1. Решите неравенство:
\(\left ( 9^x -2\cdot 3^{x+1} \right )^2+14\left ( 9^x-2\cdot 3^{x+1} \right )+45\geq 0\)
Решение:
Замена: \(9^x -2\cdot 3^{x+1} = t;\)
\(t^2+14t+45 \geq 0\)
подберем корни уравнения \(t^2+14t+45 = 0\) по теореме Виета: \(t_1=-5,\) \(t_2=-9.\)
\(\left ( t+5 \right )\left ( t+9 \right ) \geq 0\)
\(\left [\begin{array}{c}
t\leq -9 \\
t\geq -5
\end{array}\right.
; \) вернемся к переменной \(x.\)
\(\left [\begin{array}{c}
9^x-2\cdot 3^{x+1}\leq -9 \\
9^x-2\cdot 3^{x+1}\geq -5
\end{array}\right.
; \) \(\left [\begin{array}{c}
9^x-2\cdot 3 \cdot 3^x +9 \leq 0 \\
9^x-2\cdot 3 \cdot 3^{x}+5 \geq 0
\end{array}\right.
; \)
сделаем замену \(3^x=z,\) \(z\textgreater 0,\) тогда \(9^x=z^2.\)
\(\left [\begin{array}{c}
z^2-6z+9\leq 0 \\
z^2-6z+5\geq 0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
\left ( z-3 \right )^2 \leq 0 \\
\left ( z-1 \right )\left ( z-5 \right ) \geq 0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
z= 3 \\
z\leq 1 \\
z\geq 5
\end{array}\right.
;\) \(\left [\begin{array}{c}
3^x=3 \\
3^x\leq 1 \\
3^x\geq 5
\end{array}\right.
; \)
функция \(y=3^x\) монотонно возрастает, поэтому
\(\left [\begin{array}{c}
3^x=3^1 \\
3^x\leq 3^0 \\
3^x\geq 3^{log_35}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
x=1 \\
x\leq 0 \\
x\geq log_35
\end{array}\right.\)
Ответ: \(x \in \left ( -\infty ; 0 \right ]\cup \left\{ 1 \right\} \cup \left [ log_35;+\infty \right )\)
2. Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0\)
Заменив \(3^x=t,\ \ t\textgreater 0,\) получим:
\(\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+ \frac{5}{t^2-5t+6}\leq 0, \)
Упростим знаменатель третьей дроби. По теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 — корни квадратного трехчлена
\(t^2-5t+6\ ,\) значит,
\({\ t}^2-5t+6=\left(t-2\right)(t-3),\)
\(\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\ \frac{5}{\left(t-2\right)\cdot (t-3)}\leq 0, \)
\(\displaystyle \frac{t\left(t-2\right)+\left(t+1\right)\left(t-3\right)+5}{\left(t-2\right)(t-3),}\leq 0,\)
\(\displaystyle \frac{2t^2-4t+2}{\left(t-2\right)(t-3)}\leq 0,\)
\(\displaystyle \frac{2{\left(t-1\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}\leq 0\)
Решив неравенство с помощью метода интервалов, получим:
\(t\in \{1\}\cup (2; \;3).\)
Сделаем обратную замену: t=\(3^x\)
\(\left[ \begin{array}{c}
3^x=1, \\
2\leq 3^x\leq 3 \end{array}
\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}
3^x=3^0 \\
3^{{{log}_3 2\ }}\leq 3^x\leq 3^1 \end{array}
,\right.\) а так как функция \(y=3^x\) монтонно возрастает на R, то
\(\left[ \begin{array}{c}
x=0 \\
{{log}_3 2\leq x\leq 1\ } \end{array}
\right.\)
Ответ: \(0 \cup [{{log}_3 2; \;1\ }]\)
3. Решите неравенство:
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }\)
Решение:
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }\)
1) Найдем ОДЗ.
\(\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2\textgreater 0\ \\
12x^2-5x-2\ne 1\ \\
4x+1\textgreater 0\ \end{array}
\right.\)
Решим первое неравенство этой системы: \(\ 12x^2-5x-2\textgreater 0\)
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(\ 12x^2-5x-2=0\)
\(D =25+ 96=121={11}^2\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{5-11}{24} \\
x=\frac{5+11}{24} \end{array}
\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}
x=-\frac{1}{4} \\
x=\frac{2}{3} \end{array}
\right.\)
\(12x^2-5x-2=12(x+\frac{1}{4})(x-\frac{2}{3}),\) тогда
\(12x^2-5x-2\textgreater 0\) при \(\left[ \begin{array}{c}
x\textless -\frac{1}{4} \\
x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}
\right.\)
Второе условие системы:
\(\ 12x^2-5x-2\ne 1\ \)
\(12x^2-5x-3\ne 0\)
Решим уравнение \(12x^2-5x-3=0\)
\(D=25+ 144= 169 ={13}^2\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{5-13}{24} \\
x=\frac{5+13}{24} \end{array}
\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}
x=-\frac{1}{3} \\
x=\frac{3}{4} \end{array}
\right.\)
Значит, \( \left\{ \begin{array}{c}
x\ne -\frac{1}{3} \\
x\ne \frac{3}{4} \end{array}
\right.\)
Третье условие: \(\ 4x+1\textgreater 0\ \)
\(x\textgreater -\frac{1}{4}.\)
Вернемся к системе, задающей ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{c}
\ \left[ \begin{array}{c}
x\textless -\frac{1}{4} \\
x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\ne -\frac{1}{3} \\
x\ne \frac{3}{4} \end{array}
\right. \\
x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}
\right.\) \({{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater \frac{2}{3} \\
x\ne -\frac{1}{3} \\
x\ne \frac{3}{4} \\
x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}
\right.\) ,\({{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater \frac{2}{3} \\
x\ne \frac{3}{4} \end{array}
\right.\) \({{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right..\) Это ОДЗ.
