previous arrow
next arrow
Slider

Краснодар, № 18

При каких значениях a система

\left\{\begin{matrix} \sqrt{16 - y^2} = \sqrt{16 - a^2x^2}\\ x^2+y^2 = 6x+4y \end{matrix}\right.

имеет ровно два решения?

Возведём обе части первого уравнения в квадрат с учётом неотрицательности подкоренных выражений. Получим:

\left\{\begin{matrix} 16 - y^2 =16 -a^2x^2 \hfill \\ 16 - y^2 \geq 0 \hfill \\16 - a^2x^2 \geq 0 \hfill \\x^2 - 6x+y^2 - 4y=0 \hfill \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} y^2-a^2x^2 = 0 \hfill \\ (y-4)(y+4) \leq 0 \hfill \\ (ax - 4)(ax+4) \leq 0 \hfill \\ x^2 - 6x + 9+y^2 -4y +4 = 13 \hfill \end{matrix}\right.

Последнее уравнение задаёт окружность с центром в точке P(3;2) и радиусом R = \sqrt{13}. Заметим, что эта окружность проходит через точки (0;0);(0;4);(6;0);(6;4)

С учётом условия -4 \leq y \leq 4 получим часть этой окружности над прямой y=4.

Система имеет ровно 2 решения, когда совокупность прямых пересекает эту дугу окружности ровно в 2 точках Одна из этих точек – начало координат.

1) Если a = 0, система имеет ровно 2 различных решения

2) Если a = \frac{2}{3}, прямая y = ax проходит через точку O(3;2) и точку K(6;4). В этом случае прямая y = -ax также пересекает окружность, и система имеет 3 решения.

3) Найдём уравнение касательной и окружности, проходящей через точку O(0;0). Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Для перпендикулярных прямых k_1k_2 = -1. Так как y = \frac{2}{3}x – уравнение касательной к окружности в точке (0;0)

4) Пусть a \textless - \frac{3}{2}. Тогда прямая y = ax пересекает только часть окружности, лежащую левее оси Y, а прямая y = -ax проходит выше точки K, система имеет ровно 2 решения.

5) Если a = - \frac{3}{2}, система имеет только решение (0;0)

6) Пусть -\frac{3}{2} \textless a \textless - \frac{2}{3}.

Прямая y = ax пересекает часть окружности ниже оси X. При этом прямая y = -ax проходит выше точки K и не имеет общих точек с дугой окружности. Значит, нам подходят значения a

a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup 0.

Заметим, что исходная система уравнений четна относительно a, и если система имеет ровно 2 решения при a = a_0, то она будет иметь ровно 2 решения и при a = - a_0. С учётом этого получим ответ:

a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup \left \{ 0 \right \} \cup (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty).