previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2021. Решение задачи 19

1. Сумма цифр трехзначного числа А равна S.
а) Может ли произведение A\cdot S быть равно 3250?
б) Может ли произведение A\cdot S быть равно 1591?
в) Найдите наименьшее трехзначное число такое что произведение числа и суммы его цифр больше, чем 3497.

Решение:

A=100a+10b+c;

a+b+c=S

а) A \cdot S = 3520.

\left ( 100a +10b+c \right ) \cdot \left ( a+b+c \right )=3520 ;

да, может, 325 \cdot \left ( 3+2+5 \right )=3520.

б) Предположим, что

A \cdot S = 1591;

\left ( 100 a +10b +c \right )\left ( a+b+c \right )=1591

1591=1600-9=40^2 - 3^2 = 37 \cdot 43

Тогда

100a+10b+c=37, \; a+b+c=43 – невозможно, так как a, b, c – цифры

или

100a+10b+c=43, a+b+c=37 – невозможно по той же причине, a+b+c\leq 27; противоречие,

нет, не может быть.

в) Найдем наименьшее A, для которого A \cdot S \textgreater 3497.

Число 3497 – не делится на 3, 5, 7, 11;

проверим 13;

3497=13 \cdot 269;

Если \displaystyle A \cdot S \textgreater 3497, то \displaystyle A \textgreater \frac{3497}{S}=\frac{269 \cdot 13}{S};

\displaystyle \frac{A}{13} \textgreater \frac{269}{S};

Так как S=a+b+c\leq 9+9+9=27,

\displaystyle \frac{1}{S}\geq \frac{1}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{269}{S}\geq \frac{269}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{269}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{270-1}{27}=10-\frac{1}{27};

\displaystyle A\textgreater 130-\frac{13}{27}, т.к. A целое, A \textgreater 130.

Пусть a = 1; если b = 3, то

131 \leq A \leq 139, тогда 4 \leq S \leq 13,

A \cdot S \leq 139 \cdot 13 \textless 3497 = 269 \cdot 13.

Если b = 4, 140\leq A\leq 149,

5\leq S \leq 14,

A \cdot S \leq 149 \cdot 14 \textless 150 \cdot 14 = 2100 \textless 3497

Если b = 5,

150 \leq A \leq 159,

6 \leq S \leq 15,

A \cdot S \leq 159 \cdot 15 \textless 160 \cdot 15 = 2400 \textless 3497;

Если b = 6,

160 \leq A \leq 169,

7 \leq S \leq 16,

A \cdot S \leq 169 \cdot 16 \textless 170 \cdot 20 \textless 3497;

Аналогично, если b = 7, то

A \cdot S \leq 179 \cdot 17 \textless 180 \cdot 17 \leq 180\cdot 18 = 3250 \textless 3497;

если b = 8, то

A \cdot S \leq 189 \cdot 18 \textless 190 \cdot 18 = 3420,

если b = 9,

A \cdot S \leq 199 \cdot 19 = \left ( 200 - 1 \right )\left ( 20-1 \right )=4000-220-1=3781,

3781 \textgreater 3497,

b = 9 – может быть.

Проверим b = 9, c = 8; A = 198

SA=198 \cdot 18 = \left ( 200-2 \right )\left ( 20-2 \right )=

=4000-400-40+4=3564 \textgreater 3497 – подходит;

если c = 7, S \cdot A = 197 \cdot 17 = \left ( 200-3 \right )\left ( 20-3 \right )=

=4000-600-60+9 \textless 3497, значит, A_{min}=198.

Ответ: 198.

2. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение:

Обозначим наше число A=\overline{abc}. По условию, b и c не равны нулю одновременно, значит b+c\ge 1.

а) Пусть \displaystyle \frac{A}{a+b+c}=82,\ \ тогда A=82\cdot \left(a+b+c\right);

A=82\cdot k.

Мы получили, что А — трёхзначное число, которое делится на 82. Выпишем все такие числа:

Условию a+b+c=k удовлетворяют числа 410, 820 и 902.

