Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова На Пробном ЕГЭ по математике Гриша получил некоторое количество баллов. Если бы его результат увеличить на 80%, получилось бы 90 баллов. На сколько баллов Гриша написал Пробный ЕГЭ?
2. На графике показано изменение напряжения на конденсаторе в зависимости по времени. Определите, за какое время напряжение на конденсаторе уменьшилось от 1 В до нуля. Ответ выразите в мс.
3. Ольга Чемезова
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) длина отрезка \(AH = 40\), \(tg A = 0,7\). Найдите \(AB. \)
4. Анна Малкова Маша купила для всей семьи пирожков: 3 с капустой, 3 с вареньем и 4 с рисом. Пирожки лежат в одном пакете и внешне совершенно одинаковы. По дороге домой Маша чувствует непреодолимое желание съесть 2 пирожка, причем разных и не с рисом. С какой вероятностью ей удастся выбрать нужные пирожки из пакета?
5. Решите уравнение \(x^2-6x+\sqrt{6-x}=\ \sqrt{6-x}+7\)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.
6. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
7. На рисунке изображён график функции \(y=f\left(x\right).\\) Найдите количество точек максимума функции \(y=f\left(x\right)\) на отрезке \([-4; 6]\)
8. Площадь основания конуса равна 112. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 2 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
9. Найдите значение выражения. \( \displaystyle \sqrt{32}-\sqrt{128}{{sin}^2 \frac{7\pi }{8}\ }.\)
10. Анна Малкова
Численность популяции глупых пингвинов описывается уравнением \(P\left(t\right)=P_0\cdot {1,1}^{kt}\), где \(P_0\) — начальная численность популяции, t — время в десятилетиях, прошедшее с момента начала наблюдений. Известно, что через 20 лет после начала наблюдений численность популяции пингвинов увеличилась примерно в 1,331 раза. Найдите k.
11. Анна Малкова
В течение двух месяцев «самоизоляции», вызванной пандемией Covid-19, оборот фирмы предпринимателя Ивана уменьшался на p процентов ежемесячно. Иван подсчитал, что для возвращения к первоначальному уровню оборот необходимо увеличить на 56,25 %. Найдите р.
12. Найдите наибольшее значение функции \( \displaystyle y=\ \frac{1}{x^2-10x+21}\) на отрезке \([4; 6].\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Ольга Чемезова
а) Решите уравнение
\( \displaystyle sin2x+2{sin}^2x=2\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4}); \)
б) Найдите все его корни на отрезке
\([-2\pi ; \frac{-\pi} {2}] \)
14. Анна Малкова
В основании треугольной пирамиды SABC лежит треугольник АВС, причем его углы А, В и С относятся как 1 : 2 : 3, SO — высота пирамиды.
Известно, что SA = SC = АВ = SB
а) Докажите, что треугольники SCO и ABC равны.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости SAB, если АВ = 8.
15. Решить неравенство
\( \displaystyle \sqrt{9x+\frac{1}{2x+1}}\cdot \left(9-25x^2\right)\geq 0. \)
16. Анна Малкова Биссектрисы \(AA_1,\ BB_1\\) и \(CC_1\) треугольника \(ABC\) продолжены до пересечения с его описанной окружностью, причем \(A_1,\ B_1,\ C_1\) — точки пересечения.
В треугольнике \(A_1B_1C_1\) углы \(A_1,\ B_1\)и \(C_1\) равны 75, 60 и 45 градусов соответственно.
а) Докажите, что \(AB^2\ =\ \ 2\ A_1B_1^2\ \)
б) Пусть О — центр описанной окружности треугольника АВС, Р — точка пересечения его биссектрис. Найдите угол РОВ. Ответ выразите в градусах.
17. Ольга Чемезова
В начале 2017 года Михаил положил сумму X рублей на депозит в банке. Банк начисляет 10% годовых в конце каждого года на имеющуюся сумму. Начисленные проценты остаются на депозите. В начале 2018 и 2019 годов Михаил пополнял вклад на такую же сумму X, в результате в конце 2019 года сумма на вкладе составила 152922 руб. Найдите сумму X.
18. Анна Малкова Найдите все значения параметра k, при каждом из которых система уравнений
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-a\right)}^2=\frac{a^2}{4} \\
y=kx \end{array}
\right. \)
имеет единственное решение для любого \(a \textgreater 0.\)
19. На доске написаны 3 натуральных числа. К первому числу приписали справа цифру 6, ко второму — цифру 9, третье оставили без изменений.
а) Могла ли сумма этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее целое число раз могла увеличиться сумма этих чисел?
Скачать вариант в .pdf
