Задание 13 ЕГЭ-2021. Решение уравнений

1. а) Решите уравнение

$2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \sin 2x +\sin x=0$

б) Найдите все его корни на отрезке $\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]$

Решение:

$2 \sin x\cos^2x + \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x +\sin x =0$

$\sin x \left ( 2 \cos^2 x+2\sqrt{2}\cos x+1 \right )=0$

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}\sin x=0 \\2\cos^2 x+2\sqrt{2} \cos x +1 =0\end{array}\right.$

Решим второе уравнение;

сделаем замену $\cos x =t; \left| t \right|\leq 1$

$2t^2+2\sqrt{2}t+1=0$

$D=8-8=0;$

$\displaystyle t=-\frac{\sqrt{2}}{2};$ получим:

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}\sin x=0 \\\cos x =-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.;$

$\displaystyle \left[\begin{array}{c}x=\pi k, \: k \in Z \\x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n, \: n \in Z\end{array}\right.;$

б) Отберем корни на отрезке $\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]$ с помощью единичной окружности.

Отметим на единичной окружности отрезок $\displaystyle \left [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right ]$ и найдем серии решений;

$\displaystyle x_1=-4\pi +\frac{3\pi}{4}=-\frac{13 \pi}{4}$

$\displaystyle x_2=-3\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{11 \pi}{4}$

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $\displaystyle -4\pi;\: -\frac{13\pi}{4};\: -3\pi;\: -\frac{11\pi}{4}.$

Ответ:

а) $\displaystyle \pi k;\; \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\:\; k,\; n \in Z$

б) $\displaystyle -4\pi ;\; - \frac{13\pi}{4}; \: -3 \pi ; \: -\frac{11 \pi}{4}$

2. а) Решите уравнение $2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x }+{\sin x\ }=0;$

б) Найдите все корни на отрезке $\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].$

Решение:

а) $2{\sin x\ }{\cos}^2x+\sqrt{2}{\sin 2x\ }+\sin x=0,$

По формуле синуса двойного угла, ${\sin 2x=2{\sin x{\cos x } } }$

$2{\sin x\ }{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\sin x{\cos x }}+\sin x=0,$

Вынесем за скобки ${\sin x}:$

${\sin x }(2{\cos}^2x+2\sqrt{2}{\cos x}+1)=0,$ а так как ${\left(\sqrt{2}{\cos x }\right)}^2=2{\cos}^2x,\$ получим:

${\sin x }{(\sqrt{2}{\cos x }+1)}^2=0,$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\left[ \begin{array}{c}{\sin x=\ }0 \\{\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ } \end{array}\right. , \ \left[ \begin{array}{c}x=\pi n,\; n\in Z \\x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z \end{array}\right. , \left[ \begin{array}{c}x=\pi n,\; n\in Z \\x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z \\x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z \end{array}\right.$

б) Найдем корни на промежутке $\displaystyle \left[-4\pi ; \;-\frac{5\pi }{2}\right].$

1) Рассмотрим первую серию решений: $x=\pi n,\ n\in Z.$

Решим неравенство $\displaystyle -4\pi \leq \pi n\leq -\frac{5\pi }{2}, \; n \in Z.$

$\displaystyle -4\leq n\leq -\frac{5}{2},n\in Z,\$

$\displaystyle -4\leq n\leq -2,5,\ n\in Z\ ,\$

$\left[ \begin{array}{c}n=-4 \\n=-3 \end{array}\right.,$

значит, из первой серии решений в указанный промежуток попадают 2 корня $x_1=-4\pi$ и ${x}_2=-3\pi ; \;$

2) Рассмотрим вторую серию решений: $\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}+2\pi m,\ m\in Z.$

Решим неравенство $\displaystyle -4\pi \leq \frac{3\pi }{4}+2\pi m\leq -\frac{5\pi }{2}, \; m\ \in Z,$

$\displaystyle \frac{-19\pi }{4}\leq 2\pi m\leq -\frac{13\pi }{4},m\ \in Z,$

разделим все части неравенства на 2 $\pi :$

$\displaystyle \frac{-19}{8}\leq m\leq -\frac{13}{8}m\in Z,$

$\displaystyle -2\frac{3}{8}\leq m\leq -1\frac{5}{8}m\in Z,\; m=-2.\$

Значит, из второй серии решений получаем ещё один корень $\displaystyle {\ x}_3=\frac{3\pi }{4}-4\pi =-\frac{13\pi }{4}\ .$

3) Рассмотрим третью серию решений: $\displaystyle x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\; k\in Z.$

$\displaystyle -4\pi \leq -\frac{3\pi }{4}+2\pi k\leq \frac{-5\pi }{2},\ k\in Z\$

$\displaystyle -\frac{13\pi }{4}\leq 2\pi k\leq -\frac{7\pi }{4},\ k\in Z\$

$\displaystyle -\frac{13}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z ;$

$\displaystyle -1\frac{5}{8}\leq k\leq -\frac{7}{8},\ k\in Z;$

$k=-1,$ из третьей серии получаем четвертый корень $\displaystyle x_4=-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{8}.$

