previous arrow
next arrow
Slider

Задание 15 ЕГЭ-2021 Решение неравенств

1. Решите неравенство:

\left ( 9^x -2\cdot 3^{x+1} \right )^2+14\left ( 9^x-2\cdot 3^{x+1} \right )+45\geq 0

Решение:

Замена: 9^x -2\cdot 3^{x+1} = t;

t^2+14t+45 \geq 0

подберем корни уравнения t^2+14t+45 = 0 по теореме Виета: t_1=-5, t_2=-9.

\left ( t+5 \right )\left ( t+9 \right ) \geq 0

\left [\begin{array}{c}t\leq -9 \\t\geq -5\end{array}\right.; вернемся к переменной x.

\left [\begin{array}{c}9^x-2\cdot 3^{x+1}\leq -9 \\9^x-2\cdot 3^{x+1}\geq -5\end{array}\right.; \left [\begin{array}{c}9^x-2\cdot 3 \cdot 3^x +9 \leq 0 \\9^x-2\cdot 3 \cdot 3^{x}+5 \geq 0\end{array}\right.;

сделаем замену 3^x=z, z\textgreater 0, тогда 9^x=z^2.

\left [\begin{array}{c}z^2-6z+9\leq 0 \\z^2-6z+5\geq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}\left ( z-3 \right )^2 \leq 0 \\\left ( z-1 \right )\left ( z-5 \right ) \geq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}z= 3 \\z\leq 1 \\z\geq 5\end{array}\right.; \left [\begin{array}{c}3^x=3 \\3^x\leq 1 \\3^x\geq 5\end{array}\right.;

функция y=3^x монотонно возрастает, поэтому

\left [\begin{array}{c}3^x=3^1 \\3^x\leq 3^0 \\3^x\geq 3^{log_35}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{c}x=1 \\x\leq 0 \\x\geq log_35\end{array}\right.

Ответ: x \in \left ( -\infty ; 0 \right ]\cup \left\{ 1 \right\} \cup \left [ log_35;+\infty \right )

 

2. Решите неравенство:

\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0

Решение:

\displaystyle \frac{3^x}{3^x-3}+\frac{3^x+1}{3^x-2}+\ \frac{5}{9^x-5\cdot 3^x+6}\leq 0

Заменив 3^x=t,\ \ t\textgreater 0, получим:

\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+ \frac{5}{t^2-5t+6}\leq 0,

Упростим знаменатель третьей дроби. По теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 — корни квадратного трехчлена

t^2-5t+6\ , значит,

{\ t}^2-5t+6=\left(t-2\right)(t-3),

\displaystyle \frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\ \frac{5}{\left(t-2\right)\cdot (t-3)}\leq 0,

\displaystyle \frac{t\left(t-2\right)+\left(t+1\right)\left(t-3\right)+5}{\left(t-2\right)(t-3),}\leq 0,

\displaystyle \frac{2t^2-4t+2}{\left(t-2\right)(t-3)}\leq 0,

\displaystyle \frac{2{\left(t-1\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}\leq 0

Решив неравенство с помощью метода интервалов, получим:

t\in \{1\}\cup (2; \;3).

Сделаем обратную замену: t=3^x

\left[ \begin{array}{c}3^x=1, \\2\leq 3^x\leq 3 \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}3^x=3^0 \\3^{{{log}_3 2\ }}\leq 3^x\leq 3^1 \end{array},\right. а так как функция y=3^x монтонно возрастает на R, то

\left[ \begin{array}{c}x=0 \\{{log}_3 2\leq x\leq 1\ } \end{array}\right.

Ответ: 0 \cup [{{log}_3 2; \;1\ }]

 

3. Решите неравенство:

{{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }

Решение:

{{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ }

1) Найдем ОДЗ.

\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textgreater 0\ \\12x^2-5x-2\ne 1\ \\4x+1\textgreater 0\ \end{array}\right.

Решим первое неравенство этой системы: \ 12x^2-5x-2\textgreater 0

Найдем корни квадратного трехчлена:

\ 12x^2-5x-2=0

D =25+ 96=121={11}^2

\left[ \begin{array}{c}x=\frac{5-11}{24} \\x=\frac{5+11}{24} \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{1}{4} \\x=\frac{2}{3} \end{array}\right.

12x^2-5x-2=12(x+\frac{1}{4})(x-\frac{2}{3}), тогда

12x^2-5x-2\textgreater 0 при \left[ \begin{array}{c}x\textless -\frac{1}{4} \\x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}\right.

