Краснодар, № 18

При каких значениях a система

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{16 - y^2} = \sqrt{16 - a^2x^2}\\ x^2+y^2 = 6x+4y \end{matrix}\right.$

имеет ровно два решения?

Возведём обе части первого уравнения в квадрат с учётом неотрицательности подкоренных выражений. Получим:

$\left\{\begin{matrix} 16 - y^2 =16 -a^2x^2 \hfill \\ 16 - y^2 \geq 0 \hfill \\16 - a^2x^2 \geq 0 \hfill \\x^2 - 6x+y^2 - 4y=0 \hfill \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y^2-a^2x^2 = 0 \hfill \\ (y-4)(y+4) \leq 0 \hfill \\ (ax - 4)(ax+4) \leq 0 \hfill \\ x^2 - 6x + 9+y^2 -4y +4 = 13 \hfill \end{matrix}\right.$

Последнее уравнение задаёт окружность с центром в точке $P(3;2)$ и радиусом $R = \sqrt{13}.$ Заметим, что эта окружность проходит через точки $(0;0);(0;4);(6;0);(6;4)$

С учётом условия $-4 \leq y \leq 4$ получим часть этой окружности под прямой $y=4.$

Система имеет ровно 2 решения, когда совокупность прямых пересекает эту дугу окружности ровно в 2 точках Одна из этих точек – начало координат.

1) Если a = 0, система имеет ровно 2 различных решения

2) Если $a = \frac{2}{3},$ прямая $y = ax$ проходит через точку $P(3;2)$ и точку $K(6;4).$ В этом случае прямая $y = -ax$ также пересекает окружность, и система имеет 3 решения.

3) Найдём уравнение касательной и окружности, проходящей через точку $O(0;0).$ Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Для перпендикулярных прямых $k_1k_2 = -1.$ Тогда $y =-\frac{3}{2}x$ — уравнение касательной к окружности в точке (0; 0).

4) Пусть $a \textless - \frac{3}{2}.$ Тогда прямая $y = ax$ пересекает только часть окружности, лежащую левее оси Y, а прямая $y = -ax$ проходит выше точки K, система имеет ровно 2 решения.

5) Если $a = - \frac{3}{2},$ система имеет только решение (0;0)

6) Пусть $-\frac{3}{2} \textless a \textless - \frac{2}{3}.$

Прямая $y = ax$ пересекает часть окружности ниже оси X. При этом прямая $y = -ax$ проходит выше точки K и не имеет общих точек с дугой окружности. Значит, нам подходят значения a

$a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup 0.$

Заметим, что исходная система уравнений четна относительно a, и если система имеет ровно 2 решения при $a = a_0,$ то она будет иметь ровно 2 решения и при $a = - a_0.$ С учётом этого получим ответ:

$a \in (- \infty; - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}; - \frac{2}{3}) \cup \left \{ 0 \right \} \cup (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty).$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Краснодар, № 18» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 04.09.2023

Краснодар, № 18

Это полезно