Видеоразбор варианта 3:
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова Когда в ноябре 2020 года курс доллара стал равен 77,5 рублей, Валентина Петровна решилась потратить S тысяч рублей на покупку долларов. На сколько процентов больше получилась бы сумма в долларах, если бы Валентина Петровна сделала это в январе 2020 года, когда курс доллара составлял 62 рубля?
Решение:
По условию задачи, в ноябре 2020 года Валентина Петровна поменяла S тысяч рублей на доллары и получила \( \displaystyle \frac{S}{77,5} \) долларов.
Если бы она в январе 2020 года поменяла такую же сумму на доллары, она бы получила \(\displaystyle \frac{S}{62} \) долларов.
За 100% принимаем величину, с которой сравниваем, то есть сумму в долларах, полученную в ноябре. Сумма в долларах, которую Валентина Петровна получила бы в январе, была бы на р % больше.
\( \displaystyle \frac{S}{77,5}\cdot \left( 1 +\frac{p}{100} \right) =\frac{S}{62} \)
Поделим обе части на S.
\(\displaystyle \frac{1}{77,5}\cdot \left( 1 +\frac{p}{100} \right) =\frac{1}{62} \)
\( \displaystyle 62\cdot \left( 1+\frac{p}{100} \right) = 77,5 \)
\(\displaystyle \frac{62p}{100} = 15,5 \)
р = 1550 : 62 = 25.
Ответ: 25
2. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н*м (Ньютонах на метр) Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н*м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?
Решение: Находим по графику, что значению 60 Н*м соответствует 1500 оборотов двигателя.
Ответ: 1500.
3. Анна Малкова Найдите площадь фигуры S, изображенной на клетчатой бумаге. В ответе запишите \(\displaystyle \frac{S} {\pi}\).
Решение:
Площадь фигуры S равна сумме площадей двух фигур, являющихся четвертями кругов с радиусами 7 и 4 минус площадь половины круга с радиусом 2.
Получим: \(\displaystyle S = \pi \cdot \left( \frac{7^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{4}-\frac{2^{2}}{2} \right) = \pi \cdot \left( \frac{49+16}{4}-2 \right)=\)
\(\displaystyle = \pi \left( 12+\frac{1}{4}+4-2 \right) = \pi \cdot 14,25 \)
В ответе запишем \(\displaystyle \frac{S}{\pi}\)
Ответ: 14,25
4. Анна Малкова Жил старик со своею старухой у самого синего моря. Старик ловил неводом рыбу, закидывая невод до тех пор, пока не поймает хотя бы одну. В результате многолетних наблюдений старик заметил, что вероятность поймать рыбу при первом закидывании невода равна 0,4, а при последующих 0,6. Сколько раз старику надо закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была не менее 0,95?
Решение:
Закинув невод в первый раз, старик может поймать рыбу с вероятностью 0,4 или не поймать с вероятностью 0,6. Если старик поймал рыбу, он больше не ловит, если не поймал – продолжает закидывать.
Он может поймать рыбу с первой попытки, со второй, с третьей, с n-ной. Пусть вероятность события А = { старик поймал рыбу с одной из n попыток} не менее 0,95.
Тогда вероятность противоположного события В = { старик не поймал рыбу, сделав n попыток } не более 0,05. Это значит, что он не поймал рыбу с первой попытки, со второй, с третьей, с n-ной.
Вероятность этого события
\( p=0,6\cdot 0,4^{n-1} \)
Получим:
\( 0,6\cdot 0,4^{n-1} \leq 0,05 \)
\(\displaystyle 0,4^{n-1} \leq \frac{0,5}{6} \)
\(\displaystyle 0,4^{n-1 } \leq \frac{1}{12} \)
\( \displaystyle \frac{1}{12} \approx 0,083, \)
\( 0,4^{2}=0,16 \textgreater 0,083 \)
\( 0,4^{3}=0,064 \textless 0,083, \)
Неравенство выполняется, если \(n-1=3,\) тогда \(n=4.\)
Ответ: 4
5. Найдите корень уравнения \(9^{2+5x}=1,8 \cdot 5^{2+5x}\).
Решение:
\(\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right) ^{2+5x}=1,8 \)
\( \left( 1,8 \right) ^{2+5x}=1,8 \)
\( 2+5x=1 \)
\( 5x=-1 \)
\( x=-0,2 \)
Ответ: -0,2
6. Найдите сторону ромба, если радиус вписанной в него окружности равен \( \sqrt {3}\), а больший из углов ромба равен 120 градусов.