Второе условие системы:

\ 12x^2-5x-2\ne 1\

12x^2-5x-3\ne 0

Решим уравнение 12x^2-5x-3=0

D=25+ 144= 169 ={13}^2

\left[ \begin{array}{c}x=\frac{5-13}{24} \\x=\frac{5+13}{24} \end{array}\right. ,\ \ \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{1}{3} \\x=\frac{3}{4} \end{array}\right.

Значит, \left\{ \begin{array}{c}x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right.

Третье условие: \ 4x+1\textgreater 0\

x\textgreater -\frac{1}{4}.

Вернемся к системе, задающей ОДЗ:

\left\{ \begin{array}{c}\ \left[ \begin{array}{c}x\textless -\frac{1}{4} \\x\textgreater \frac{2}{3} \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right. \\x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}\right. {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}x\textgreater \frac{2}{3} \\x\ne -\frac{1}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \\x\textgreater -\frac{1}{4} \end{array}\right. ,{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}x\textgreater \frac{2}{3} \\x\ne \frac{3}{4} \end{array}\right. {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right.. Это ОДЗ.

2) Вернемся к исходному неравенству:

{{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq 0\ },

{{log}_{12x^2-5x-2} (4x+1)\leq {{log}_{12x^2-5x-2} 1\ }\ }\

Неравенство равносильно системе:

\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textgreater 1 \\4x+1\leq 1 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-2\textless 1 \\4x+1\geq 1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textgreater 0 \\4x\leq 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textless 0 \\4x\geq 0 \end{array}\right. \end{array}\right. \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.\stackrel{\ \ }{\Leftrightarrow }\left\{ \begin{array}{c}12x^2-5x-3\textless 0 \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.

{{\stackrel{ \begin{array}{c}\ \ \\\ \ \end{array}}{\Leftrightarrow }}}\left\{ \begin{array}{c}12\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)\textless 0 \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\ \right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \left\{ \begin{array}{c}x\textless \frac{3}{4} \\\left[ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4} \\x\textgreater \frac{3}{4} \end{array}\right. \end{array}\right., {{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\ \frac{2}{3}\textless x\textless \frac{3}{4}

Ответ: \left(\frac{2}{3}; \;\frac{3}{4}\right)

 

4. Решите неравенство:

{16}^x-2\cdot 4^x+23\left({16}^x-2\cdot 4^{x+1}\right)+112\geq 0

Решение:

Сделаем замену: \ {16}^x-2\cdot 4^{x+1}=t,

Получим:

t^2+23t+112\geq 0 ,

найдем корни квадратного трехчлена:

t^2+23t+112=0

D={23}^2-4\cdot 112=529-448=81=9^2

\left[ \begin{array}{c}t=\frac{-23-9}{2} \\t=\frac{-23+9}{2} \end{array}\right. , \left[ \begin{array}{c}t=-16 \\t=-7 \end{array}\right. , тогда t^2+23t+112= (t+17)(t+7),

(t+16)(t+7)\geq 0

\left[ \begin{array}{c}t\leq -16 \\t\geq -7 \end{array}\right..

Сделав обратную замену t={16}^x-2\cdot 4^{x+1}, получим

\left[ \begin{array}{c}{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\leq -16 \\{16}^x-2\cdot 4^{x+1}\geq -7 \end{array}\right.

Заменив {\ \ 4}^x=m,\ m\textgreater 0, получим \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}m^2-8m+16\leq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}m^2-8m+7\geq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}{\left(m-4\right)}^2\leq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}\left(m-1\right)\left(m-7\right)\geq 0 \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}m=4 \\\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}m\leq 1 \\m\geq 7 \end{array}\right. \\m\textgreater 0 \end{array}\right. \end{array}\right.{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}

{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}m=4 \\0\textless m\leq 1 \\m\geq 7 \end{array}\right.

Вернемся к переменной х:

m={\ 4}^x, получим совокупность \ \left[ \begin{array}{c}4^x=4 \\0\textless 4^x\leq 1 \\4^x\geq 7 \end{array}\right.

{{\stackrel{}{\Leftrightarrow}}}\left[ \begin{array}{c}4^x=4^1 \\4^x\leq 4^0 \\4^x\geq 4^{{{log}_4 7\ }} \end{array}\right.{{\stackrel{\ }{\Leftrightarrow }}}\left[ \begin{array}{c}x=1 \\x\leq 0 \\x\geq {{log}_4 7\ } \end{array}\right.,

x\ \in (-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.

Мы воспользовались тем, что
функция y=4^x монотонно возрастает на R, то есть на множестве действительных чисел.

Ответ: (-\infty ; \;\left.0\right]\cup \left\{1\right\}\cup \ \left[{{log}_4 7\ }; \;\infty )\right.