1. Решите неравенство: \(\left ( 9^x -2\cdot 3^{x+1} \right )^2+14\left ( 9^x-2\cdot 3^{x+1} \right )+45\geq 0.\)
Решение:
Замена: \(9^x -2\cdot 3^{x+1} = t;\)
\(t^2+14t+45 \geq 0.\)
Подберем корни уравнения \(t^2+14t+45 = 0\) по теореме Виета: \(t_1=-5, \; t_2=-9.\)
\(\left ( t+5 \right )\left ( t+9 \right ) \geq 0;\)
\(\left [\begin{array}{c}
t\leq -9, \\
t\geq -5;
\end{array}\right. \)
Вернемся к переменной \(x\):
\(\left [\begin{array}{c}
9^x-2\cdot 3^{x+1}\leq -9, \\
9^x-2\cdot 3^{x+1}\geq -5;
\end{array}\right.\)
\(\left [\begin{array}{c}
9^x-2\cdot 3 \cdot 3^x +9 \leq 0, \\
9^x-2\cdot 3 \cdot 3^{x}+5 \geq 0.
\end{array}\right. \)
Сделаем замену: \(3^x=z, \; z> 0,\) тогда \(9^x=z^2.\)
\(\left [\begin{array}{c}
z^2-6z+9\leq 0, \\
z^2-6z+5\geq 0;
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
\left ( z-3 \right )^2 \leq 0, \\
\left ( z-1 \right )\left ( z-5 \right ) \geq 0;
\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
z= 3, \\
z\leq 1, \\
z\geq 5;
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{c}
3^x=3, \\
3^x\leq 1, \\
3^x\geq 5.
\end{array}\right. \)
Функция \(y=3^x\) монотонно возрастает, поэтому
\(\left [\begin{array}{c}
3^x=3^1, \\
3^x\leq 3^0, \\
3^x\geq 3^{log_35};
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left [\begin{array}{c}
x=1, \\
x\leq 0 ,\\
x\geq log_35.
\end{array}\right.\)
Ответ: \(x \in \left ( -\infty ; 0 \right ]\cup \left\{ 1 \right\} \cup \left [ log_35;+\infty \right )\).
2. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0.\)
Заменив \(3^x=t, \ t> 0,\) получим:
\(\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+ \frac{5}{t^2-5t+6}\leq 0. \)
Упростим знаменатель третьей дроби. По теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 — корни квадратного трехчлена
\(t^2-5t+6\ ,\) значит,
\({\ t}^2-5t+6=\left(t-2\right)(t-3);\)
\(\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\ \frac{5}{\left(t-2\right)\cdot (t-3)}\leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{t\left(t-2\right)+\left(t+1\right)\left(t-3\right)+5}{\left(t-2\right)(t-3)}\leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{2t^2-4t+2}{\left(t-2\right)(t-3)}\leq 0;\)
\(\displaystyle \frac{2{\left(t-1\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}\leq 0.\)
Решив неравенство с помощью метода интервалов, получим:
\(t\in \{1\}\cup (2; \;3).\)
Сделаем обратную замену: \(t=3^x.\)
\(\left[ \begin{array}{c}
3^x=1, \\
2\leq 3^x\leq 3; \end{array}
\right. \ \left[ \begin{array}{c}
3^x=3^0 ,\\
3^{{{log}_3 2\ }}\leq 3^x\leq 3^1. \end{array}
\right. \; \)
А так как функция \(y=3^x\) монтонно возрастает на \(R\), то \(\left[ \begin{array}{c}
x=0 ,\\
{{log}_3 2\leq x\leq 1}.\end{array}
\right.\)
Ответ: \(0 \cup [{{log}_3 2; \;1}].\)
3. Решите неравенство: \({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0}.\)
Решение:
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0}.\)
1) Найдем ОДЗ.
\(\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2> 0, \\
12x^2-5x-2\ne 1, \\
4x+1> r 0. \end{array}
\right.\)
Решим первое неравенство этой системы: \(\ 12x^2-5x-2> 0.\)
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(\ 12x^2-5x-2=0;\)
\(D =25+ 96=121={11}^2;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{5-11}{24}, \\
x=\displaystyle \frac{5+11}{24}; \end{array}
\right. \; \left[ \begin{array}{c}
x=-\displaystyle \frac{1}{4}, \\
x=\displaystyle \frac{2}{3}. \end{array}
\right.\)
\(12x^2-5x-2=12\left (x+\displaystyle \frac{1}{4}\right )\left (x-\displaystyle \frac{2}{3}\right );\) тогда
\(12x^2-5x-2> 0\) при \(\left[ \begin{array}{c}
x< -\displaystyle\frac{1}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{2}{3}. \end{array}
\right.\)
Второе условие системы:
\(\ 12x^2-5x-2\ne 1;\)
\(12x^2-5x-3\ne 0.\)
Решим уравнение \(12x^2-5x-3=0:\)
\(D=25+ 144= 169 ={13}^2;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{5-13}{24}, \\
x=\displaystyle \frac{5+13}{24}; \end{array}
\right. \; \left[ \begin{array}{c}
x=-\displaystyle \frac{1}{3}, \\
x=\displaystyle \frac{3}{4}. \end{array}
\right.\)
Значит, \( \left\{ \begin{array}{c}
x\ne -\displaystyle \frac{1}{3}, \\
x\ne\displaystyle \frac{3}{4}. \end{array}
\right.\)
Третье условие: \(\ 4x+1> 0.\)
\(x> -\displaystyle \frac{1}{4}.\)
Вернемся к системе, задающей ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c}
x< -\displaystyle \frac{1}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{2}{3}, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x\ne -\displaystyle \frac{1}{3}, \\
x\ne \displaystyle \frac{3}{4}, \end{array}
\right. \\
x> -\displaystyle \frac{1}{4}; \end{array}
\right. {\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}
x> \displaystyle \frac{2}{3}, \\
x\ne -\displaystyle \frac{1}{3}, \\
x\ne \displaystyle \frac{3}{4}, \\
x> -\displaystyle \frac{1}{4}; \end{array}
\right. {\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}
x> \displaystyle \frac{2}{3}, \\
x\ne \displaystyle \frac{3}{4}; \end{array}
\right. {\Leftrightarrow }\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \displaystyle \frac{3}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{3}{4}. \end{array}
\right.\) Это ОДЗ.