\( \angle B=120^{\circ} \Rightarrow A=60^{\circ}, \)
\( OH=R; \)
\( \displaystyle OH=\frac{1}{2}HE, \) где HE – высота ромба. Пусть AB=a.
\( a sin 60^{\circ}=2\sqrt{3} \)
\( \displaystyle a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}, \)
\( a=4 \)
Ответ: 4
7. На рисунке приведён график зависимости координаты тела x от времени t при его прямолинейном движении по оси Х.
Определите модуль скорости тела v в промежутке времени от 25 до 30 с. Ответ выразите в м/с.
Решение: Скорость тела v(t) – это производная от его координаты х(t) по времени. На отрезке от 25 до 30 секунд координата тела линейно уменьшается от 10 м до нуля. Модуль скорости тела равен модулю углового коэффициента графика х(t), то есть 10 : 5 = 2.
Ответ: 2
8. Площадь основания ABCD пирамиды SABCD равна 6, высота равна 6. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Решение:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. В данной задаче коэффициент подобия равен \(\displaystyle \frac{1}{2},\) так как все линейные размеры меньшей пирамиды в 2 раза меньше, чем линейные размеры большой. Значит, ее объем в 8 раз меньше, чем объем большой пирамиды, и равен \(\displaystyle V = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{3}{2} = 1,5 \)
Ответ: 1,5
9. Найдите значение выражения:
\( \left( tg \alpha +ctg \alpha \right) ^{2}- \left( tg \alpha -ctg \alpha \right) ^{2} \)
Решение:
\( \left( tg \alpha +ctg \alpha \right) ^{2}- \left( tg \alpha -ctg \alpha \right) ^{2}= \)
\( =tg^{2} \alpha +2tg \alpha ctg \alpha +ctg^{2} \alpha -tg^{2} \alpha +2tg \alpha ctg \alpha -ctg^2\alpha= \)
\(=4tg \alpha ctg \alpha =4\cdot 1=4 \)
Ответ: 4
10. Антон Акимов Дальность полета \( L \) мяча, брошенного под углом \( \alpha \left( 0 ^{\circ} \textless \alpha \textless 90 ^{\circ} \right) \) к горизонту, зависит от начальной скорости \( v_{0} \) и угла \( \alpha \) по закону \( L=0,1v_{0}^{2}\sin 2 \alpha \) , где \( L \) измеряется в метрах, а \( v_{0} \) в метрах в секунду. Определите, при каком максимальном значении \( \alpha \) дальность полета будет не меньше , если начальная скорость мяча составляет в секунду. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Подставив значения величин в формулу для дальности полета, получим неравенство:
\(\displaystyle \sin 2 \alpha \geq \frac{1}{2}. \)
Нарисуем тригонометрический круг, обозначив \( 2 \alpha =t \), и решим неравенство \( \displaystyle \sin t \geq \frac{1}{2}. \)
Отсюда с учетом возможного диапазона угла \( \alpha \) получаем \( 30 ^{\circ} \leq 2 \alpha \leq 150 ^{\circ} \). Значит, максимальное значение \( \alpha \) равно 75 градусов.
Ответ: 75
11. Анна Малкова Стоя на носу баржи «Анна Каренина», идущей против течения реки, капитан случайно уронил в воду свой паспорт. Документ не утонул, а поплыл по течению и был выловлен через 4 минуты матросом, находившимся на корме теплохода «Дубровский», который следовал за «Анной Карениной», причем расстояние от кормы «Анны Карениной» до носа «Дубровского» в момент падения паспорта было равно 725 метров.
Найдите длину баржи «Анна Каренина», если длина теплохода «Дубровский» 23 метра, а его скорость в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ выразите в метрах.
Решение:
Пусть х - длина баржи «Анна Каренина».
Паспорт плывёт по течению со скоростью течения v;
Скорость теплохода «Дубровский» равна \( 12-v \) км/ч (относительно неподвижного наблюдателя), скорость сближения паспорта и теплохода «Дубровский» равна \( 12-v+v=12 \) км/ч;
\( S=v\cdot t \)
\( t=4\) минуты\(\displaystyle =\frac{4}{60}\) часа\(\displaystyle =\frac{1}{15}\)часа;
S – расстояние, которое «прошёл» паспорт, \( S=x+725+23 \) (метра),
725 м=0,725 км;
23 м=0,023 км;
x км+0,748 км \(\displaystyle =\frac{12}{15}=0,8: \)
x=0,8-0,748 км = 0,05 км=52 м.
