Задача 15 ЕГЭ-2021 Решение неравенств

1. Решите неравенство:

$\left ( 9^x -2\cdot 3^{x+1} \right )^2+14\left ( 9^x-2\cdot 3^{x+1} \right )+45\geq 0$

Решение:

Замена: $9^x -2\cdot 3^{x+1} = t;$

$t^2+14t+45 \geq 0$

подберем корни уравнения $t^2+14t+45 = 0$ по теореме Виета: $t_1=-5,$ $t_2=-9.$

$\left ( t+5 \right )\left ( t+9 \right ) \geq 0$

$\left [\begin{array}{c}t\leq -9 \\t\geq -5\end{array}\right.;$ вернемся к переменной $x.$

$\left [\begin{array}{c}9^x-2\cdot 3^{x+1}\leq -9 \\9^x-2\cdot 3^{x+1}\geq -5\end{array}\right.;$ $\left [\begin{array}{c}9^x-2\cdot 3 \cdot 3^x +9 \leq 0 \\9^x-2\cdot 3 \cdot 3^{x}+5 \geq 0\end{array}\right.;$

сделаем замену $3^x=z,$ $z\textgreater 0,$ тогда $9^x=z^2.$

$\left [\begin{array}{c}z^2-6z+9\leq 0 \\z^2-6z+5\geq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left ( z-3 \right )^2 \leq 0 \\\left ( z-1 \right )\left ( z-5 \right ) \geq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}z= 3 \\z\leq 1 \\z\geq 5\end{array}\right.;$ $\left [\begin{array}{c}3^x=3 \\3^x\leq 1 \\3^x\geq 5\end{array}\right.;$

функция $y=3^x$ монотонно возрастает, поэтому

$\left [\begin{array}{c}3^x=3^1 \\3^x\leq 3^0 \\3^x\geq 3^{log_35}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}x=1 \\x\leq 0 \\x\geq log_35\end{array}\right.$

Ответ: $x \in \left ( -\infty ; 0 \right ]\cup \left\{ 1 \right\} \cup \left [ log_35;+\infty \right )$

2. Решите неравенство:

$\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0$

Решение:

$\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0$

Заменив $3^x=t,\ \ t\textgreater 0,$ получим:

$\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+ \frac{5}{t^2-5t+6}\leq 0,$

Упростим знаменатель третьей дроби. По теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 — корни квадратного трехчлена

$t^2-5t+6\ ,$ значит,

${\ t}^2-5t+6=\left(t-2\right)(t-3),$

$\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\ \frac{5}{\left(t-2\right)\cdot (t-3)}\leq 0,$

$\displaystyle \frac{t\left(t-2\right)+\left(t+1\right)\left(t-3\right)+5}{\left(t-2\right)(t-3),}\leq 0,$

$\displaystyle \frac{2t^2-4t+2}{\left(t-2\right)(t-3)}\leq 0,$

$\displaystyle \frac{2{\left(t-1\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}\leq 0$

Решив неравенство с помощью метода интервалов, получим:

$t\in \{1\}\cup (2; \;3).$

Сделаем обратную замену: t= $3^x$

$\left[ \begin{array}{c}3^x=1, \\2\leq 3^x\leq 3 \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}3^x=3^0 \\3^{{{log}_3 2\ }}\leq 3^x\leq 3^1 \end{array},\right.$ а так как функция $y=3^x$ монтонно возрастает на R, то

$\left[ \begin{array}{c}x=0 \\{{log}_3 2\leq x\leq 1\ } \end{array}\right.$

Ответ: $0 \cup [{{log}_3 2; \;1\ }]$

3. Решите неравенство:

${{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }$

Решение:

${{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }$

1) Найдем ОДЗ.

$\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textgreater 0\ \\12x^2-5x-2\ne 1\ \\4x+1\textgreater 0\ \end{array}\right.$

Решим первое неравенство этой системы: $\ 12x^2-5x-2\textgreater 0$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$\ 12x^2-5x-2=0$

$D =25+ 96=121={11}^2$

$\left[ \begin{array}{c}x=\frac{5-11}{24} \\x=\frac{5+11}{24} \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{1}{4} \\x=\frac{2}{3} \end{array}\right.$

$12x^2-5x-2=12(x+\frac{1}{4})(x-\frac{2}{3}),$ тогда

$12x^2-5x-2\textgreater 0$ при $\left[ \begin{array}{c}x\textless -\frac{1}{4} \\x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}\right.$

Второе условие системы:

