Видеоразбор варианта 5: часть 1
Видеоразбор варианта 5: часть 2
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В фирме такси работают 54 водителя. Сколько выходных может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно из 60 имеющихся у фирмы автомобилей 25% остаются в гараже для мелкого ремонта?
Решение:
Из 60 машин 15 машин (то есть 25%) остаются в гараже для ремонта, значит, на работу выходят 60 — 15 = 45 машин.
Пусть каждый из 54 водителей работает n дней в месяце.
45 машин за 30 дней делают столько же рейсов, сколько 54 водителя за n дней.
Тогда 45 * 30 = 54 * n, отсюда n = 25 рабочих дней, количество выходных дней в месяце у каждого водителя 30 25 = 5.
Ответ: 5
2. На графике показано изменение численности населения города Клин (Московская область) за последние 10 лет. Определите по графику, в каком году из указанного периода численность населения города Клин была наименьшей*.
Решение: На графике видно, что наименьшая численность населения была в 2017 году.
Ответ: 2017
3. Анна Малкова
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН; точка М — середина катета АС. Найдите МН, если \(BC = 7, BH = \frac{14}{\sqrt{5}}.\)
Решение:
По условию, \(BC=7,\) \(\displaystyle BH=\frac{14}{15},\)
MH — медиана \(\triangle ACH,\angle H={90}^{\circ }.\)
\(\displaystyle MH=\frac{1}{2}AC.\) — по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из \(\triangle BCH\) по теореме Пифагора: \(\displaystyle CH=\sqrt{7^2-\frac{{14}^2}{5}}=7\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}\)
Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники, на которые высота СН делит треугольник АВС.
\(\displaystyle \triangle ACH,{sin \angle A=\frac{CH}{AC};\ }\) \(\angle BCH=\angle A.\) (т.к. \(\triangle BCH\sim \triangle BAC\) по 2 углам)
\(\displaystyle \triangle CBH: {sin \angle BCH=\frac{BH}{BC}={sin \angle A;\ }\ }\)
\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{5}\cdot AC}=\frac{14}{7\sqrt{5}};\)
\(\displaystyle AC=\frac{7}{2},\ MH=\frac{1}{2}AC=\frac{7}{4}=1,75.\)
Ответ: 1,75
4. Анна Малкова Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Решение:
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1 - 0,2 = 0,8. Для второго 1 — 0,75 = 0,25. Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй — два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью \(0,8\cdot 0,75\cdot 0,8\cdot 0,75\cdot 0,8\ =0,36\cdot 0,8=0,288\).
Ответ: 0,288
5. Решите уравнение:
\(2{{log}_x 27-3{{log}_{27} x\ }=1.\ }\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.
Решение:
ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x \textgreater 0 \\
x\ne 1 \end{array}
\right.\)
Пусть \(\displaystyle {{log}_{27} x\ }=t\), тогда \({{log}_x 27\ }=\frac{1}{{{log}_2 x\ }}=\frac{1}{t}\)
(по формуле \(\displaystyle {{log}_a b\ }=\frac{1}{{{log}_b a\ }}\));
\(\displaystyle \frac{2}{t}-3t=1;\)
\(-3t^2-t+2=0;\)
\(3t^2+t-2=0\)
\(\displaystyle D=25;t=\frac{-1\pm 5}{6}\)
\(\displaystyle t_1=-1,\ t_2=\frac{2}{3}.\)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}{{{log}_{27} x=-1\ }} \\ {{{log}_{27} x\ }=\frac{2}{3}}\end{array}\right.\)
\({{log}_{27} x\ }=\frac{{{log}_3 x\ }}{{{log}_3 27\ }}=\frac{{{log}_3 x\ }}{3};\)
\(\left[\begin{array}{c}{x=\frac{1}{27}} \\ {{{log}_3 x\ }=2}\end{array}\right.; \)
\(\left[\begin{array}{c}{x=\frac{1}{27}} \\ {x=9}\end{array}\right.\)
Больший корень \(x=9\)
Ответ: 9
6. К окружности с центром в точке О проведены касательная ТВ и секущая ТА, пересекающая окружность также в точке С, причем АС = 9, ТС = 7. Найдите радиус окружности.
