previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13 ЕГЭ-2021. Решение уравнений

1. а) Решите уравнение

2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \sin 2x +\sin x=0

б) Найдите все его корни на отрезке \displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]

Решение:

2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x +\sin x =0

\sin x \left ( 2 \cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x+1 \right )=0

\displaystyle \left[\begin{array}{c}\sin x=0 \\2\cos^2 x+2\sqrt{2} \cos x +1 =0\end{array}\right.

Решим второе уравнение;

сделаем замену \cos x =t; \left| t \right|\leq 1

2t^2+2\sqrt{2}t+1=0

D=8-8=0;

\displaystyle t=-\frac{\sqrt{2}}{2}; получим:

\displaystyle \left[\begin{array}{c}\sin x=0 \\\cos x =-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.;

\displaystyle \left[\begin{array}{c}x=\pi k, \: k \in Z \\x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n, \: n \in Z\end{array}\right.;

б) Отберем корни на отрезке \displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ] с помощью единичной окружности.

Отметим на единичной окружности отрезок \displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ] и найдем серии решений;

\displaystyle x_1=-4\pi +\frac{3\pi}{4}=-\frac{13 \pi}{4}

\displaystyle x_2=-3\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{11 \pi}{4}

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle -4\pi;\: -\frac{13\pi}{4};\: -3\pi;\: -\frac{11\pi}{4}.

Ответ:

а) \displaystyle \pi k;\; \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\:\; k,\; n \in Z

б) \displaystyle -4\pi ;\; - \frac{13\pi}{4}; \: -3 \pi ; \: -\frac{11 \pi}{4}

 

2. а) Решите уравнение 2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x }+{\sin x\ }=0;

б) Найдите все корни на отрезке \displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].

Решение:

а) 2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x\ }+\sin x=0,

По формуле синуса двойного угла, {\sin 2x=2{\sin x{\cos x } } }

2{\sin x\ }{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\sin x{\cos x }}+\sin x=0,

Вынесем за скобки {\sin x}:

{\sin x }(2{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\cos x}+1)=0, а так как {\left(\sqrt{2}{\cos x }\right)}^2=2{\cos}^2x,\ получим:

{\sin x }{(\sqrt{2}{\cos x }+1)}^2=0,

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

\left[ \begin{array}{c}{\sin x=\ }0 \\{\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ } \end{array}\right. , \ \left[ \begin{array}{c}x=\pi n,\; n\in Z \\x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z \end{array}\right. , \left[ \begin{array}{c}x=\pi n,\; n\in Z \\x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z \\x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z \end{array}\right.

б) Найдем корни на промежутке \displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].

1) Рассмотрим первую серию решений: x=\pi n,\ n\in Z.

Решим неравенство \displaystyle -4\pi \leq \pi n\leq -\frac{5\pi }{2}, \; n \in Z.

\displaystyle -4\leq n\leq -\frac{5}{2},n\in Z,\

\displaystyle -4\leq n\leq -2,5,\ n\in Z\ ,\

\left[ \begin{array}{c}n=-4 \\n=-3 \end{array}\right.,

значит, из первой серии решений в указанный промежуток попадают 2 корня x_1=-4\pi и {x}_2=-3\pi ; \;

2) Рассмотрим вторую серию решений: \displaystyle x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z.

Решим неравенство \displaystyle -4\pi \leq \frac{3\pi }{4}+2\pi m\leq -\frac{5\pi }{2}, \; m\ \in Z,

\displaystyle \frac{-19\pi }{4}\leq 2\pi m\leq -\frac{13\pi }{4},m\ \in Z,

разделим все части неравенства на 2\pi :

\displaystyle \frac{-19}{8}\leq m\leq -\frac{13}{8}m\in Z,

\displaystyle -2\frac{3}{8}\leq m\leq -1\frac{5}{8}m\in Z,\; m=-2.\

Значит, из второй серии решений получаем ещё один корень \displaystyle {\ x}_3=\frac{3\pi }{4}-4\pi =-\frac{13\pi }{4}\ .

