В кредит взяли 220 тыс. рублей на 5 лет под \(r\)% годовых. По условиям кредита, на конец первых трех лет задолженность остается неизменной и равной 220 тысячам рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите \(r\) если известно, что сумма всех выплат составит 420 тысяч рублей.
\(S = 220\) тыс. рублей – сумма кредита.
\(n = 5\) лет, \(r\)% годовых; \(\displaystyle k = 1 + \frac{r}{100}.\)
\(B = 420\) тыс. рублей – общая сумма всех выплат.
Составим схему погашения кредита:
Пусть выплаты в 4-й и 5-й годы равны \(X\) тысяч рублей.
Будем вести расчёты в тысячах рублей.
Для 5-го года получим уравнение:
\(\left ( Sk - X \right ) \cdot k - X = 0;\)
\(Sk^2 - X\left ( k+1 \right ) = 0.\)
Для общей суммы выплат получим уравнение:
\(3 \cdot S \left ( k - 1 \right ) + 2x = B.\)
Решим систему уравнений:
\(\left\{\begin{gathered} Sk^2 - X\left ( k+1 \right ) = 0,\\ 3 \cdot S \left ( k-1 \right ) + 2x = B. \end{gathered}\right.\)
Выразим \(X\) из первого уравнения и подставим во второе.
\(\left\{\begin{gathered} x = \frac{Sk^2}{k+1}, \\ 3S\left ( k-1 \right )+ \frac{2Sk^2}{k+1}=B. \end{gathered}\right.\)
Решим квадратное уравнение относительно \(k\).
\(3 S (k-1)(k+1)+2Sk^2 = B(k+1);\)
\(3S(k^2-1) + 2Sk^2 - B(k+1) = 0;\)
\(3Sk^2 + 2Sk^2 - Bk - B - 3S = 0;\)
\(5Sk^2 - Bk - (B+3S) = 0;\)
\(5 \cdot 220 \cdot k^2 - 420 \cdot k - (420 + 3 \cdot 220) = 0;\)
\(5 \cdot 22 k^2 - 42k - (42+3 \cdot 22) = 0;\)
\(55 k^2 - 21k -54 = 0;\)
\(D = 21^2 + 4 \cdot 55 \cdot 54 = 9 \cdot 49 + 4 \cdot 55 \cdot 9 \cdot 6 =9(49+1320) = 9 \cdot 1369;\)
\(\sqrt{D} = 37 \cdot 3 = 111;\)
\(\displaystyle k = \frac{21 \pm 111}{110}; \, k> 0;\)
\(\displaystyle k = \frac{132}{110} = 1+ \frac{22}{110} = 1 + \frac{2}{10} = 1,2;\)
\(\displaystyle k = 1 + \frac{r}{100} = 1,2,\) отсюда \(r=20\)%.
Ответ: 20