Решение:
По теореме о секущей и касательной, \(TB^2=TC\cdot TA=7\cdot 16\)
В \(\triangle ABT\) \(\angle B={90}^{\circ };\) тогда
\(AB\) — диаметр окружности, по теореме Пифагора из \(\triangle ABT\)
\(AB^2=TA^2-TB^2={16}^2-7\cdot 16=9\cdot 16,\)
\(\displaystyle AB=\sqrt{9\cdot 16}=12,\ R=\frac{AB}{2}=6.\)
Ответ: 6
7. Анна Малкова На рисунке изображен график \({y=f}'\left(x\right)\ \)- производной функции
у = f(x). В какой точке отрезка [1; 5] функция у = f(x) принимает наименьшее значение?
Решение:
На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса на «плюс». На рисунке есть такая точка, и это х = 3. Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки х = 3 производная положительна, и функция возрастает. Значит, \(x=3\) точка минимума функции \(f(x)\).
Кстати, вид графика функции \(f(x)\) определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.
Ответ: 3
8. Найдите значение выражения:
\(\displaystyle {{sin}^2 \alpha +{cos \left(\frac{ \pi }{3}- \alpha \right){cos \left(\frac{ \pi }{3}+ \alpha \right)\ }\ }\ }\)
Решение:
\(\displaystyle {cos \left(\frac{ \pi }{3}- \alpha \right)={cos \frac{ \pi }{3}{cos \alpha +{sin \frac{ \pi }{3}{sin \alpha =\frac{1}{2}{cos \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}{sin \alpha \ }\ }\ }\ }\ }\ }\ }\)
\({cos \left(\frac{ \pi }{3}+ \alpha \right)={cos \frac{ \pi }{3}{cos \alpha -{sin \frac{ \pi }{3}{sin \alpha =\frac{1}{2}{cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}{sin \alpha \ }\ }\ }\ }\ }\ }\ }\)
\({{sin}^2 \alpha +{cos \left(\frac{ \pi }{3}- \alpha \right){cos \left(\frac{ \pi }{3}+ \alpha \right)=\ }\ }\ }\)
\(\displaystyle ={{sin}^2 \alpha +\frac{1}{4}\left({cos \alpha +\sqrt{3}\ }{sin \alpha \ }\right)\cdot \left({cos \alpha -\sqrt{3}{sin \alpha \ }\ }\right)=\ }\)
\(\displaystyle ={{sin}^2 \alpha +\frac{1}{4}{{cos}^2 \alpha -\frac{3}{4}{{sin}^2 \alpha =\frac{1}{4}\left({{sin}^2 \alpha +{{cos}^2 \alpha \ }\ }\right)=\frac{1}{4}\ }\ }\ }\)
Ответ: 0,25
9. Найдите площадь поверхности S объемного тела, полученного при вращении данной фигуры вокруг вертикальной оси. В ответе запишите S/\(\pi \).
Решение:
При вращении фигуры вокруг вертикальной оси получается половина шара радиуса 8.
10. Рейтинг интернет-магазина вычисляется по формуле
где 
— средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), 
— оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и \(K\) — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.
Решение:
Подставим значения в формулу:
Ответ: 0,625.
11. Численность медведей в двух заповедниках в 2019 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность медведей возросла на 10%, а во втором на 20%. В результате общая численность медведей в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько медведей было во втором заповеднике в 2019 году?
Составим таблицу для численности медведей в 1 и во 2 заповедниках в 2019 и 2020 году.
