На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
а) Да, может. Например,
54+84+144=282.
Как мы получили пример?
Числа A, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4 можно представить как \(A = 3k\) или \(A = 10n+4,\) где k и n – целые. Очевидно, \(3k = 10n+4.\)
Это значит, что \((10n+4) \vdots 3.\)
\(10n+4=9n+n+3+1;\)
9n+3 делится на 3, значит n+1 делится на 3.
Выпишем несколько чисел n, таких, что \((n+1) \vdots 3,\) и найдём, чему будут в этих случаях равны k и A.
| n | k | a |
| 2 | 8 | 24 |
| 5 | 18 | 54 |
| 8 | 28 | 84 |
| 11 | 38 | 114 |
| 14 | 48 | 144 |
| 17 | 58 | 174 |
Заметим, что \(282 = 3 \cdot 94,\) и что \(18+28+48=94.\)
Подходят числа 54; 84; 144, их сумма 282.
б) Предположим, что сумма нескольких таких чисел равна 390.
Заметим, что наши числа А образуют арифметическую прогрессию, где \(a_1 = 24, d = 30, a_m = 24+30m, m \in N.\)
При этом значения k также образуют арифметическую прогрессию, где \(k_1 = 8, k_m = 8+10(m-1), m \in N.\)
\(390 = 3 \cdot 130;\)
\(130 \vdots 5,\) и это значит, что нужно взять не менее 5 чисел вида \(k_m.\) Здесь \(k_1 = 8, k_2 = 18, k_3 = 28...\)
Однако сумма этих чисел будет не меньше, чем
\(8+18+28+38+48=140 \textgreater 130.\)
Значит, предположение было неверно, сумма не может быть равна 390.
в) Найдём, сколько чисел на доске, если их сумма равна 2226
Заметим, что \(2226 = 742 \cdot 3.\)
Если взять m чисел вида \(k_i,\) где \(1 \leq i \leq m,\) то их сумма не меньше, чем сумма m членов арифметической прогрессии, в которой \(k_1 = 8, d =10.\)
\(S \geq S_m;\)
\(\displaystyle S_m = \frac{2 \cdot 8+10 \cdot (m-1)}{2} \cdot m;\) с другой стороны, \(S = 742.\) Получим:
\(\displaystyle \frac{16+10(m-1)}{2} \cdot m \leq 742\)
\((3+5m) \cdot m \leq 742\)
\(5m^2 +3m \leq 742\)
Мы можем решить это квадратичное неравенство (у соответствующего квадратичного уравнения ужасный дискриминант!) А можем подобрать наибольшее натуральное m, для которого неравенство выполняется.
Если \(m \geq 12,\) неравенство не выполняется. Если \(m \leq 11, \) выполняется. Значит, \(m \leq 11.\) Это оценка.
Однако, если взять 11 чисел \(k_i,\) каждое из которых оканчивается на 8, их сумма оканчивается на 8 и не может быть равна 742.
Для 10 чисел, каждое из которых оканчивается на 8, сумма оканчивается на ноль и не равна 742.
Для 9 чисел противоречия нет, так как \(8 \cdot 9 = 72.\)
Приведём пример для 9 чисел, оканчивающихся на 8, сумма которых равна 742.
Возьмём числа 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 398, их сумма 742. Тогда на доске числа:
24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194.
