Вариант 6, решения

Видеоразбор варианта 6:

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной дороге равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой как 7 : 9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском.

Найдите расстояние от Москвы до Можайска. Ответ выразите в километрах.

Решение:

По условию, $x+y+z=415,\$ $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{7}{9};$ $\displaystyle x=\frac{7}{9}y;$ $\displaystyle \frac{y}{z}=\frac{27}{35};$ $\displaystyle y=\frac{27}{35}z;$

Тогда $\displaystyle x=\frac{7}{9}\cdot \frac{27}{35}z=\frac{3}{5}z;$
$\displaystyle \frac{3}{5}z+\frac{27}{35}z+z=415 \Rightarrow z=35\cdot 5=175,$
$\displaystyle x=\frac{3}{5}\cdot 175=3\cdot 35=105$ км

Ответ: 105

2. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Средняя скорость находится по формуле:

С помощью графика найдем

Тогда

Ответ: 50.

3. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ = АС = 25, основание ВС = 14. Найдите расстояние от точки В до стороны АС.

Решение:

Пусть $BK\bot AC,$ $AH\bot BC.$

Высота $BK$ — расстояние от $B$ до $AC$ :

В $\triangle ABH:$

$BC=7,$ $AB=25,$ $\angle H=90{}^\circ \Rightarrow AH=\sqrt{{25}^2-7^2}=24$ по теореме Пифагора,

$\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AC\cdot BK,$
$14\cdot 24=25\cdot BK,$
$\displaystyle BK=\frac{14\cdot 24}{25}=13,44$

Ответ: 13,44

4. Анна Малкова Играя в снежки, Маша попадает в цель с вероятностью 0,8, а Наташа — с вероятностью 0,25. Маша и Наташа одновременно бросили снежки в Василия. С какой вероятностью в Василия попадет хотя бы один снежок?

Решение: Найдем вероятность того, что в Василия не попадет ни один снежок, то есть и Маша промахнулась (вероятность этого события 1 — 0,8 = 0,2), и Наташа независимо от нее промахнулась (вероятность этого события 1 — 0,25 = 0,75). Получим:
$0,2\cdot \ 0,65\ =\ 0,15.$
Вероятность противоположного события (в Василия попал хотя бы один снежок) равна

1 — 0,15 = 0,85.

Ответ: 0,85

5. Решите уравнение:

$x^{{lg x\ }}=1000x^2.$

В ответе запишите сумму корней.

Решение:

ОДЗ: $x \textgreater 0$

Возьмем десятичные логарифмы от обеих частей уравнения:

${lg \left(x^{{lg x\ }}\right)\ }={lg \left(1000x^2\right)\ }$

${lg x\ }\cdot {lg x\ }={lg 1000\ }+{lg x^2\ }$

${\left({lg x\ }\right)}^2=3+2{lg x\ }$

Замена: ${lg x\ }=t,$

$t^2-2t-3=0,$

$t=3$ или $t=-1,$

$\left[ \begin{array}{c}{lg x\ }=3 \\{lg x\ }=-1 \end{array}\right.; \left[ \begin{array}{c}x=1000 \\x=0,1 \end{array}\right.$

$x_1+x_2=1000,1.$

Ответ: 1000,1

6. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.

Решение:

$BC=3, P=42$

$\angle CBD=\angle BDA$ — накрест лежащие, тогда $\triangle ABD$ — равнобедренный, значит, $AB=AD=CD.$

Пусть $AB=AD=CD=x,$ $BC=3,$ $3x+3=42,$ $x=13.$

Проведем высоты $BH$ и $CE;$ $HE=BC=3,$

$\displaystyle AH=ED=\frac{13-3}{2}=5;$ из $\triangle CED,$

$\angle E=90{}^\circ ,$ $CE=\sqrt{{13}^2-5^2}=12;$

$\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CE=\frac{3+13}{2}\cdot 12=96$ .