Ответ: а) $\pi n,\ n\in Z; \; \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z;\$

б) $\displaystyle -4\pi ,\; -\frac{13\pi }{4},\; -3\pi ,\; -\frac{11\pi }{8}.$

3. а) Решить уравнение $\displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })=\sqrt{3}{\cos x\ }$

б) Найти корни на $\displaystyle \left[\pi ; \; \frac{5\pi }{2}\right].$

Решение:

Применим формулы приведения: $\displaystyle {\cos (2x-\frac{\pi }{2}\ })={\cos \ (\frac{\pi }{2}\ }-2x)={\sin 2\ x },$

Применим формулу синуса двойного угла: ${\sin 2\ x\ }=2{\sin x\ }{\cos x},$

уравнение примет вид:

$2{\sin x\ }{\cos x\ }\ =\sqrt{3}{\cos x } ,$

$2{\sin x\ }{\cos x\ }-\sqrt{3}{\cos x\ }=0,$

$(2{\sin x\ }-\sqrt{3}{)\ \cos x\ }=0,$

$\left[ \begin{array}{c}2{\sin x\ }-\sqrt{3}=0 \\{\ \cos x\ }=0 \end{array}\right., \left[ \begin{array}{c}{\sin x\ }=\frac{\sqrt{3}}{2} \\{\ \cos x\ }=0 \end{array}\right..$

$\ \left[ \begin{array}{c}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z \\x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z \\x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z \end{array}\right..$

б) Найдем корни на отрезке $\displaystyle \left[\pi ; \;\ \frac{5\pi }{2}\right]$ с помощью двойных неравенств.

1) Серия решений $\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z$

$\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{3}+2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}, k\in Z,$

$\displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{3},\ k\in Z$

$\displaystyle \frac{2\pi }{3}\leq 2\pi k\leq \frac{13\pi }{6},\ k\in Z,$

$\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq \frac{13}{12},\ k\in Z$

$\displaystyle \frac{1}{3}\leq k\leq 1\frac{1}{12},\ k\in Z$

k = 1, значит, на данном промежутке из этой серии находится только 1 корень

$\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$

2) Серия решений $\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,\ m\in Z$

$\displaystyle \pi \leq \frac{2\pi }{3}+2\pi m\leq \frac{5\pi }{2},\ m\in Z,$

$\displaystyle \pi -\frac{2\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{2\pi }{3},\ m\in Z$

$\displaystyle \frac{\pi }{3}\leq 2\pi m\leq \frac{11\pi }{6}; \;\ m\in Z,$

$\displaystyle \ \frac{1}{6}\leq m\leq \frac{11}{12}; \;\ m\in Z$

$m\in \emptyset ,$ значит, из этой серии на данном промежутке корней нет.

3) Серия решений $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ \ n\in Z$

$\displaystyle \pi \leq \frac{\pi }{2}+\pi n\leq \frac{5\pi }{2},\ n\in Z,$

$\displaystyle \pi -\frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\ n\in Z$

$\displaystyle \frac{\pi }{2}\leq \pi n\leq 2\pi ,\ n\in Z,$

$\displaystyle \frac{1}{2}\leq n\leq 2,\ n\in Z,$

$\left[ \begin{array}{c}n=1 \\n=2 \end{array}\right.,$ значит, из этой серии на данном промежутке лежат 2 корня

$\left[ \begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+\pi \\x=\frac{\pi }{2}+2\pi \end{array}\right. , \left[ \begin{array}{c}x=\frac{3\pi }{2} \\x=\frac{5\pi }{2} \end{array}\right.$

Таким образом, на заданном промежутке мы нашли 3 корня: $\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.$

Ответ:

а) $\displaystyle \ {(-1)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,\; k\in Z; \;\ \frac{\pi }{2}+\pi n,\; n\in Z.$

б) $\displaystyle \frac{3\pi }{2},\; \frac{7\pi }{3},\; \frac{5\pi }{2}.$

4. (Резервный день)

а) Решите уравнение $\displaystyle 7\sin \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )+4\sqrt{3} \sin x \cos x =4\cos^3 x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .$

Решение:

По формуле приведения,

$\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=\cos x;$

$7\cos x +4\sqrt{3}\sin x \cos x -4 \cos ^3 x =0;$

$\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4\cos^2 x \right )=0$

$\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4+4\sin^2 x \right )=0$

$\cos x \left ( 2\sin x + \sqrt{3} \right )^2=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \cos x =0\\ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x = \frac{\pi}{2}+\pi n,\; k \in Z\\x = - \frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z \\x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\end{array}\right.$

б) Найдем корни на отрезке $\displaystyle \left [ - \frac{5\pi}{2}; - \pi \right ]$ с помощью единичной окружности. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $\displaystyle -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{7\pi}{3}; \; -\frac{3 \pi}{2}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 13 ЕГЭ-2021. Решение уравнений» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.05.2023

Задание 13 ЕГЭ-2021. Решение уравнений

Это полезно