1. а) Решите уравнение: \(2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \sin 2x +\sin x=0.\)
б) Найдите все его корни на отрезке \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ].\)
Решение:
\(2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x +\sin x =0;\)
\(\sin x \left ( 2 \cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x+1 \right )=0;\)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
\sin x=0, \\
2\cos^2 x+2\sqrt{2} \cos x +1 =0.
\end{array}
\right.
\)
Решим второе уравнение;
сделаем замену \(\cos x =t; \; \left| t \right|\leq 1.\)
\(2t^2+2\sqrt{2}t+1=0;\)
\(D=8-8=0;\)
\(\displaystyle t=-\frac{\sqrt{2}}{2};\) получим:
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
\sin x=0, \\
\cos x =-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2};
\end{array}\right. \)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}
x=\pi k, \: k \in Z, \\
x=\pm \displaystyle \frac{3\pi}{4}+2\pi n, \: n \in Z.
\end{array}\right. \)
б) Отберем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\) с помощью единичной окружности.
Отметим на единичной окружности отрезок \(\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]\) и найдем серии решений.
\(\displaystyle x_1=-4\pi +\frac{3\pi}{4}=-\frac{13 \pi}{4};\)
\(\displaystyle x_2=-3\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{11 \pi}{4}.\)
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -4\pi;\: -\frac{13\pi}{4};\: -3\pi;\: -\frac{11\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \pi k;\; \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\:\; k,\; n \in Z.\)
б) \(\displaystyle -4\pi ;\; - \frac{13\pi}{4}; \: -3 \pi ; \: -\frac{11 \pi}{4}.\)
2. а) Решите уравнение: \(2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x }+{\sin x\ }=0.\)
б) Найдите все корни на отрезке \(\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].\)
Решение:
а) \(2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x\ }+\sin x=0.\)
По формуле синуса двойного угла, \({\sin 2x=2{\sin x{\cos x } } }: \)
\(2{\sin x\ }{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\sin x{\cos x }}+\sin x=0.\)
Вынесем за скобки \({\sin x}:\)
\({\sin x }(2{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\cos x}+1)=0,\) а так как \({\left(\sqrt{2}{\cos x}\right)}^2=2{\cos}^2x,\) получим:
\({\sin x }{(\sqrt{2}{\cos x }+1)}^2=0. \)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
\(\left[ \begin{array}{c}
{\sin x=}0, \\
{\cos x=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}; \end{array}
\right. \left[ \begin{array}{c}
x=\pi n,\; n\in Z, \\
x=\pm\displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z ;\end{array}
\right. \left[ \begin{array}{c}
x=\pi n,\; n\in Z, \\
x=\displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z, \\
x=-\displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z. \end{array}
\right.\)
б) Найдем корни на промежутке \(\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].\)
1) Рассмотрим первую серию решений: \(x=\pi n,\ n\in Z.\)
Решим неравенство \(\displaystyle -4\pi \leq \pi n\leq -\frac{5\pi }{2}, \; n \in Z. \)
\(\displaystyle -4\leq n\leq -\frac{5}{2}, \; n\in Z; \)
\(\displaystyle -4\leq n\leq -2,5,\ n\in Z;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
n=-4, \\
n=-3 ,\end{array}
\right. \)
значит, из первой серии решений в указанный промежуток попадают 2 корня \(x_1=-4\pi \) и \({x}_2=-3\pi.\)
2) Рассмотрим вторую серию решений: \(\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m, \; m \in Z.\)
Решим неравенство \(\displaystyle -4\pi \leq \frac{3\pi }{4}+2\pi m\leq -\frac{5\pi }{2}, \; m \in Z,\)
\(\displaystyle \frac{-19\pi }{4}\leq 2\pi m\leq -\frac{13\pi }{4}, \; m\ \in Z. \)
Разделим все части неравенства на \(2\pi :\)
\(\displaystyle \frac{-19}{8}\leq m\leq -\frac{13}{8}, \; m\in Z;\)
\(\displaystyle -2\frac{3}{8}\leq m\leq -1\frac{5}{8} , \; m\in Z, \; m=-2.\ \)
Значит, из второй серии решений получаем ещё один корень \(\displaystyle {x}_3=\frac{3\pi }{4}-4\pi =-\frac{13\pi }{4}.\)
3) Рассмотрим третью серию решений: \(\displaystyle x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k, \; k\in Z.\)
\(\displaystyle -4\pi \leq -\frac{3\pi }{4}+2\pi k\leq \frac{-5\pi }{2}, \; k\in Z;\)
\(\displaystyle -\frac{13\pi }{4}\leq 2\pi k\leq -\frac{7\pi }{4}, \; k\in Z; \)
\(\displaystyle -\frac{13}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z ;\)
\(\displaystyle -1\frac{5}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z. \)
\(k=-1,\) из третьей серии получаем четвертый корень \(\displaystyle x_4=-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{8}.\)
Ответ: а) \(\pi n,\ n\in Z; \; \pm \displaystyle \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z;\ \)