| I | x | 1,1x |
| II | y | 1,2y |
| всего | 220 | 250 |
Получим систему уравнений:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y=220 \\
1,1x+1,2y=250 \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y=220 \\
0,1x+0,2y=30 \end{array}
\right.\) (вычли из второго уравнения первое)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y=220 \\
x+2y=300, \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
x+y=220 \\
y=80 \end{array}
\right.\)
Ответ: 80
12. Найдите разность наибольшего и наименьшего значений функции \(y=x^3-3x^2+3x+2\) на отрезке [-2; 2]
Решение:
Найдём производную функции:
\(y'=3x^2-6x+3,\ \ y'=0,\)
\(x^2-2x+1=0\)
\({\left(x-1\right)}^2=0;\)
\(x=1\)
Найдём знаки производной
В точке \(x=1\) производная равна нулю и не меняет знак, \(x=1\) — точка перегиба, \(y\left(x\right)\ \) монотонно возрастает на отрезке \(\left[-2;2\right]\),
\(y_{max}\left(x\right)=y\left(2\right)=8-12+6+2=4\)
\(y_{min}\left(x\right)=y\left(-2\right)=-8-12-6+2=-24\)
\(y_{max}-y_{min}=4-\left(-24\right)=-28\)
Ответ: 28
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. а) Решите уравнение: \({81}^{{{sin}^2 x\ }}+{81}^{{{cos}^2 x\ }}=30.\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-\(\pi \); 5\(\pi \)/4]
Решение:
Замена \({81}^{{{sin}^2 x\ }}=t,\ t \textgreater 0\)
Тогда \(\displaystyle {81}^{{{cos}^2 x\ }}={81}^{1-{{sin}^2 x\ }}=\frac{81}{t}\)
Уравнение примет вид:
\(\displaystyle t+\frac{81}{t}=30;\)
\(t^2-30t+81=0\)
\(D=900-4\cdot 81=9\cdot \left(100-36\right)=9\cdot 64\)
\(\displaystyle t=\frac{30\pm \sqrt{9\cdot 64}}{2}=\frac{30\pm 24}{2};\)
\(\left[\begin{array}{c}{t_1=27} \\ {t_2=3}\end{array};\right.\)
Вернемся к переменной х:
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}81^{sin^2 x}=27;\\81^{sin^2 x}=3;\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}sin^2 x=\frac{3}{4}\\sin^2 x=\frac{1}{4}\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \left[\begin{array}{c}sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\\sin x = \pm \frac{1}{2}\end{array}\right.\)
\(x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z\)
\(x = \pm \frac{\pi}{3}+\pi n\)
Ответ: а) \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}{x=\pm \frac{ \pi }{6}+ \pi n,\ n\in Z} \\ {x=\pm \frac{ \pi }{3}+ \pi n}\end{array}\right.\)
б) 
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \([-\pi; \frac{5 \pi}{4}]\) и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -\frac{5 \pi }{6};-\frac{2 \pi }{3};-\frac{ \pi }{3};-\frac{\pi}{6};\frac{ \pi }{6};\frac{ \pi }{3};\frac{2 \pi }{3}.\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{5 \pi }{6};-\frac{2 \pi }{3};-\frac{ \pi }{3};-\frac{\pi}{6};\frac{ \pi }{6};\frac{ \pi }{3};\frac{2 \pi }{3}.\)
14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 2:1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.
Решение:
а) Проведем SK – апофему грани (ASB);
\(AD\parallel BC,\) как диагональ правильного шестиугольника,
\(MN\) — средняя линия \(\triangle ASD,\)
\(MN\parallel AD\Rightarrow MN\parallel BC\Rightarrow \left(CMN\right)\parallel BC;\) по признаку параллельности прямой и плоскости, тогда
\(\left(CMN\right)\cap \left(ABC\right)=BC\) — по теореме о прямой и параллельной плоскости.
SK и BM — медианы \(\triangle SAB,\)
\(SK\cap BM=T,\ ST:TK=2:1\) по свойству медиан треугольника.
б) SO — высота пирамиды, \(\triangle SFC\) — правильный (по условию),
\(MN\cap SO=P,\)
Рассмотрим \(\triangle SFC;\) пусть \(\left(CMN\right)\cap CF=Q,\)
Найдём SQ:QF.
Применим теорему Менелая для \(\vartriangle SFC\) и прямой СQ.
