При каких значениях a система
имеет ровно два решения?
Возведём обе части первого уравнения в квадрат с учётом неотрицательности подкоренных выражений. Получим:
Последнее уравнение задаёт окружность с центром в точке и радиусом
Заметим, что эта окружность проходит через точки
С учётом условия получим часть этой окружности под прямой
Система имеет ровно 2 решения, когда совокупность прямых пересекает эту дугу окружности ровно в 2 точках Одна из этих точек – начало координат.
1) Если a = 0, система имеет ровно 2 различных решения
2) Если прямая
проходит через точку
и точку
В этом случае прямая
также пересекает окружность, и система имеет 3 решения.
3) Найдём уравнение касательной и окружности, проходящей через точку Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Для перпендикулярных прямых
Тогда
— уравнение касательной к окружности в точке (0; 0).
4) Пусть Тогда прямая
пересекает только часть окружности, лежащую левее оси Y, а прямая
проходит выше точки K, система имеет ровно 2 решения.
5) Если система имеет только решение (0;0)
6) Пусть
Прямая пересекает часть окружности ниже оси X. При этом прямая
проходит выше точки K и не имеет общих точек с дугой окружности. Значит, нам подходят значения a
Заметим, что исходная система уравнений четна относительно a, и если система имеет ровно 2 решения при то она будет иметь ровно 2 решения и при
С учётом этого получим ответ:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Краснодар, № 18» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 04.09.2023