previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2021. Решение задачи 16

Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой меньшее основание ВС равно боковой стороне. Точка Е такова, что ВЕ перпендикулярно AD и СЕ перпендикулярно BD.
а) Доказать, что угол АЕВ равен углу BDA.
б) Найти площадь трапеции ABCD, если АВ = 32, косинус угла АDВ равен \displaystyle \frac{3}{4}.

Решение:

Проведем m\perp AD,\: B \in m,

n\perp BD,\: C \in n,\: m \cap n=E.

CE \cap BD=M, т.к. \triangle BCD – равнобедренный, M – середина BD.

Докажем, что точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.

ABCD – равнобедренная трапеция, ее можно вписать в окружность.

В \triangle BED \: \:\:EM – медиана и высота, значит, \triangle BED равнобедренный, BE = ED.

Тогда \triangle CBE = \triangle CDE по трем сторонам, \angle CDE = \angle CBE = 90^{\circ}, четырехугольник BCDE можно вписать в окружность, т.к. \angle CBE +\angle CDE = 90^{\circ} + 90^{\circ} =180^{\circ};

Так как вокруг \triangle BCD можно описать только одну окружность, точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности, \angle AEB =\angle BDA – опираются на дугу AB.

б) Так как AB = BC = CD, дуги AB, BC и CD также равны.

Пусть \angle AEB = \angle BDA = \varphi , тогда

\angle BEC = \angle CED = \angle CBD = \angle CDB = \varphi ,

\angle BCD = \angle ABC = 180^{\circ} - 2\varphi ,

\angle AED = 3\varphi .

Четырехугольник ABDE вписан в окружность, тогда \angle ABD = 180^{\circ} - 3 \varphi .

Рассмотрим \triangle ABD.

Пусть AB = x, по теореме синусов

\displaystyle \frac{AB}{\sin \varphi}=\frac{AD}{\sin \left ( 180^{\circ} -3\varphi \right )} = \frac{AD}{\sin 3 \varphi}

По формуле синуса тройного угла,

\sin 3 \varphi = 3 \sin \varphi - 4 \sin ^3 \varphi ,

\displaystyle \frac{AB}{\sin \varphi}=\frac{AD}{\sin \varphi \left (3-4 \sin ^ 2 \varphi \right )} ;

\displaystyle AB=\frac{AD}{3-4 \sin ^ 2 \varphi} ;

По условию,

\displaystyle \cos \varphi = \frac{3}{4}, \displaystyle \cos^2 \varphi = \frac{9}{16} \Rightarrow \sin ^2 \varphi =\frac{7}{16};

\displaystyle AB=\frac{AD}{3-\frac{7}{4}}=\frac{AD \cdot 4}{5}.

По условию, \displaystyle AB=32=\frac{4}{5}AD \Rightarrow AD=40.

Пусть BE \cap AD =H;

BH и CK – высоты трапеции,

\displaystyle AH=KD=\frac{40-32}{2}=4

Из \triangle ABH:

BH^2=AB^2-AH^2=\sqrt{32^2 - 4^2}=\sqrt{4^2 \cdot 8^2 -4^2}=4\sqrt{63};

\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{32+40}{2}\cdot 4\sqrt{63}=144\sqrt{63}