Ответ: 52
12. Найдите точку максимума функции \( y= \left( 2x-3 \right) \cos x-2\sin x+5, \) принадлежащую промежутку \(\displaystyle \left( 0;\frac{ \pi }{2} \right) . \)
Решение:
\( y^{'}=2\cos x- \left( 2x-3 \right) \sin x-2\cos x= \left( 3-2x \right) \sin x; \)
\( y^{'}=0, \) только если \( x=1,5; \) так как при \(\displaystyle x \in \left( 0;\frac{ \pi }{2} \right) \sin x \neq 0. \)
Если \( 0 \textless x \textless 1,5, \) то \( y^{'} \textgreater 0; \)
Если \( 1,5 \textless x \textless \pi , \) то \( y^{'} \textless 0. \)
\( x=1,5 \) – точка максимума
Ответ: 1,5
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Решить уравнение \( \displaystyle \frac{8 \left( ctg x-tg x \right) }{ctg x+tg x}=2\cos 4x+5. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[ -4 \pi ; -\frac{5 \pi }{2} \right] \)
Решение:
а) ОДЗ: \(
\left\{\begin{matrix}
ctg x+tg x \ne 0\\ \sin x \ne 0
\\ \cos x \ne 0
\end{matrix}\right.
\)
Сделаем замену \( tg x=t.\) Упростим дробь в левой части уравнения.
\(\displaystyle \frac{(ctg x-tg x)}{ctg x+tg x}=\frac{\frac{1}{t}-t}{\frac{1}{t}+t}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=cos 2x\)
Получим:
\( 8\cos 2x=2 \left( 2\cos ^{2}2x-1\right)+5 \)
Сделаем замену: \( \cos 2x=z; \) \(|z|\leq 1\)
\( 4z^{2}-8z+3=0 \)
\( D=64-48=16; \)
\(\displaystyle z=\frac{8 \pm 4}{8};\) так как \( \vert z \vert \leq 1; \; z=\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle \cos 2x=\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle 2x= \pm \frac{ \pi }{3}+2 \pi k, k \in z \)
\( \displaystyle x= \pm \frac{ \pi }{6}+ \pi k \)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left[ -4 \pi ; -\frac{5 \pi }{2} \right] . \)
\(\displaystyle x= \pm \frac{ \pi }{6}+ \pi k , k \in z \)
б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\displaystyle [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\) и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(x_1,\;x_2,\;x_3.\)
\( \displaystyle x_{1}=-4 \pi +\frac{ \pi }{6}=-\frac{23 \pi }{6} \)
\( \displaystyle x_{2}=-4 \pi +\frac{5 \pi }{6}=-\frac{19 \pi }{6} \)
\(\displaystyle x_{3}=-4 \pi +\frac{7 \pi }{6}=-\frac{17 \pi }{6} \)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{23 \pi }{6};-\frac{19 \pi }{6};-\frac{17 \pi }{6} \)
14. Анна Малкова
а) Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду SABCD, лежит на высоте пирамиды.
б) В правильной пирамиде SABCD ребро основания равно 10, высота равна 12. В каком отношении центр вписанной сферы делит высоту пирамиды?
Решение:
Докажем, что центр сферы, вписанной в пирамиду, лежит на высоте пирамиды.
Пусть O – центр сферы, S – вершина пирамиды, OM и BN – радиусы сферы.
\( OM\perp \left( SAB \right) \)
\( ON\perp \left( SDC \right) ; \)
\( OM=ON=r \)
Точка О равноудалена от плоскостей SAB и SDC. Значит, точка O лежит в биссекторной плоскости угла между (SAB) и (SBC)
Биссекторная плоскость – плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит его на 2 равных двугранных угла.
Если точка O равноудалена от плоскостей \( \alpha \) и \( \beta , \) это равносильно тому, что \(O \) лежит в биссекторной плоскости угла между \( \alpha \) и \( \beta . \)
Докажем это.