\(\displaystyle \frac{FQ}{QS}\cdot \frac{SP}{PO}\cdot \frac{OC}{CF}=1\)
\(\displaystyle \frac{FQ}{QS}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2}=1;\)
\(FQ=2QS;\)
\(\displaystyle \frac{QS}{FQ}=1:2\)
Ответ: 1:2
15. Решите неравенство:
\(\displaystyle {{log}_5 x\ }+{{log}_x \frac{x}{3} \textless \frac{{{log}_5 x\left(2-{{log}_3 x\ }\right)\ }}{{{log}_3 x\ }}\ }.\)
Решение:
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
x\textgreater 0\\ x\ne 1
\end{matrix}\right.\)
\(x\ne 1\)
Сделаем замену: \({{log}_5 x\ }=t,\) \({{log}_3 x\ }=z;\)
Тогда
\(\displaystyle {{log}_x \frac{x}{3}=\frac{{{log}_3 \frac{x}{3}\ }}{{{log}_3 x\ }}=\frac{{{log}_3 x-1\ }}{{{log}_3 x\ }}=\frac{z-1}{z}\ }\)
Неравенство примет вид:
\(\displaystyle t+\frac{z-1}{z} \textless \frac{t\left(2-z\right)}{z}\)
\(\displaystyle \frac{tz+z-1-2t+tz}{z} \textless 0\)
\(\displaystyle \frac{2tz-2t+z-1}{z} \textless 0\)
\(\displaystyle \frac{2t\left(z-1\right)+\left(z-1\right)}{z} \textless 0\)
\(\displaystyle \frac{\left(2t+1\right)\left(z-1\right)}{z} \textless 0\)
Вернемся к переменной х.
\(\displaystyle \frac{\left(2{{log}_5 x+1\ }\right)\left({{log}_3 x\ }-1\right)}{{{log}_3 x\ }} \textless 0\)
\(\displaystyle \frac{{{log}_5 5x^2\ }\cdot \left({{log}_3 x\ }-1\right)}{{{log}_3 x\ }} \textless 0;\)
Применив метод замены множителя, получим:
\(x \textgreater 0,\ x\ne 1\)
\(\displaystyle \frac{\left(5x^2-1\right)\left(x-3\right)}{x-1} \textless 0\)
\(\displaystyle \frac{\left(\sqrt{5}x-1\right)\left(\sqrt{5}x+1\right)\left(x-3\right)}{x-1} \textless 0\)
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: \(\displaystyle x\in \left(0;\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\cup \left(1;3\right).\)
16. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.
а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно \(tg^4\angle ABC.\)
б) Пусть точка \(O_{1}\) — центр окружности диаметра AH, вторично пересекающей отрезок AC в точке P, а точка \(O_{2}\) — центр окружности с диаметром BH, вторично пересекающей отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника \(O_{1}\) \(PQO_{2}\), если АС = 22, ВС = 18.
а) Высота CH, проведённая из прямого угла, равна \(\sqrt{AH\cdot HB}.\ \) Отношение площадей кругов равно \(\displaystyle \frac{AH^2}{HB^2}\) Тангенс угла ABC равен \(\displaystyle \frac{CH}{HB}\), то есть \(\displaystyle tg^4\angle ABC=\frac{CH^4}{HB^4}.\) Подставим СН в формулу тангенса четвёртой степени:
\(\displaystyle tg^4\angle ABC=\frac{AH^2\cdot HB^2}{HB^4}=\frac{AH^2}{HB^2}.\) 
б) Углы \(\angle PCQ=\angle CPH=\angle CQH={90}^{\circ },\ \)поэтому CPHQ — прямоугольник. Заметим, что площадь искомого четырёхугольника состоит из суммы площадей треугольников \(HPO_1,\ PHQ\) и \(HQO_2.\)Более того, площади этих фигур являются половинами площадей AHP, PHQC и HQB
соответственно. Таким образом. \(\displaystyle S_{Q_1PQO_2}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{4}22\cdot 18=99.\)
Ответ:: б) 99.
17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t\left(t=1,2,\ \dots \right).\ \)В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \(1+r\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода \(k\), то е конце двадцать пятого года на его счёте будет \(S\left(k\right)=k^2{\left(1+r\right)}^{25-k}\) тыс. рублей.
