Видеоразбор варианта 3:
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова Когда в ноябре 2020 года курс доллара стал равен 77,5 рублей, Валентина Петровна решилась потратить S тысяч рублей на покупку долларов. На сколько процентов больше получилась бы сумма в долларах, если бы Валентина Петровна сделала это в январе 2020 года, когда курс доллара составлял 62 рубля?
Решение:
По условию задачи, в ноябре 2020 года Валентина Петровна поменяла S тысяч рублей на доллары и получила долларов.
Если бы она в январе 2020 года поменяла такую же сумму на доллары, она бы получила долларов.
За 100% принимаем величину, с которой сравниваем, то есть сумму в долларах, полученную в ноябре. Сумма в долларах, которую Валентина Петровна получила бы в январе, была бы на р % больше.
Поделим обе части на S.
р = 1550 : 62 = 25.
Ответ: 25
2. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н*м (Ньютонах на метр) Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н*м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?
Решение: Находим по графику, что значению 60 Н*м соответствует 1500 оборотов двигателя.
Ответ: 1500.
3. Анна Малкова Найдите площадь фигуры S, изображенной на клетчатой бумаге. В ответе запишите .
Решение:
Площадь фигуры S равна сумме площадей двух фигур, являющихся четвертями кругов с радиусами 7 и 4 минус площадь половины круга с радиусом 2.
Получим:
В ответе запишем
Ответ: 14,25
4. Анна Малкова Жил старик со своею старухой у самого синего моря. Старик ловил неводом рыбу, закидывая невод до тех пор, пока не поймает хотя бы одну. В результате многолетних наблюдений старик заметил, что вероятность поймать рыбу при первом закидывании невода равна 0,4, а при последующих 0,6. Сколько раз старику надо закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была не менее 0,95?
Решение:
Закинув невод в первый раз, старик может поймать рыбу с вероятностью 0,4 или не поймать с вероятностью 0,6. Если старик поймал рыбу, он больше не ловит, если не поймал – продолжает закидывать.
Он может поймать рыбу с первой попытки, со второй, с третьей, с n-ной. Пусть вероятность события А = { старик поймал рыбу с одной из n попыток} не менее 0,95.
Тогда вероятность противоположного события В = { старик не поймал рыбу, сделав n попыток } не более 0,05. Это значит, что он не поймал рыбу с первой попытки, со второй, с третьей, с n-ной.
Вероятность этого события
Получим:
Неравенство выполняется, если тогда
Ответ: 4
5. Найдите корень уравнения .
Решение:
Ответ: -0,2
6. Найдите сторону ромба, если радиус вписанной в него окружности равен , а больший из углов ромба равен 120 градусов.
где HE – высота ромба. Пусть AB=a.
Ответ: 4
7. На рисунке приведён график зависимости координаты тела x от времени t при его прямолинейном движении по оси Х.
Определите модуль скорости тела v в промежутке времени от 25 до 30 с. Ответ выразите в м/с.
Решение: Скорость тела v(t) – это производная от его координаты х(t) по времени. На отрезке от 25 до 30 секунд координата тела линейно уменьшается от 10 м до нуля. Модуль скорости тела равен модулю углового коэффициента графика х(t), то есть 10 : 5 = 2.
Ответ: 2
8. Площадь основания ABCD пирамиды SABCD равна 6, высота равна 6. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Решение:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. В данной задаче коэффициент подобия равен так как все линейные размеры меньшей пирамиды в 2 раза меньше, чем линейные размеры большой. Значит, ее объем в 8 раз меньше, чем объем большой пирамиды, и равен
Ответ: 1,5
9. Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ: 4
10. Антон Акимов Дальность полета мяча, брошенного под углом
к горизонту, зависит от начальной скорости
и угла
по закону
, где
измеряется в метрах, а
в метрах в секунду. Определите, при каком максимальном значении
дальность полета будет не меньше , если начальная скорость мяча составляет в секунду. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Подставив значения величин в формулу для дальности полета, получим неравенство:
Нарисуем тригонометрический круг, обозначив , и решим неравенство
Отсюда с учетом возможного диапазона угла получаем
. Значит, максимальное значение
равно 75 градусов.
