previous arrow
next arrow
Slider

Краснодар, № 17

В кредит взяли 220 тыс. рублей на 5 лет под r% годовых. По условиям кредита, на конец первых трех лет задолженность остается неизменной и равной 220 тысячам рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите r если известно, что сумма всех выплат составит 420 тысяч рублей.

S = 220 тыс. рублей – сумма кредита.

n = 5 лет, r% годовых; \displaystyle k = 1 + \frac{r}{100}.

B = 420 тыс. рублей – общая сумма всех выплат.

Составим схему погашения кредита:

Пусть выплаты в 4-й и 5-й годы равны X тысяч рублей;

Будем вести расчёты в тысячах рублей.

Для 5-го года получим уравнение:

\left ( Sk - X \right ) \cdot k - X = 0

Sk^2  - X\left ( k+1 \right ) = 0

Для общей суммы выплат получим уравнение:

3 \cdot S \left ( k - 1 \right ) + 2x = B

Решим систему уравнений:

\left\{\begin{gathered} Sk^2 - X\left ( k+1 \right ) = 0\\ 3 \cdot S \left ( k-1 \right ) + 2x = B \end{gathered}\right.

Выразим X из первого уравнения и подставим во второе.

\left\{\begin{gathered} x = \frac{Sk^2}{k+1} \hfill \\ 3S\left ( k-1 \right )+ \frac{2Sk^2}{k+1}=B \end{gathered}\right.

Решим квадратное уравнение относительно k.

3 S (k-1)(k+1)+2Sk^2 = B(k+1)

3S(k^2-1) + 2Sk^2 - B(k+1) = 0

3Sk^2 + 2Sk^2 - Bk - B - 3S = 0

5Sk^2 - Bk - (B+3S) = 0

5 \cdot 220 \cdot k^2 - 420 \cdot k - (420 + 3 \cdot 220) = 0

5 \cdot 22 k^2 - 42k - (42+3 \cdot 22) = 0

55 k^2 - 21k -54 = 0

D = 21^2 + 4 \cdot 55 \cdot 54 = 9 \cdot 49 + 4 \cdot 55 \cdot 9 \cdot 6 = 

= 9(49+1320) = 9 \cdot 1369;

\sqrt{D} = 37 \cdot 3 = 111;

\displaystyle k = \frac{21 \pm 111}{110}; \, k \textgreater 0,

\displaystyle k = \frac{132}{110} = 1+ \frac{22}{110} = 1 + \frac{2}{10} = 1,2;

\displaystyle k = 1 + \frac{r}{100} = 1,2, отсюда r = 20%

Ответ: 20