\(\displaystyle \frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq 2\pi ,\ n\in Z,\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leq n\leq 2,\ n\in Z,\)
\(\left[ \begin{array}{c}
n=1 \\
n=2 \end{array}
\right.,\) значит, из этой серии на данном промежутке лежат 2 корня
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{\pi }{2}+\pi \\
x=\frac{\pi }{2}+2\pi \end{array}
\right. , \left[ \begin{array}{c}
x=\frac{3\pi }{2} \\
x=\frac{5\pi }{2} \end{array}
\right.\)
Таким образом, на заданном промежутке мы нашли 3 корня: \(\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \ {(-1)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,\; k\in Z; \;\ \frac{\pi }{2}+\pi n,\; n\in Z.\)
б) \(\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.\)
4. (Резервный день)
а) Решите уравнение \(\displaystyle 7\sin \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )+4\sqrt{3} \sin x \cos x =4\cos^3 x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .\)
Решение:
По формуле приведения,
\(\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=\cos x;\)
\(7\cos x +4\sqrt{3}\sin x \cos x -4 \cos ^3 x =0;\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4\cos^2 x \right )=0\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4+4\sin^2 x \right )=0\)
\(\cos x \left ( 2\sin x + \sqrt{3} \right )^2=0 \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \cos x =0
\\ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{c}
x = \frac{\pi}{2}+\pi n,\; k \in Z\\
x = - \frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z \\
x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n
\end{array}\right.\)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ - \frac{5\pi}{2}; - \pi \right ]\) с помощью единичной окружности. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{7\pi}{3}; \; -\frac{3 \pi}{2}.\)