Ответ: 75
11. Анна Малкова Стоя на носу баржи «Анна Каренина», идущей против течения реки, капитан случайно уронил в воду свой паспорт. Документ не утонул, а поплыл по течению и был выловлен через 4 минуты матросом, находившимся на корме теплохода «Дубровский», который следовал за «Анной Карениной», причем расстояние от кормы «Анны Карениной» до носа «Дубровского» в момент падения паспорта было равно 725 метров.
Найдите длину баржи «Анна Каренина», если длина теплохода «Дубровский» 23 метра, а его скорость в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ выразите в метрах.
Решение:
Пусть х - длина баржи «Анна Каренина».
Паспорт плывёт по течению со скоростью течения v;
Скорость теплохода «Дубровский» равна км/ч (относительно неподвижного наблюдателя), скорость сближения паспорта и теплохода «Дубровский» равна
км/ч;
минуты
часа
часа;
S – расстояние, которое «прошёл» паспорт, (метра),
725 м=0,725 км;
23 м=0,023 км;
x км+0,748 км
x=0,8-0,748 км = 0,05 км=52 м.
Ответ: 52
12. Найдите точку максимума функции принадлежащую промежутку
Решение:
только если
так как при
Если то
Если то
– точка максимума
Ответ: 1,5
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Решить уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) ОДЗ:
Сделаем замену Упростим дробь в левой части уравнения.
Получим:
Сделаем замену:
так как
б) Найдем корни на отрезке
б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки
Ответ:
14. Анна Малкова
а) Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду SABCD, лежит на высоте пирамиды.
б) В правильной пирамиде SABCD ребро основания равно 10, высота равна 12. В каком отношении центр вписанной сферы делит высоту пирамиды?
Решение:
Докажем, что центр сферы, вписанной в пирамиду, лежит на высоте пирамиды.
Пусть O – центр сферы, S – вершина пирамиды, OM и BN – радиусы сферы.
Точка О равноудалена от плоскостей SAB и SDC. Значит, точка O лежит в биссекторной плоскости угла между (SAB) и (SBC)
Биссекторная плоскость – плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит его на 2 равных двугранных угла.
Если точка O равноудалена от плоскостей и
это равносильно тому, что
лежит в биссекторной плоскости угла между
и
Докажем это.
Пусть
Пусть
SO – биссектриса угла т.к.
по гипотенузе и катету.
Так как – по признаку перпендикулярности плоскостей.
Значит, в нашей задаче точка O лежит на биссектрисе угла MSN, то есть в биссекторной плоскости угла между (SAB) и (SBC) – гранями пирамиды.
Мы доказали, что
по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, Тогда
. Аналогично доказываем, что
Тогда
O – лежит на высоте пирамиды.
Б)
Найти:
Решение:
Пусть r – радиус вписанной сферы.
Объем пирамиды SABCD равен сумме объемов 5 пирамид с общей вершиной О, то есть пирамид SABCO, SABO, SADO, SBCO, SCDOО. Все эти пирамиды имеют одинаковые высоты, равные радиусу вписанной сферы r.
SK – апофема,
Ответ: 13 : 5
15. Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
Замена:
Вернемся к переменной х.
применим метод замены множителя;
Ответ:
16. Анна Малкова
На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, лежащие вне треугольника.
Пусть Р и Q – центры квадратов, построенных на катетах АС и ВС, О – центр квадрата, построенного на гипотенузе.
а) Докажите, что ОС = PQ.
б) Катеты треугольника АВС даны: ВС = 5, АС = 12. Пусть АН - высота треугольника АОС. Найдите площадь четырехугольника ВОНQ.
Решение:
а) – вертикальные,
если то
(как сумма половин диагоналей квадратов со сторонами a и b).
Докажем, что
AOBC – можно вписать в окружность, т.к.
- как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу АО.
— вписан в окружность, AB – диаметр окружности.
По теореме синусов для треугольника АОС,
б) Пусть
Найдём
Четырехугольник AOBC – вписанный в окружность,
Из треугольника АОН:
т.е.
