Краснодар, № 16

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.

$CM = CB$

$CA = CN$

$CH \perp AB$

$CF \perp MN$

а) Докажем, что $CF \perp CH.$

$\triangle ABC = \triangle NMC$ по 2 катетам, пусть $\alpha = \angle CNM =\angle BAC = \angle BCH,$ так как $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по 2 углам

$\beta = \angle CMN = \angle NCF,$ так как $\triangle NCF \sim \triangle NMC$ по 2 углам.

$\angle NCF + \angle BCH = 90^\circ,$

$\angle NCF + \angle HCF + \angle BCH = 180^\circ,$ значит,

$\angle HCF = 90^\circ, HC \perp CF.$

б) Пусть $BM \cap AN = L, BC = 2, AC = 5.$

Найдём $ML.$

$AM = AC - CM = 5- 2 =3,$ в $\triangle ACN: AC = CN,$ тогда $\angle CAN = 45^\circ.$

В $\triangle BCM: BC = CM, \angle BMC = 90^\circ,$

$\angle AML = \angle BMC$ – как вертикальные, $\triangle AML$ – прямоугольный равнобедренный, $\displaystyle ML = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Краснодар, № 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.09.2023

Краснодар, № 16

Это полезно