Пусть \( m= \alpha \cap \beta \)
Пусть \( \left( OMN \right) \cap m=S;\; S=SN \cap SM \)
SO – биссектриса угла \( \angle MSN, \) т.к. \( \triangle SOM=\triangle SON \) по гипотенузе и катету.
Так как \( m\perp \left( MON \right) , m \in \alpha , m \in \beta \Rightarrow \alpha \perp \left( MON \right) , \beta \perp \left( MON \right) \) – по признаку перпендикулярности плоскостей.
Значит, в нашей задаче точка O лежит на биссектрисе угла MSN, то есть в биссекторной плоскости угла между (SAB) и (SBC) – гранями пирамиды.
Мы доказали, что \( SO\perp m, SO \in \left( MON \right) ; \)
\( m= \left( SAB \right) \cap \left( SDC \right) ; \)
по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \( m\parallel AB. \) Тогда \( SO\perp AB \) . Аналогично доказываем, что \( SO\perp AD. \) Тогда \( SO\perp \left( ABD \right) ; \) O – лежит на высоте пирамиды.
Б) \( AB=10; \; h=12=SH \)
Найти: \(\displaystyle \frac{SO}{OH} \)
Решение:
Пусть r – радиус вписанной сферы.
Объем пирамиды SABCD равен сумме объемов 5 пирамид с общей вершиной О, то есть пирамид SABCO, SABO, SADO, SBCO, SCDOО. Все эти пирамиды имеют одинаковые высоты, равные радиусу вписанной сферы r.
\( \displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}r \left( S_{ABCD}+4S_{\bigtriangleup ASB} \right) =\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h \)
\( S_{ABCD}=100; \)
SK – апофема, \( SK=13; \)
\(\displaystyle S_{\bigtriangleup SAB}=\frac{13\cdot 10}{2}=65; \)
\( r= \left( 100+4\cdot 65 \right) =100\cdot 12 \)
\( \displaystyle r=\frac{100\cdot 12}{360}=\frac{100}{30}=\frac{10}{3} \)
\( r=OH; \)
\( \displaystyle SO=12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}; \)
\( \displaystyle \frac{SO}{OH}=\frac{26}{10}=\frac{13}{5} \)
Ответ: 13 : 5
15. Решите неравенство \( x^{2}\log _{125} \left( -x-2 \right) \geq \log _{5} \left( x^{2}+4x+4 \right) . \)
Решение:
ОДЗ: \( -x-2 \textgreater 0 \)
Замена: \( -x-2=t;t \textgreater 0 \)
\(
\displaystyle x^{2}\log _{125}t \geq \log _{5}t^{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}\cdot \frac{\log _{5}t}{3} \geq 2\log _{5}t\\
t \textgreater 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x^2-6)log_5 t \geq 0
\\ t \textgreater 0
\end{matrix}\right.
\)
Вернемся к переменной х.
\(
\left\{\begin{matrix}(x^2-6) \cdot log_5 (-x-2)\geq 0
\\x \textless -2
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})log_5(-x-2)\geq0
\\
x \textless -2
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+\sqrt{6})log_5(-x-2)\leq 0\\
x \textless -2
\end{matrix}\right.\)
применим метод замены множителя;
\(
\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{6})(-x-2-1)\leq 0
\\ x \textless -2
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{6})(x+3) \geq 0
\\ x \textless -2
\end{matrix}\right.\)
Ответ: \( \left( -\infty;-3 \right] \cup \left[ -\sqrt[]{6;}-2 \right) . \)
16. Анна Малкова
На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, лежащие вне треугольника.
Пусть Р и Q – центры квадратов, построенных на катетах АС и ВС, О – центр квадрата, построенного на гипотенузе.
а) Докажите, что ОС = PQ.
б) Катеты треугольника АВС даны: ВС = 5, АС = 12. Пусть АН - высота треугольника АОС. Найдите площадь четырехугольника ВОНQ.
Решение:
а) \( \angle PCA=\angle QCN \) – вертикальные, \( C \in PQ; \; PQ=PC+CQ; \)
если \( BC=a, \; AC=b, \) то \( \displaystyle PQ=\frac{ \left( a+b \right) \cdot \sqrt{2}}{2}. \) (как сумма половин диагоналей квадратов со сторонами a и b).
Докажем, что \( OC=PQ.\)
AOBC – можно вписать в окружность, т.к. \( \angle O+\angle C=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}; \)
\( \angle ACO=\angle ABO=45^{\circ} \) - как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу АО.