– параллелограмм,
Ответ:
17. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Решение
В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют по 0,3S тыс. рублей. В январе 2030 года долг (в тыс. рублей) равен 1,3S, а в июле — 1,3S - 338. В январе 2031 года долг равен 1,69S - 439,4, а в июле — 1,69S - 777,4. По условию, к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью, значит, 1,69S - 777,4 = 0, откуда S = 460.
Таким образом, первые три выплаты составляют по 138 тыс. руб., а последние две — по 338 тыс. руб. Общая сумма выплат составляет:
тыс.руб .
Ответ: 1090 тысяч рублей
18. Анна Малкова
Найдите все значения параметра q, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения на отрезке [0; 3]:
Решение:
Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму в левой части уравнения.
Рассмотрим функцию
Эта функция непрерывная и нечётная. Покажем, что функция
– монотонно возрастающая;
Так как функция монотонна и нечетна, из равенства
следует равенство
Это значит, что
Найдем, при каких значениях параметра q уравнение
– имеет ровно 2 решения при
Рассмотрим уравнение
Замена:
Изобразим в одной системе координат графики левой и правой частей уравнения
и найдем, при каких k уравнение имеет ровно 2 решения на отрезке
то есть при каких k графики функций в левой и правой частях уравнения имеют ровно 2 общие точки.
Прямая проходит через точку
при любом k, график функции
также проходит через эту точку.
Значит, x=0 - решение уравнения при любом k.
Если прямая y=kx+1 проходит также через точку B, , уравнение
имеет ровно два решения на отрезке
Подставив x=3 в уравнение , получим:
Если прямая y=kx+1 проходит через точку A и выше точки B, то на отрезке уравнение
имеет только одно решение.
Если прямая y=kx+1 является касательной к графику функции при x=0, уравнение
имеет ровно одно решение при
Найдем k для случая касания при x=0 графиков y=kx+1. Запишем условия касания:
; из второго уравнения
Сравним и
так как
Значит, при уравнение
имеет ровно два решения при
Так как получим ответ:
Ответ:
19. Антон Акимов Василий Васильевич вспоминал, как в студенческие времена, взяв менее 100 рублей, пошёл гулять. Заходя в какой-нибудь магазин и имея при этом m рублей n копеек, он тратил n рублей m копеек.
а) Мог ли студент Вася посетить ровно два магазина?
б) Мог ли студент Вася посетить ровно три магазина?
в) Какое наибольшее число магазинов смог посетить Вася?
Решение:
Сделаем «заготовку» для всех трех пунктов задачи.
Пусть Василий Васильевич начинает свою прогулку, имея a рублей b копеек, причем и сумма, которой он располагает, меньше 100 рублей.
В первом магазине Василий тратит b рублей aкопеек.
Тогда, выходя из первого магазина, он имеет a- b-1 рублей и b- a+100 копеек. Пусть . Сейчас у Васи t – 1 рубль 100 - t копеек. Условие возможности посещения второго магазина:
, или
, т.к. t – целое.
а) Да, например, у Васи 75 руб 24 копейки. После 1-ого магазина осталось 50 руб 49 коп, после второго – 99 коп, которые он по условию потратить не может.
б) Да, например 76 руб. После посещения 1-ого осталось 75 руб 24 коп, а этого хватает на 2 магазина (см а).
в) Для посещения второго магазина необходимо и достаточно выполнение условия
После посещения второго магазина у Васи рублей и
копеек. Для посещения третьего магазина необходимо, чтобы рублей было больше, чем копеек. Значит, чтобы можно было посетить третий, необходимо и достаточно, чтобы
Аналогично, чтобы посетить четвёртый магазин, необходимо и достаточно, чтобы Для пятого
для шестого ,
а для посещения седьмого t должно быть больше, чем 99, и это невозможно. Значит, Вася может посетить не больше 6 магазинов. Приведем пример, когда он посещает ровно 6 магазинов. Пусть Вася идет на прогулку, имея 99 рублей 00 копеек.
После первого магазина остаётся 98 руб. 01 коп.,
после второго – 96 руб. 03 коп.,
после третьего – 92 руб. 07 коп.,
после четвёртого – 84 руб. 15 коп.,
после пятого – 68 руб. 31 коп.,
после шестого – 36 руб. 63 коп.
В седьмом магазине расплатиться уже не удастся.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Вариант 3, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 06.09.2023