Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.
\(CM = CB\)
\(CA = CN\)
\(CH \perp AB\)
\(CF \perp MN\)
а) Докажем, что \(CF \perp CH.\)
\(\triangle ABC = \triangle NMC\) по 2 катетам, пусть \(\alpha = \angle CNM =\angle BAC = \angle BCH,\) так как \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\) по 2 углам
\(\beta = \angle CMN = \angle NCF,\) так как \(\triangle NCF \sim \triangle NMC\) по 2 углам.
\(\angle NCF + \angle BCH = 90^\circ, \)
\(\angle NCF + \angle HCF + \angle BCH = 180^\circ,\) значит,
\(\angle HCF = 90^\circ, HC \perp CF.\)
б) Пусть \(BM \cap AN = L, BC = 2, AC = 5.\)
Найдём \(ML.\)
\(AM = AC - CM = 5- 2 =3,\) в \(\triangle ACN: AC = CN,\) тогда \(\angle CAN = 45^\circ.\)
В \(\triangle BCM: BC = CM, \angle BMC = 90^\circ,\)
\(\angle AML = \angle BMC\) – как вертикальные, \(\triangle AML\) – прямоугольный равнобедренный, \(\displaystyle ML = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}.\)