Найдем производную полученного выражения:
\(S'\left(k\right)=2k{\left(1+r\right)}^{25-k}-k^2{\left(1+r\right)}^{25-k}{ln \left(1+r\right)=k{\left(1+r\right)}^{25-k}\left(2-k{ln \left(1+r\right)\ }\right).\ \ }\)
Заметим. что найденная производная равна нулю в единственной точке \(\displaystyle k_{max}=\frac{2}{{ln \left(1+r\right)\ }},\ \)положительна при \(k \textless k_{max}\ \)и отрицательна при \(k \textgreater k_{max}.\) Следовательно, \(S\left(k\right)\ \)возрастает на \(\left[1;k_{max}\right]\) и убывает на \(k_{max};25.\). Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции \(S\left(k\right)\) можно заключить, что выполнение неравенств \(S\left(21\right) \textgreater S\left(20\right)\) и \(S\left(21\right) \textgreater S\left(22\right)\) гарантирует, что \(S\left(21\right) \textgreater S\left(k\right)\) для всех значений \(k\); отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
S\left(21\right) \textgreater S\left(20\right), \\
S\left(21\right) \textgreater S\left(22\right) \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
441{\left(1+r\right)}^4 \textgreater 400{\left(1+r\right)}^5, \\
441{\left(1+r\right)}^4 \textgreater 484{\left(1+r\right)}^3 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
1+r \textless \frac{441}{400}, \\
1+r \textgreater \frac{484}{441} \end{array}
\right.\Leftrightarrow \frac{43}{441} \textless r \textless \frac{41}{400}.\ \left(*\right)\)
Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг е конце 21 года больше, чем доход при их продаже в конце 20 и 22 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже е любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.
18. При каких значениях параметра а система
\(\left\{ \begin{array}{c}
{sin \left(2 \pi \sqrt{a^2-x^2}\right)=0,\ } \\
2\cdot 3^{\left|ax\right|}+3^{2-\left|ax\right|}\le 19 \end{array}
\right.\)
имеет наибольшее число решений?
1) Упростим первое уравнение.
\( 2 \pi \sqrt{a^2-x^2}= \pi n; n\in Z.\)
\(\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}=\frac{ n }{2},\ n\in Z.\)
2) Обозначим \(3^{\left|ax\right|}=z,\) \(z\ge 1,\) т.к. \(\left|ax\right|\ge 0\)
Получим:
\(\displaystyle 2z+\frac{9}{z}\le 19\)
\(2z^2-19z+9\le 0\)
Решим квадратное уравнение \(2z^2-19z+9=0;\)
\(D=361-72-289={17}^2;\)
\(\displaystyle z=\frac{19\pm 17}{4};\ \left[\begin{array}{c}{z_1=\frac{1}{2}} \\ {z_2=9.}\end{array}\right.\)
Получим:
\(\frac{1}{2} \leq z \leq 9\)
С учётом условия \(z \geq 1\):
\(3^{\left|ax\right|}\le 9;\)
\(\left|ax\right|\le 2.\)
Мы получили систему, равносильную исходной:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\sqrt{a^2-x^2}=\frac{n}{2} \\
\left|ax\right|\le 2; \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
\sqrt{a^2-x^2}=\frac{n}{2} \\
a^2x^2\le 4 \end{array}
\right.\)
(возведём второе неравенство в квадрат)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
a^2-x^2=\frac{n^2}{4} \\
a^2x^2\le 4 \end{array}
\right.\)
Замена: пусть \(a^2=b,\ x^2=y,\ b\ge 0,\ y\ge \ 0.\)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
b-y=\frac{n^2}{4} \\
by\le 4 \end{array}
\right.\)
Найдем, при каком значении параметра b система имеет наибольшее число решений.
Если \(y = 0,\) получим единственное решение \(x=0.\) Рассмотрим случай, когда \(y \textgreater 0.\) Из 2 неравенства:
\(\displaystyle b\le \frac{4}{y}\)
В системе координат \((y; b)\) неравенство \(b\leq \frac{4}{y}\) задает область, ограниченную графиком функции \(b=\frac{4}{y}\) и осями абсцисс и ординат. Уравнение \(b=y+\frac{n^2}{4}\) задает семейство прямых с угловым коэффициентом, равным 1, сдвинутых на \(\frac{n^2}{4}\) вверх, где n – целое число.
Это прямые \(b=y;\) \(b=y+\frac{1}{4};\) \(b=y+1;\) \(b=y+\frac{9}{4};\) \(b=y+4 \dots\)
Они показаны на рисунке.