$\ 12x^2-5x-2\ne 1\$

$12x^2-5x-3\ne 0$

Решим уравнение $12x^2-5x-3=0$

$D=25+ 144= 169 ={13}^2$

$\left[ \begin{array}{c}x=\frac{5-13}{24} \\x=\frac{5+13}{24} \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{1}{3} \\x=\frac{3}{4} \end{array}\right.$

Значит, $\left\{ \begin{array}{c}x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right.$

Третье условие: $\ 4x+1\textgreater 0\$

$x\textgreater -\frac{1}{4}.$

Вернемся к системе, задающей ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{c}\ \left[ \begin{array}{c}x\textless -\frac{1}{4} \\x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right. \\x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}\right.$ ${{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}x\textgreater \frac{2}{3} \\x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \\x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}\right.$ , ${{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}x\textgreater \frac{2}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right.$ ${{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right..$ Это ОДЗ.

2) Вернемся к исходному неравенству:

${{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ },$

${{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq {{log}_{12x^2-5x-2} 1\ }\ }\$

Неравенство равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textgreater 1 \\4x+1\leq 1 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textless 1 \\4x+1\geq 1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textgreater 0 \\4x\leq 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textless 0 \\4x\geq 0 \end{array}\right. \end{array}\right. \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.\stackrel{\ \ }{\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textless 0 \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.$

${{\stackrel{ \begin{array}{c}\ \ \\\ \ \end{array}}{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}12\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)\textless 0 \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\ \right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \left\{ \begin{array}{c}x\textless \frac{3}{4} \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right., {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4}$

Ответ: $\left(\frac{2}{3}; \;\frac{3}{4}\right)$

4. Решите неравенство:

${16}^x-2\cdot 4^x+23\left({16}^x-2\cdot 4^{x+1}\right)+112\geq 0$

Решение:

Сделаем замену: $\ {16}^x-2\cdot 4^{x+1}=t,$

Получим:

$t^2+23t+112\geq 0 ,$

найдем корни квадратного трехчлена:

$t^2+23t+112=0$

D= ${23}^2-4\cdot 112=529-448=81=9^2$

$\left[ \begin{array}{c}t=\frac{-23-9}{2} \\t=\frac{-23+9}{2} \end{array}\right.$ , $\left[ \begin{array}{c}t=-16 \\t=-7 \end{array}\right.$ , тогда $t^2+23t+112= (t+17)(t+7),$

$(t+16)(t+7)\geq 0$

$\left[ \begin{array}{c}t\leq -16 \\t\geq -7 \end{array}\right..$

Сделав обратную замену t= ${16}^x-2\cdot 4^{x+1},$ получим

$\left[ \begin{array}{c}{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\leq -16 \\{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\geq -7 \end{array}\right.$

Заменив ${\ \ 4}^x=m,\ m\textgreater 0,$ получим $\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}m^2-8m+16\leq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}m^2-8m+7\geq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}{\left(m-4\right)}^2\leq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}\left(m-1\right)\left(m-7\right)\geq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}m=4 \\\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}m\leq 1 \\m\geq 7 \end{array}\right. \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}$

${{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}m=4 \\0\textless m\leq 1 \\m\geq 7 \end{array}\right.$

Вернемся к переменной х:

$m={\ 4}^x,$ получим совокупность $\ \left[ \begin{array}{c}4^x=4 \\0\textless 4^x\leq 1 \\4^x\geq 7 \end{array}\right.$

${{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}4^x=4^1 \\4^x\leq 4^0 \\4^x\geq 4^{{{log}_4 7\ }} \end{array}\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}x=1 \\x\leq 0 \\x\geq {{log}_4 7\ } \end{array}\right.,$

$x\ \in (-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.$

Мы воспользовались тем, что
функция $y=4^x$ монотонно возрастает на R, то есть на множестве действительных чисел.

Ответ: $(-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.$

5. (Резервный день) Решите неравенство:

$\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}$

Решение:

$\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}$

Замена: $3^x =t; \; t\textgreater 0.$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t$

(Выделили целую часть в левой части неравенства),

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0$

$\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

$\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

$\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

Метод интервалов:

$\left[\begin{array}{c}1\textless t\leq 3\\t \textgreater 9\end{array}\right.$

Вернемся к переменной x:

$\left[\begin{array}{c}1\textless 3^{x} \leq 3\\3^{x}\textgreater 9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}0\textless x \leq 1\\x\textgreater 2\end{array}\right.,$

так как функция $y=3^x$ монотонно возрастает.

Ответ: $x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )$

Задача 15 ЕГЭ-2021 Решение неравенств

Это полезно