3) Рассмотрим третью серию решений: \displaystyle x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z.

\displaystyle -4\pi \leq -\frac{3\pi }{4}+2\pi k\leq \frac{-5\pi }{2},\ k\in Z\

\displaystyle -\frac{13\pi }{4}\leq 2\pi k\leq -\frac{7\pi }{4},\ k\in Z\

\displaystyle -\frac{13}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z ;

\displaystyle -1\frac{5}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z;

k=-1, из третьей серии получаем четвертый корень \displaystyle x_4=-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{8}.

Ответ: а) \pi n,\ n\in Z; \; \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z;\

б) \displaystyle -4\pi ,\; -\frac{13\pi }{4},\; -3\pi ,\; -\frac{11\pi }{8}.

 

3. а) Решить уравнение \displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })=\sqrt{3}{\cos x\ }

б) Найти корни на \displaystyle \left[\pi ; \; \frac{5\pi }{2}\right].

Решение:

Применим формулы приведения: \displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })={\cos \ (\frac{\pi }{2}\ }-2x)={\sin 2\ x },

Применим формулу синуса двойного угла: {\sin 2\ x\ }=2{\sin x\ }{\cos x},

уравнение примет вид:

2{\sin x\ }{\cos x\ }\ =\sqrt{3}{\cos x } ,

2{\sin x\ }{\cos x\ }-\sqrt{3}{\cos x\ }=0,

(2{\sin x\ }-\sqrt{3}{)\ \cos x\ }=0,

\left[ \begin{array}{c}2{\sin x\ }-\sqrt{3}=0 \\{\ \cos x\ }=0 \end{array}\right., \left[ \begin{array}{c}{\sin x\ }=\frac{\sqrt{3}}{2} \\{\ \cos x\ }=0 \end{array}\right..

\ \left[ \begin{array}{c}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z \\x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z \\x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z \end{array}\right..

б) Найдем корни на отрезке \displaystyle \left[\pi ; \;\ \frac{5\pi }{2}\right] с помощью двойных неравенств.

1) Серия решений \displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z

\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{3}+2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}, k\in Z,

\displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{3},\ k\in Z

\displaystyle \frac{2\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{13\pi }{6},\ k\in Z,

\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq \frac{13}{12},\ k\in Z

\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq 1\frac{1}{12},\ k\in Z

k = 1, значит, на данном промежутке из этой серии находится только 1 корень

\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}

2) Серия решений \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z

\displaystyle \pi \leq \frac{2\pi }{3}+2\pi m\leq \frac{5\pi }{2},\ m\in Z,

\displaystyle \pi -\frac{2\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{2\pi }{3},\ m\in Z

\displaystyle \frac{\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{11\pi }{6}; \;\ m\in Z,

\displaystyle \ \frac{1}{6}\leq m\leq \frac{11}{12}; \;\ m\in Z

m\in \emptyset , значит, из этой серии на данном промежутке корней нет.

3) Серия решений \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ \ n\in Z

\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{2}+\pi n\leq \frac{5\pi }{2},\ n\in Z,

\displaystyle \pi -\frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\ n\in Z

\displaystyle \frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq 2\pi ,\ n\in Z,

\displaystyle \frac{1}{2}\leq n\leq 2,\ n\in Z,

\left[ \begin{array}{c}n=1 \\n=2 \end{array}\right., значит, из этой серии на данном промежутке лежат 2 корня

\left[ \begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+\pi \\x=\frac{\pi }{2}+2\pi \end{array}\right. , \left[ \begin{array}{c}x=\frac{3\pi }{2} \\x=\frac{5\pi }{2} \end{array}\right.

Таким образом, на заданном промежутке мы нашли 3 корня: \displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.

Ответ:

а) \displaystyle \ {(-1)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,\; k\in Z; \;\ \frac{\pi }{2}+\pi n,\; n\in Z.

б) \displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.