Дан прямоугольный треугольник \(ABC\). На катете \(AC\) отмечена точка \(M\), а на продолжении катета \(BC\) за точку \(C\) — точка \(N\) так, что \(CM = CB\) и \(CA = CN\).
а) Пусть \(CH\) и \(CF\) — высоты треугольников \(ABC\) и \(NMC\) соответственно. Докажите, что \(CF\) и \(CH\) перпендикулярны.
б) Пусть \(L\) — это точка пересечения \(BM\) и \(AN, \; BC = 2, \; AC = 5\). Найдите \(ML\).
\(CM = CB;\)
\(CA = CN;\)
\(CH \perp AB;\)
\(CF \perp MN.\)
а) Докажем, что \(CF \perp CH.\)
\(\triangle ABC = \triangle NMC\) по 2 катетам, пусть \(\alpha = \angle CNM =\angle BAC = \angle BCH,\) так как \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\) по 2 углам.
\(\beta = \angle CMN = \angle NCF,\) так как \(\triangle NCF \sim \triangle NMC\) по 2 углам.
\(\angle NCF + \angle BCH = 90^\circ, \)
\(\angle NCF + \angle HCF + \angle BCH = 180^\circ,\) значит,
\(\angle HCF = 90^\circ, \; HC \perp CF.\)
б) Пусть \(BM \cap AN = L, \; BC = 2, \; AC = 5.\)
Найдём \(ML.\)
\(AM = AC - CM = 5- 2 =3,\) в \(\triangle ACN: AC = CN,\) тогда \(\angle CAN = 45^\circ.\)
В \(\triangle BCM: BC = CM, \; \angle BMC = 90^\circ,\)
\(\angle AML = \angle BMC\) – как вертикальные, \(\triangle AML\) – прямоугольный равнобедренный, \(\displaystyle ML = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}.\)