\(\triangle AOC \) — вписан в окружность, AB – диаметр окружности.
\( \angle CAO=45^{\circ}+ \alpha ; \)
По теореме синусов для треугольника АОС,
\(\displaystyle \frac{OC}{\sin \left( 45^{\circ}+ \alpha \right) }=AB; \)
\( \displaystyle OC=AB\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right) \)
\( \displaystyle OC=\frac{ \left( AB\sin \alpha +AB\cos \alpha \right) \cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{ \left( a+b \right) \sqrt{2}}{2} =PQ\)
б) Пусть \( a=5, b=12. \)
Найдём \( S_{BOHQ} \)
Четырехугольник AOBC – вписанный в окружность, \( \angle AOC=\angle ABC= \beta . \)
\( \angle OAH= \alpha , \)
Из треугольника АОН: \( \displaystyle OH=AO\cdot \sin \alpha =\frac{AB\sqrt{2}}{2}\sin \alpha =\frac{a\sqrt{2}}{2}=BQ, \)
\( OH=BQ, \; OC\parallel BQ, \) т.е. \( OH\parallel BQ, \)
\( BOHQ \) – параллелограмм, \(\displaystyle S_{BOHQ}=OH\cdot BQ\cdot \sin \alpha =\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{b\sqrt{2}}{2}\sin \alpha =\frac{ab}{2}\sin \alpha =30\cdot \frac{5}{13}=\frac{150}{13}. \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{150}{13} \)
17. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Решение
В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют по 0,3S тыс. рублей. В январе 2030 года долг (в тыс. рублей) равен 1,3S, а в июле — 1,3S - 338. В январе 2031 года долг равен 1,69S - 439,4, а в июле — 1,69S - 777,4. По условию, к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью, значит, 1,69S - 777,4 = 0, откуда S = 460.
Таким образом, первые три выплаты составляют по 138 тыс. руб., а последние две — по 338 тыс. руб. Общая сумма выплат составляет:
\( 3\cdot 138+2=1090 \) тыс.руб .
Ответ: 1090 тысяч рублей
18. Анна Малкова
Найдите все значения параметра q, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения на отрезке [0; 3]:
\( 4\sin \) \( \displaystyle \frac{2^{x}+qx-1}{2}\cos \frac{2^{x}-qx+1}{2}=3 \left( 1-qx-2^{x} \right) \)
Решение:
Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму в левой части уравнения.
\( \displaystyle \sin 2^{x}+\sin \left( qx-1 \right) =\frac{3}{2} \left( 1-qx-2^{x} \right) \)
\( \sin 2^{x}+1,5\cdot 2^{x}=- \left( \sin \left( qx-1 \right) +1,5 \left( qx-1 \right) \right) \)
Рассмотрим функцию
\( y=\sin t+1,5t. \) Эта функция непрерывная и нечётная. Покажем, что функция \( y=\sin t+1,5t \) – монотонно возрастающая;
\( y^{'}=\cos t+1,5 \textgreater 0 \)
Так как функция монотонна и нечетна, из равенства
\( y \left( t_{1} \right) =-y \left( t_{2} \right)\) следует равенство \(t_{1}=-t_{2} \)
Это значит, что
\( 2^{x}=- \left( qx-1 \right) \)
Найдем, при каких значениях параметра q уравнение
\( 2^{x}=-qx+1 \) – имеет ровно 2 решения при \( x \in \left[ 0;3 \right] \)
Рассмотрим уравнение
\( 2^{x}=-qx+1 \)
Замена: \( -q=k. \)
Изобразим в одной системе координат графики левой и правой частей уравнения
\( 2^{x}=kx+1 \) и найдем, при каких k уравнение имеет ровно 2 решения на отрезке \( x \in \left[ 0;3 \right] , \) то есть при каких k графики функций в левой и правой частях уравнения имеют ровно 2 общие точки.
Прямая \(y=kx+1\) проходит через точку \(A\left(0;1\right)\) при любом k, график функции \(y=2^x\) также проходит через эту точку.
Значит, x=0 - решение уравнения \(2^x=kx+1\) при любом k.