2) Вернемся к исходному неравенству:
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0}, \)
\({{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq {{log}_{12x^2-5x-2} 1}}. \)
Неравенство равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2> 1, \\
4x+1\leq 1, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-2< 1, \\
4x+1\geq 1, \end{array}
\right. \end{array}
\right. \\
\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{3}{4}; \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3> 0, \\
4x\leq 0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3< 0, \\
4x\geq 0, \end{array}
\right. \end{array}
\right. \\
\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4} ,\\
x> \displaystyle \frac{3}{4}; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\stackrel{\ \ }{\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}
12x^2-5x-3< 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{3}{4}; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
\({{\stackrel{ \begin{array}{c}
\ \ \\
\ \ \end{array}
}{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}
12\left(x+\displaystyle \frac{1}{3}\right)\left(x-\displaystyle \frac{3}{4}\right)< 0, \\
\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4} ,\\
x> \displaystyle \frac{3}{4} ;\end{array}
\right. \end{array}
\ \right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \left\{ \begin{array}{c}
x< \displaystyle \frac{3}{4}, \\
\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4}, \\
x> \displaystyle \frac{3}{4}; \end{array}
\right. \end{array}
\right. {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \displaystyle \frac{2}{3}< x< \frac{3}{4}.\)
Ответ: \( \left(\displaystyle \frac{2}{3}; \;\frac{3}{4}\right)\)
4. Решите неравенство: \({16}^x-2\cdot 4^x+23\left({16}^x-2\cdot 4^{x+1}\right)+112\geq 0.\)
Решение:
Сделаем замену: \(\ {16}^x-2\cdot 4^{x+1}=t.\)
Получим: \(t^2+23t+112\geq 0 .\)
Найдем корни квадратного трехчлена:
\(t^2+23t+112=0;\)
D=\({23}^2-4\cdot 112=529-448=81=9^2;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
t=\displaystyle \frac{-23-9}{2}, \\
t=\displaystyle \frac{-23+9}{2}; \end{array}
\right. \; \left[ \begin{array}{c}
t=-16, \\
t=-7, \end{array}
\right. \; \) тогда \(t^2+23t+112= (t+17)(t+7);\)
\( (t+16)(t+7)\geq 0;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
t\leq -16, \\
t\geq -7 .\end{array}
\right. \)
Сделав обратную замену: \(t={16}^x-2\cdot 4^{x+1},\) получим:
\(\left[ \begin{array}{c}
{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\leq -16, \\
{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\geq -7. \end{array}
\right.\)
Заменив \({\ \ 4}^x=m,\ m>0,\) получим:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
m^2-8m+16\leq 0, \\
m>0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
m^2-8m+7\geq 0, \\
m>0; \end{array}
\right. \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
{\left(m-4\right)}^2\leq 0, \\
m>0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
\left(m-1\right)\left(m-7\right)\geq 0, \\
m>0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}
m=4, \\
\left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
m\leq 1, \\
m\geq 7, \end{array}
\right. \\
m> 0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}} \left[ \begin{array}{c}
m=4, \\
0< m\leq 1, \\
m\geq 7. \end{array}
\right.\)
Вернемся к переменной \(x\):
\(m={\ 4}^x,\) получим совокупность:
\(\ \left[ \begin{array}{c}
4^x=4, \\
0< 4^x\leq 1, \\
4^x\geq 7; \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
4^x=4^1, \\
4^x\leq 4^0, \\
4^x\geq 4^{{{log}_4 7}} ;\end{array}
\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}
x=1, \\
x\leq 0, \\
x\geq {{log}_4 7}. \end{array}
\right.\)
\(x\in (-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \left[{{log}_4 7}; \;\infty )\right..\)
Мы воспользовались тем, что функция \(y=4^x\) монотонно возрастает на \(R\), то есть на множестве действительных чисел.
Ответ: \((-\infty ; \left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \left[{{log}_4 7}; \;\infty )\right.\)
5. (Резервный день) Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}.\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}.\)
Замена: \(3^x =t; \; t> 0.\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t;\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t;\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t.\)
(Выделили целую часть в левой части неравенства).
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0;\)
\(\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0;\)
\(\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0;\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0.\)
Метод интервалов:
\(\left[\begin{array}{c}
1< t\leq 3,\\
t >9.
\end{array}\right.\)
Вернемся к переменной \(x\):
\(\left[\begin{array}{c}
1< 3^{x} \leq 3,\\
3^{x}>9;
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{c}
0< x \leq 1,\\
x> 2,
\end{array}\right. \; \) так как функция \(y=3^x\) монотонно возрастает.
Ответ: \(x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )\)