б) \(\displaystyle -4\pi ,\; -\frac{13\pi }{4},\; -3\pi ,\; -\frac{11\pi }{8}.\)
3. а) Решить уравнение: \(\displaystyle cos \left (2x-\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{3}{\cos x}.\)
б) Найти корни на \(\displaystyle \left[\pi ; \frac{5\pi }{2}\right].\)
Решение:
Применим формулы приведения: \(\displaystyle \cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left (\frac{\pi }{2}-2x\right )=\sin 2x.\)
Применим формулу синуса двойного угла: \({\sin 2x}=2{\sin x}{\cos x},\) уравнение примет вид:
\(2{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}{\cos x }; \)
\(2{\sin x}{\cos x}-\sqrt{3}{\cos x}=0;\)
\((2{\sin x\ }-\sqrt{3}{)\ \cos x\ }=0;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
2{\sin x\ }-\sqrt{3}=0 ,\\
{\cos x\ }=0 ;\end{array}
\right. \left[ \begin{array}{c}
{\sin x\ }=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
{\cos x\ }=0; \end{array}
\right.\)
\(\ \left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi k, \ k\in Z, \\
x=\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z, \\
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z. \end{array}
\right.\)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left[\pi ; \frac{5\pi }{2}\right]\) с помощью двойных неравенств.
1) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi k, \ k\in Z;\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{3}+2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}, \; k\in Z;\)
\(\displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{3}, \ k\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{13\pi }{6}, \ k\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq \frac{13}{12}, \ k\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq 1\frac{1}{12}, \ k\in Z.\)
\(k = 1\), значит, на данном промежутке из этой серии находится только 1 корень
\(\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}.\)
2) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z;\)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{2\pi }{3}+2\pi m\leq \frac{5\pi }{2},\ m\in Z;\)
\(\displaystyle \pi -\frac{2\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{2\pi }{3},\ m\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{11\pi }{6}, \; m\in Z;\)
\(\displaystyle \ \frac{1}{6}\leq m\leq \frac{11}{12}, \; m\in Z.\)
\(m\in \emptyset ,\) значит, из этой серии на данном промежутке корней нет.
3) Серия решений \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z; \)
\(\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{2}+\pi n\leq \frac{5\pi }{2},\ n\in Z;\)
\(\displaystyle \pi -\frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}, \ n\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq 2\pi ,\ n\in Z;\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leq n\leq 2,\ n\in Z;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
n=1, \\
n=2 \end{array}
\right., \; \) значит, из этой серии на данном промежутке лежат 2 корня
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle\frac{\pi }{2}+\pi, \\
x=\displaystyle\frac{\pi }{2}+2\pi; \end{array}
\right. \left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle\frac{3\pi }{2}, \\
x=\displaystyle \frac{5\pi }{2} .\end{array}
\right.\)
Таким образом, на заданном промежутке мы нашли 3 корня: \(\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \ {(-1)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k, \; k\in Z; \; \frac{\pi }{2}+\pi n,\; n\in Z.\)
б) \(\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.\)
4. (Резервный день)
а) Решите уравнение: \(\displaystyle 7\sin \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )+4\sqrt{3} \sin x \cos x =4\cos^3 x. \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right].\)
Решение:
По формуле приведения,
\(\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=\cos x;\)
\(7\cos x +4\sqrt{3}\sin x \cos x -4 \cos ^3 x =0;\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4\cos^2 x \right )=0;\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4+4\sin^2 x \right )=0;\)
\(\cos x \left ( 2\sin x + \sqrt{3} \right )^2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \cos x =0, \\ \sin x = - \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2};\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}
x = \displaystyle \frac{\pi}{2}+\pi n,\; k \in Z,\\
x = - \displaystyle \frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z,\\
x=-\displaystyle \frac{2\pi}{3}+2\pi n.
\end{array}\right.\)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ - \frac{5\pi}{2}; - \pi \right ]\) с помощью единичной окружности. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{7\pi}{3}; \; -\frac{3 \pi}{2}.\)