2) Вернемся к исходному неравенству:
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }, \)
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq {{log}_{12x^2-5x-2} 1\ }\ }\ \)
Неравенство равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2\textgreater 1 \\
4x+1\leq 1 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2\textless 1 \\
4x+1\geq 1 \end{array}
\right. \end{array}
\right. \\
\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3\textgreater 0 \\
4x\leq 0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3\textless 0 \\
4x\geq 0 \end{array}
\right. \end{array}
\right. \\
\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right. \end{array}
\right.\stackrel{\ \ }{\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3\textless 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
\({{\stackrel{ \begin{array}{c}
\ \ \\
\ \ \end{array}
}{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
12\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)\textless 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right. \end{array}
\ \right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \left\{ \begin{array}{c}
x\textless \frac{3}{4} \\
\left[ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\
x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}
\right. \end{array}
\right., {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4}\)
Ответ: \( \left(\frac{2}{3}; \;\frac{3}{4}\right)\)
4. Решите неравенство:
\({16}^x-2\cdot 4^x+23\left({16}^x-2\cdot 4^{x+1}\right)+112\geq 0\)
Решение:
Сделаем замену: \(\ {16}^x-2\cdot 4^{x+1}=t,\)
Получим:
\(t^2+23t+112\geq 0 ,\)
найдем корни квадратного трехчлена:
\(t^2+23t+112=0\)
D=\({23}^2-4\cdot 112=529-448=81=9^2\)
\(\left[ \begin{array}{c}
t=\frac{-23-9}{2} \\
t=\frac{-23+9}{2} \end{array}
\right.\) , \(\left[ \begin{array}{c}
t=-16 \\
t=-7 \end{array}
\right.\) , тогда \(t^2+23t+112= (t+17)(t+7),\)
\( (t+16)(t+7)\geq 0\)
\(\left[ \begin{array}{c}
t\leq -16 \\
t\geq -7 \end{array}
\right.. \)
Сделав обратную замену t=\({16}^x-2\cdot 4^{x+1},\) получим
\(\left[ \begin{array}{c}
{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\leq -16 \\
{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\geq -7 \end{array}
\right.\)
Заменив \({\ \ 4}^x=m,\ m\textgreater 0,\) получим \(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
m^2-8m+16\leq 0 \\
m\textgreater 0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
m^2-8m+7\geq 0 \\
m\textgreater 0 \end{array}
\right. \end{array}
\right. \Leftrightarrow\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
{\left(m-4\right)}^2\leq 0 \\
m\textgreater 0 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
\left(m-1\right)\left(m-7\right)\geq 0 \\
m\textgreater 0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}
m=4 \\
\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
m\leq 1 \\
m\geq 7 \end{array}
\right. \\
m\textgreater 0 \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\)
\({{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}
m=4 \\
0\textless m\leq 1 \\
m\geq 7 \end{array}
\right.\)
Вернемся к переменной х:
\(m={\ 4}^x,\) получим совокупность \(\ \left[ \begin{array}{c}
4^x=4 \\
0\textless 4^x\leq 1 \\
4^x\geq 7 \end{array}
\right.\)
\({{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}
4^x=4^1 \\
4^x\leq 4^0 \\
4^x\geq 4^{{{log}_4 7\ }} \end{array}
\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}
x=1 \\
x\leq 0 \\
x\geq {{log}_4 7\ } \end{array}
\right.,\)
\(x\ \in (-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.\)
Мы воспользовались тем, что
функция \(y=4^x\) монотонно возрастает на R, то есть на множестве действительных чисел.
Ответ: \((-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.\)
5. (Резервный день) Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}\)
Замена: \(3^x =t; \; t\textgreater 0.\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t\)
(Выделили целую часть в левой части неравенства),
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
Метод интервалов:
\(\left[\begin{array}{c}
1\textless t\leq 3\\
t \textgreater 9
\end{array}\right.\)
Вернемся к переменной x:
\(\left[\begin{array}{c}
1\textless 3^{x} \leq 3\\
3^{x}\textgreater 9
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{c}
0\textless x \leq 1\\
x\textgreater 2
\end{array}\right.
,\)
так как функция \(y=3^x\) монотонно возрастает.
Ответ: \(x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )\)