б) Предположим, что \displaystyle \frac{A}{a+b+c}=83,\ тогда A=83\cdot k

Рассуждаем аналогично. Выпишем возможные А и k.

Условие a+b+c=k не выполняется ни для одного из этих чисел. В пункте (б) ответ: «нет».

Возможен и другой способ решения задачи.

Запишем число А в виде A=100a+10b+c,

Тогда в пункте (а)

100a+10b+c=82a+82b+82c,\;18a=72b+81c,\;2a=8b+9c

Поскольку a\le 9 (a — цифра),

8b+9c\le 18, что возможно, только если b+c\le 2.

Например, число 902, где b = 0, \;c = 2,\; a = 9 подходит, 902 = 82\cdot (9+2).

Поступим аналогично в п. (б)

3. (Резервный день) Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных
чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
А) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?
Б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?
В) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решение:

Геометрическая прогрессия, состоящая из трехзначных натуральных чисел, b_1=128, \; n\geq 3.

а) Да, может. Предположим, что 686 - член прогрессии, то есть 686=128\cdot q^{n-1}

128=2^7=2\cdot 2^6=2\cdot 4^3

686=2\cdot 343=2\cdot 7^3 ;

если 686=128 \cdot q^{n-1},

2\cdot 7^3 =2\cdot 4^3 \cdot q^{n-1} ,

7^3=4^3\cdot q^{n-1},

\displaystyle q^{n-1}=\left ( \frac{7}{4} \right )^3 , n=4

\displaystyle q=\frac{7}{4}.

\displaystyle 686=128 \cdot ( \frac{7}{4} )^3 .

б) Предположим, что 496 – член прогрессии.

496=2\cdot 248=4\cdot 124=8 \cdot 62 = 16 \cdot 31 = 2^4 \cdot 31

2^4 \cdot 31 = 2^7 \cdot q^{n-1}

31=2^3 \cdot q^{n-1};

\displaystyle q^{n-1}=\frac{31}{8};

31 - простое число, значит, n = 1 = 1, \displaystyle q = \frac{31}{8}. Тогда \displaystyle b_3=496 \cdot \frac{31}{8} = 1922 – четырехзначое, противоречие с условием.

в) Найдем наибольшее число, которое может являться членом этой прогрессии.

1) Случай n = 3.

b_1=128;

Если q=3, то 128 \cdot 3^2=128\cdot 9 =1152 \textgreater 999, значит, q \textless 3.

b_1=128=2^7=2\cdot 2^6=2\cdot 8^2

Если q - дробь, то \displaystyle q=\frac{a}{8},

чтобы все члены прогрессии были натуральными числами.

Так как \displaystyle q=3=\frac{24}{8} - не подходит, проверим \displaystyle q=\frac{23}{8}, тогда \displaystyle b_3=128 \cdot \frac{23^2}{8^2}=1058 – не подходит.

Если \displaystyle q\frac{22}{8}, то b_3=968 – подходит.

968 \textless 999.

2) Проверим случай n\geq 4.

Тогда b_4=128\cdot q^3=2^7 \cdot q^3 =2\cdot 4^3 \cdot q^3 .

Если q = 2, то

128 \cdot 2^3 =128 \cdot 8 =1024 \textgreater 999, значит,

1 \textless q \textless 2 , \; q – дробь вида \displaystyle \frac{a}{4}.

Так как a = 8 – не подходит, \displaystyle \frac{8}{4}=2, \; a \textless 8.

Проверим \displaystyle q = \frac{7}{4}, \; q=\frac{6}{4}...

При \displaystyle q=\frac{7}{4} \; b_4=686 (см. пункт (а)), b_5 \textgreater 999.

Если \displaystyle q=\frac{6}{4}, то b_4=432, \; b_5=648, \; b_6 =972.

Если \displaystyle q=\frac{5}{4}, то b_3=250, \; b_4=312, \; b_5 =390, \; b_6 – не целое.

Сравнив результаты, получим:

b_{max}=972.