При каких значениях \(a\) система \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{16 - y^2} = \sqrt{16 - a^2x^2},\\ x^2+y^2 = 6x+4y \end{matrix}\right.\) имеет ровно два решения?
Возведём обе части первого уравнения в квадрат с учётом неотрицательности подкоренных выражений. Получим:
\(\left\{\begin{matrix} 16 - y^2 =16 -a^2x^2, \\ 16 - y^2 \geq 0 ,\\16 - a^2x^2 \geq 0,\\x^2 - 6x+y^2 - 4y=0; \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y^2-a^2x^2 = 0,\\ (y-4)(y+4) \leq 0,\\ (ax - 4)(ax+4) \leq 0,\\ x^2 - 6x + 9+y^2 -4y +4 = 13;\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
(y-ax)(y+ax)=0, \\ -4\leq y\leq 4,
\\-4\leq ax\leq 4,
\\ (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=13;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
y=ax,\\y=-ax,
\end{matrix}\right.\\-4\leq y\leq 4,
\\-4\leq ax\leq 4,
\\(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=13.
\end{matrix}\right.\)
Последнее уравнение задаёт окружность с центром в точке \(P(3;2)\) и радиусом \( R = \sqrt{13}.\) Заметим, что эта окружность проходит через точки \((0;0); \; (0;4); \; (6;0); \; (6;4)\)
С учётом условия \(-4 \leq y \leq 4\) получим часть этой окружности под прямой \(y=4.\)
Система имеет ровно 2 решения, когда совокупность прямых \(\left[\begin{matrix}
y=ax,\\y=-ax
\end{matrix}\right.\) пересекает эту дугу окружности ровно в 2 точках. Одна из этих точек – начало координат.
1) Если \(a= 0\), система имеет ровно 2 различных решения
2) Если \(a = \displaystyle\frac{2}{3},\) прямая \(y = ax\) проходит через точку \(P(3;2)\) и точку \(K(6;4).\) В этом случае прямая \(y = -ax\) также пересекает окружность, и система имеет 3 решения.
3) Найдём уравнение касательной и окружности, проходящей через точку \(O(0;0).\) Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Для перпендикулярных прямых \(k_1k_2 = -1.\) Тогда \(y =-\displaystyle \frac{3}{2}x\) — уравнение касательной к окружности в точке \((0; 0).\)
4) Пусть \(a < -\displaystyle \frac{3}{2}.\) Тогда прямая \(y = ax\) пересекает только часть окружности, лежащую левее оси \(Y\), а прямая \(y = -ax\) проходит выше точки \(K\), система имеет ровно 2 решения.
5) Если \(a = -\displaystyle \frac{3}{2},\) система имеет только решение \((0; 0).\)
6) Пусть \(-\displaystyle \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{3}.\)
Прямая \(y = ax\) пересекает часть окружности ниже оси \(X\). При этом прямая \(y = -ax\) проходит выше точки \(K\) и не имеет общих точек с дугой окружности. Значит, нам подходят значения \(a\):
\(a \in \left (- \infty; -\displaystyle \frac{3}{2} \right ) \cup \left (-\displaystyle\frac{3}{2}; - \frac{2}{3}\right ) \cup 0.\)
Заметим, что исходная система уравнений четна относительно \(a\), и если система имеет ровно 2 решения при \(a = a_0,\) то она будет иметь ровно 2 решения и при \(a = - a_0.\) С учётом этого получим ответ:
\(a \in \left (- \infty; - \displaystyle \frac{3}{2}\right ) \cup \left (- \displaystyle \frac{3}{2}; - \frac{2}{3}\right ) \cup { 0 } \cup \left (\displaystyle \frac{2}{3}; \frac{3}{2} \right ) \cup \left (\displaystyle \frac{3}{2}; +\infty \right ).\)
