previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2021. Решение задачи 19

Сумма цифр трехзначного числа А равна S.
а) Может ли произведение A\cdot S быть равно 3250?
б) Может ли произведение A\cdot S быть равно 1591?
в) Найдите наименьшее трехзначное число такое что произведение числа и суммы его цифр больше, чем 3497.

Решение:

A=100a+10b+c;

a+b+c=S

а) A \cdot S = 3520.

\left ( 100a +10b+c \right ) \cdot \left ( a+b+c \right )=3520 ;

да, может, 325 \cdot \left ( 3+2+5 \right )=3520.

б) Предположим, что

A \cdot S = 1591;

\left ( 100 a +10b +c \right )\left ( a+b+c \right )=1591

1591=1600-9=40^2 - 3^2 = 37 \cdot 43

Тогда

100a+10b+c=37, \; a+b+c=43 – невозможно, так как a, b, c – цифры

или

100a+10b+c=43, a+b+c=37 – невозможно по той же причине, a+b+c\leq 27; противоречие,

нет, не может быть.

в) Найдем наименьшее A, для которого A \cdot S \textgreater 3497.

Число 3497 – не делится на 3, 5, 7, 11;

проверим 13;

3497=13 \cdot 269;

Если \displaystyle A \cdot S \textgreater 3497, то \displaystyle A \textgreater \frac{3497}{S}=\frac{269 \cdot 13}{S};

\displaystyle \frac{A}{13} \textgreater \frac{269}{S};

Так как S=a+b+c\leq 9+9+9=27,

\displaystyle \frac{1}{S}\geq \frac{1}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{269}{S}\geq \frac{269}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{269}{27};

\displaystyle \frac{A}{13}\textgreater \frac{270-1}{27}=10-\frac{1}{27};

\displaystyle A\textgreater 130-\frac{13}{27}, т.к. A целое, A \textgreater 130.

Пусть a = 1; если b = 3, то

131 \leq A \leq 139, тогда 4 \leq S \leq 13,

A \cdot S \leq 139 \cdot 13 \textless 3497 = 269 \cdot 13.

Если b = 4, 140\leq A\leq 149,

5\leq S \leq 14,

A \cdot S \leq 149 \cdot 14 \textless 150 \cdot 14 = 2100 \textless 3497

Если b = 5,

150 \leq A \leq 159,

6 \leq S \leq 15,

A \cdot S \leq 159 \cdot 15 \textless 160 \cdot 15 = 2400 \textless 3497;

Если b = 6,

160 \leq A \leq 169,

7 \leq S \leq 16,

A \cdot S \leq 169 \cdot 16 \textless 170 \cdot 20 \textless 3497;

Аналогично, если b = 7, то

A \cdot S \leq 179 \cdot 17 \textless 180 \cdot 17 \leq 180\cdot 18 = 3250 \textless 3497;

если b = 8, то

A \cdot S \leq 189 \cdot 18 \textless 190 \cdot 18 = 3420,

если b = 9,

A \cdot S \leq 199 \cdot 19 = \left ( 200 - 1 \right )\left ( 20-1 \right )=4000-220-1=3781,

3781 \textgreater 3497,

b = 9 – может быть.

Проверим b = 9, c = 8; A = 198

SA=198 \cdot 18 = \left ( 200-2 \right )\left ( 20-2 \right )=

=4000-400-40+4=3564 \textgreater 3497 – подходит;

если c = 7, S \cdot A = 197 \cdot 17 = \left ( 200-3 \right )\left ( 20-3 \right )=

=4000-600-60+9 \textless 3497, значит, A_{min}=198.

Ответ: 198.