При каких значениях a система
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{16 - y^2} = \sqrt{16 - a^2x^2}\\ x^2+y^2 = 6x+4y \end{matrix}\right.\)
имеет ровно два решения?
Возведём обе части первого уравнения в квадрат с учётом неотрицательности подкоренных выражений. Получим:
\(\left\{\begin{matrix} 16 - y^2 =16 -a^2x^2 \hfill \\ 16 - y^2 \geq 0 \hfill \\16 - a^2x^2 \geq 0 \hfill \\x^2 - 6x+y^2 - 4y=0 \hfill \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y^2-a^2x^2 = 0 \hfill \\ (y-4)(y+4) \leq 0 \hfill \\ (ax - 4)(ax+4) \leq 0 \hfill \\ x^2 - 6x + 9+y^2 -4y +4 = 13 \hfill \end{matrix}\right.\)
Последнее уравнение задаёт окружность с центром в точке \(P(3;2)\) и радиусом \( R = \sqrt{13}.\) Заметим, что эта окружность проходит через точки \((0;0);(0;4);(6;0);(6;4)\)
С учётом условия \(-4 \leq y \leq 4\) получим часть этой окружности под прямой \(y=4.\)
Система имеет ровно 2 решения, когда совокупность прямых 
пересекает эту дугу окружности ровно в 2 точках Одна из этих точек – начало координат.
1) Если a = 0, система имеет ровно 2 различных решения
2) Если \(a = \frac{2}{3},\) прямая \(y = ax\) проходит через точку \(P(3;2)\) и точку \(K(6;4).\) В этом случае прямая \(y = -ax\) также пересекает окружность, и система имеет 3 решения.
3) Найдём уравнение касательной и окружности, проходящей через точку \(O(0;0).\) Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Для перпендикулярных прямых \(k_1k_2 = -1.\) Тогда \(y =-\frac{3}{2}x\) — уравнение касательной к окружности в точке (0; 0).
4) Пусть \(a \textless - \frac{3}{2}.\) Тогда прямая \(y = ax\) пересекает только часть окружности, лежащую левее оси Y, а прямая \(y = -ax\) проходит выше точки K, система имеет ровно 2 решения.
5) Если \(a = - \frac{3}{2},\) система имеет только решение (0;0)
6) Пусть \(-\frac{3}{2} \textless a \textless - \frac{2}{3}.\)
Прямая \(y = ax\) пересекает часть окружности ниже оси X. При этом прямая \(y = -ax\) проходит выше точки K и не имеет общих точек с дугой окружности. Значит, нам подходят значения a
\(a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup 0.\)
Заметим, что исходная система уравнений четна относительно a, и если система имеет ровно 2 решения при \(a = a_0,\) то она будет иметь ровно 2 решения и при \(a = - a_0.\) С учётом этого получим ответ:
\(a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup \left \{ 0 \right \} \cup (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty).\)