Ответ: 96

7. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите значение выражения F(7)−F(1), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).

Решение: Согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных F(7)−F(1) функции y=f(x) в точках 7 и 1 равна площади фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми х = 1 и х = 7 и осью Х.

Площадь этой фигуры равна сумме площадей трапеции с основаниями 1 и 2 и высотой 2 и прямоугольника со сторонами 4 и 2.

Получим: F(7)−F(1) = S = S1 + S2 = 3 + 8 = 11.

Ответ: 11

8. Анна Малкова Снеговик собран из трех снежных шаров, поставленных друг на друга, причем их радиусы относятся как 5 : 3 : 2, а высота снеговика равна 1,5 метра. Найдите массу снеговика (в кг). Шары считать идеальными, число $\pi$ принять равным 3,14, плотность снега - равной 400 кг/м³. Ответ округлить до целого числа килограммов, объемом морковки пренебречь.

Решение:

$\displaystyle D_1=0,75=\frac{3}{4}$

$\displaystyle D_2=0,3\cdot 1,5=0,45=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$

$\displaystyle D_3=0,2\cdot 1,5=0,3=\frac{3}{10}$

$\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \frac{ \pi }{8}\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^3+{\left(\frac{9}{20}\right)}^3+{\left(\frac{3}{10}\right)}^3\right)=\frac{4 \pi }{8\cdot 6}\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^3+{\left(\frac{9}{10}\right)}^3+{\left(\frac{3}{5}\right)}^3\right)=$

$\displaystyle =\frac{ \pi }{48}\cdot \left({\left(\frac{15}{10}\right)}^3+{\left(\frac{9}{10}\right)}^3+{\left(\frac{6}{10}\right)}^3\right)=\frac{ \pi }{48}\cdot \frac{1}{1000}\cdot \left({15}^3+9^3+6^3\right)=$

$\displaystyle =\frac{ \pi \cdot 3^3}{48\cdot 1000}\cdot \left(125+27+8\right)=\frac{ \pi \cdot 9}{16\cdot 1000}\cdot \left(125+27+8\right)=$

$\displaystyle =\frac{ \pi \cdot 9}{1000\cdot 16}\cdot 160=\frac{ \pi \cdot 9}{100}.$

$\displaystyle m=\frac{3,14\cdot 9\cdot 400}{100}=3,14\cdot 36=113,04\approx 113$ кг.

Ответ: 113

9. Вычислите: $\displaystyle 2-13{cos 2 \alpha \ }+\frac{1}{{sin 2 \alpha \ }}$ , если $tg\ \alpha =-5$

Решение:

$tg\ \alpha =t=-5;$

Согласно формулам универсальной тригонометрической замены,

$\displaystyle {cos 2 \alpha \ }=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-25}{1+25}=-\frac{24}{26}=-\frac{12}{13}$

$\displaystyle {sin 2 \alpha \ }=\frac{2t}{1+t^2}=-\frac{10}{26}=-\frac{5}{13}$

$\displaystyle 2+12-\frac{13}{5}=12-\frac{3}{5}=11,4$

Ответ: 11,4

10. При температуре $0^\circ$ С рельс имеет длину $l_{0}$ =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot)$ , где $\alpha =1,2\cdot{10}^{-5}$ — коэффициент теплового расширения, $\ t$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

Зависимость $l\left(t\right)=l_0(1+ \alpha \cdot t)$ - это функция длины рельса от температуры. Подставим в эту формулу начальные значения: $l_{0 }$ =10 м и $\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}$ . Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса $\ l\left(t\right)$ стала равной 10 м + 3 мм.

Переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра (1мм=0,001м= ${10}^{-3}$ метра).

$l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3}$ (м)

Получим:
$10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t)$
Это линейное уравнение с одной переменной t. Раскроем скобки в правой части

$10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t$

Находим t:
$\displaystyle t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25.$
При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.

Ответ: 25

11. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120 градусов, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5 градусов. Определите число сторон этого многоугольника.