Если прямая y=kx+1 проходит также через точку B, \(x_B=3, \; y_B=3\), уравнение \(2^x=kx+1\) имеет ровно два решения на отрезке \(\left[0;3\right].\)
Подставив x=3 в уравнение \(2^x=kx+1\), получим: \(\displaystyle 2^3=k\cdot 3+1; k=\frac{7}{3}.\)
Если прямая y=kx+1 проходит через точку A и выше точки B, то на отрезке \(\left[0;3\right]\) уравнение \(2^x=kx+1\) имеет только одно решение.
Если прямая y=kx+1 является касательной к графику функции \(y=2^x\) при x=0, уравнение \(2^x=kx+1\) имеет ровно одно решение при \(x\in \left[0;3\right].\) Найдем k для случая касания при x=0 графиков y=kx+1. Запишем условия касания:
\( \left\{ \begin{array}{c}
2^x=kx+1 \\
2^x\cdot {ln 2\ }=k \end{array}
\right.\ \); из второго уравнения \(k=2^0\cdot {ln 2\ }={ln 2\ }.\)
Сравним \({ln 2\ }\\) и \(\displaystyle \frac{7}{3}\)
\(2 \textless e, {ln 2\ } \textless {ln e\ };\)
так как \(\displaystyle {ln e }=1, {ln 2\ } \textless 1; \frac{7}{3} \textgreater 1 \Rightarrow {ln 2\ } \textless \frac{7}{3}\)
Значит, при \(\displaystyle {ln 2\ } \textless k\le \frac{7}{3}\) уравнение \(2^x=kx+1\) имеет ровно два решения при \(x\in \left[0;3\right].\)
Так как \(q=-k,\) получим ответ:
\(\displaystyle -\frac{7}{3}\le q \textless {ln \frac{1}{2}\ }.\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{7}{3} \leq q \textless ln \frac{1}{2}\)
19. Антон Акимов Василий Васильевич вспоминал, как в студенческие времена, взяв менее 100 рублей, пошёл гулять. Заходя в какой-нибудь магазин и имея при этом m рублей n копеек, он тратил n рублей m копеек.
а) Мог ли студент Вася посетить ровно два магазина?
б) Мог ли студент Вася посетить ровно три магазина?
в) Какое наибольшее число магазинов смог посетить Вася?
Решение:
Сделаем «заготовку» для всех трех пунктов задачи.
Пусть Василий Васильевич начинает свою прогулку, имея a рублей b копеек, причем \(b \leq a\) и сумма, которой он располагает, меньше 100 рублей.
В первом магазине Василий тратит b рублей aкопеек.
Тогда, выходя из первого магазина, он имеет a- b-1 рублей и b- a+100 копеек. Пусть \(a - b = t \leq 99\). Сейчас у Васи t – 1 рубль 100 - t копеек. Условие возможности посещения второго магазина: \(t - 1 \geq 100 - t\), или \(t \textgreater 51\), т.к. t – целое.
а) Да, например, у Васи 75 руб 24 копейки. После 1-ого магазина осталось 50 руб 49 коп, после второго – 99 коп, которые он по условию потратить не может.
б) Да, например 76 руб. После посещения 1-ого осталось 75 руб 24 коп, а этого хватает на 2 магазина (см а).
в) Для посещения второго магазина необходимо и достаточно выполнение условия \(t \textgreater 51. \)
После посещения второго магазина у Васи \( t-1 -100 + t -1 = 2t - 102 \) рублей и \( 100 - t-t - 1 +100 = 201 - 2t \) копеек. Для посещения третьего магазина необходимо, чтобы рублей было больше, чем копеек. Значит, чтобы можно было посетить третий, необходимо и достаточно, чтобы \(t \geq 76. \)
Аналогично, чтобы посетить четвёртый магазин, необходимо и достаточно, чтобы \(t \geq 89.\) Для пятого \( t \geq 95, \)
для шестого \(t \geq 98\),
а для посещения седьмого t должно быть больше, чем 99, и это невозможно. Значит, Вася может посетить не больше 6 магазинов. Приведем пример, когда он посещает ровно 6 магазинов. Пусть Вася идет на прогулку, имея 99 рублей 00 копеек.
После первого магазина остаётся 98 руб. 01 коп.,
после второго – 96 руб. 03 коп.,
после третьего – 92 руб. 07 коп.,
после четвёртого – 84 руб. 15 коп.,
после пятого – 68 руб. 31 коп.,
после шестого – 36 руб. 63 коп.
В седьмом магазине расплатиться уже не удастся.