Исходная система имеет наибольшее число решений, если в области, заданной неравенством \(b\leq \frac{4}{y},\) прямая \(b=b_0\) пересекает наибольшее число прямых вида \(b=y+ \frac{n^2}{4}.\)
Это происходит, если \(1\textless b \leq 2.\) Тогда исходная система имеет ровно 3 решения.
В этом случае \(1 \textless a^2 \leq 2,\)
\(1 \textless \left|a\right|\le \sqrt{2}.\) Это ответ.
Ответ: \(1 \textless \left|a\right|\le \sqrt{2}.\)
19. Длины сторон прямоугольника — натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n — также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n\( \textgreater \)100.
Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b.
Пусть a и b — стороны прямоугольника, 2(a + b) = 200, a + b = 100, b = 100 — a,
Площадь прямоугольника \(S(a)=ab=a\left(100-a\right).\)
Рассмотрим функцию S(x) = x(100 - x), совпадающую с S(a) при натуральных значениях X.
а) Найдем наибольшее значение функции
\(S\left(x\right)=100x-x^2.\)
\(S'\left(x\right)=100-2x;\)
\(S'\left(x\right)=0\) при \(x=50\).
Поскольку при \(x=50\) знак производной S'(x) меняется с «+» на «-», x = 50 является точкой максимума функции S(x). Тогда \(S_{max}\left(x\right)=S\left(50\right)={50}^2=2500.\)
При этом a = 50, b = 50, \(S=S_{max}=2500.\)
б) График функции S(x) — парабола с ветвями вниз. Функция S(x) совпадает с S(a) при натуральных x, причем x \( \textless \) 100.
Поскольку график функции S(x) симметричен относительно прямой x = 50 и при \(x\in [0;50]\)
\(S(x)\) монотонно возрастает, а при \(x\in [50;100]\) S(x) монотонно убывает, натуральным a, наиболее близким к концом отрезка [0, 100], будут соответствовать наименьшие значения S(a).
При a = 1 или a = 99
S(a) принимает наименьшее значение и равна \(1\cdot 99=99\).
По условию, длина одной стороны составляет n% от длины другой.
Если a = 1, b = 99, то \(\displaystyle b=\frac{99}{100}\cdot 100\cdot a=9900%\ a\) , условие выполнено.
в) Пусть n \( \textgreater \) 100, b — большая сторона прямоугольника, \(b=n%a=\frac{n}{100}\cdot a.\)
Поскольку \(\displaystyle S=ab=a\cdot \frac{n}{100}\cdot a=\frac{a^2\cdot n}{100}\).
Периметр равен \(\displaystyle 2(a\ +\ b)=2a(1+\frac{n}{100})\)
\(\displaystyle 2a\left(1+\frac{n}{100}\right)=200,\)
\(\displaystyle a\left(1+\frac{n}{100}\right)=100,\)
\(a\left(100+n\right)=10000.\)
Мы получим, что \(10000\vdots a.\)
Так как \(a\) — меньшая сторона прямоугольника, \(a \textless 50.\) Найдем делители числа 10000, меньше 50.
\(10000={10}^2=2^4\cdot 5^4.\)
Это значит, что число \(a\) содержит только множители \(2^k\) и \(5^k\), где \(k\le 4.\)
1) Число \(a\) содержит только степени двойки; a=1, 2, 4, 8 или 16.
2) Если \(a\) делится на 5, но не делится на 25, возможно случаи a=5, 10, 20 или 40.
3) Если \(a\vdots 25,\) то возможен случай \(a=25.\)
Запишем все варианты в таблицу:
| a | \(b = 100-a\) | S |
| 1 | 99 | 99 |
| 2 | 98 | 196 |
| 4 | 96 | 384 |
| 5 | 95 | 475 |
| 8 | 92 | 736 |
| 10 | 90 | 900 |
| 16 | 84 | 1344 |
| 20 | 80 | 1600 |
| 25 | 75 | 1875 |
| 40 | 60 | 2400 |
*График с сайта gorodarus.ru
В варианте использованы задачи с сайта РешуЕГЭ, из сборников под редакцией И. В. Ященко, М. И. Сканави, Козко, Парфенова и Чирского, а также авторские задачи.
