previous arrow
next arrow
Slider

Краснодар, № 16

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.

CM = CB

CA = CN

CH \perp AB

CF \perp MN

а) Докажем, что CF \perp CH.

\triangle ABC = \triangle NMC по 2 катетам, пусть \alpha = \angle CNM =\angle BAC = \angle BCH, так как \triangle CBH \sim \triangle ABC по 2 углам

\beta = \angle CMN = \angle NCF, так как \triangle NCF \sim \triangle NMC по 2 углам.

\angle NCF + \angle BCH = 90^\circ, 

\angle NCF + \angle HCF + \angle BCH = 180^\circ, значит,

\angle HCF = 90^\circ, HC \perp CF.

б) Пусть BM \cap AN = L, BC = 2, AC = 5.

Найдём ML.

AM = AC - CM = 5- 2 =3, в \triangle ACN: AC = CN, тогда \angle CAN = 45^\circ.

В \triangle BCM: BC = CM, \angle BMC = 90^\circ,

\angle AML = \angle BMC – как вертикальные, \triangle AML – прямоугольный равнобедренный, \displaystyle ML = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

Ответ: \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}.