Решение:

Пусть $A_1$ — наименьший угол многоугольника, $n$ — количество сторон, $d=5{}^\circ$ - разность арифметической прогрессии.

Выведем формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Поставим точку $P$ внутри многоугольника. Разобьем многоугольника на треугольники с общей вершиной $P$ .

Пронумеруем углы, как показано на рисунке.

Сумма углов n треугольников равна $180{}^\circ \cdot n.$ С другой стороны, эта сумма равна $\angle A_1+\angle A_2+\dots +\angle A_n+\angle 1+\angle 2+\dots \angle n.$

Поскольку $\angle 1+\angle 2+\angle 3+\dots +n=360{}^\circ ,$ $\angle A_1+\angle A_2+\dots +A_n+360{}^\circ =180{}^\circ \cdot n.$

Сумма углов выпуклого многоугольника

$S=\angle A_1+\angle A_2+\dots \angle A_n=180{}^\circ \cdot n-360{}^\circ =180{}^\circ (n-2)$

Подставим данные задачи:

$\displaystyle \frac{2a_1+d\left(n-1\right)}{2}\cdot n=S=180\left(n-2\right)$

$\displaystyle \frac{2\cdot 120+5(n-1)}{2}\cdot n=180\left(n-2\right)$

$240n+5n^2-5n=360n-720$

$5n^2-125n+720=0$

$n^2-25n+144=0$

$D={25}^2-4\cdot 144=625-576=49$

$\displaystyle n=\frac{25\pm 7}{2};$
$\left[ \begin{array}{c}n_1=9 \\n_2=16 \end{array}\right.$

Если $n=16,$ $A_{16}=A_1+15d=120+75 \textgreater 180{}^\circ$

Значит, $n=9$

Ответ: 9

12. Найдите наибольшее значение функции $y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x}$ на отрезке $\left[5;11\right]$ .

Решение:

$y$

Приравняем производную к нулю. Так как $e^{10-x}\textgreater 0$ всегда, получим:

$-x^2+10x-10+2x-10=0$

$-x^2+12x-20=0$

$x^2-12x+20=0$

$D=144-80=64$

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2};$

$x_1=10, x_2=2.$

В точке х = 10 производная меняет знак с «+» на «-», значит, х = 10 – точка максимума.

Наибольшее значение функции на данном отрезке $y_{max}=y(10)=10.$

Ответ: 10

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Ольга Чемезова

а) Решите уравнение $2{{log}_3 cos\ x\ }={{log}_3 ({sin}^2x+sinx)\ }$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-4 $\pi$ ; 0]

Решение:

$2{{log}_3 {cos x\ }\ }={{log}_3 \left({{sin}^2 x\ }+{sin x\ }\right)\ }$

а) ОДЗ

$\left\{ \begin{array}{c}{cos x \textgreater 0\ } \\\ {sin x\ }\left({sin x\ }+1\right) \textgreater 0 \end{array}\right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\{\ \begin{array}{c}{cos x\ } \textgreater 0 \\{sin x\ } \textgreater 0 \end{array}\right.$

${{log}_3 {{cos}^2 x\ }\ }={{log}_3 \left({{sin}^2 x\ }+{sin x\ }\right)\ }$

${{cos}^2 x\ }={{sin}^2 x\ }+{sin x\ }$

$1-{{sin}^2 x\ }={{sin}^2 x\ }+{sin x\ }$

$2{{sin}^2 x\ }+{sin x\ }-1=0$

Сделаем замену ${sin x\ }=t, \; 0 \textless t\le 1$

$2t^2+t-1=0$

$D=9;$

$\displaystyle t=\frac{-1\pm 3}{4};$

$\displaystyle t_1=\frac{1}{2};$

$t_2=-1$ — не удовлетворяет условию $0 \textless t\le 1.$

$\displaystyle t=\frac{1}{2}; \left\{ \begin{array}{c}{sin x\ }=\frac{1}{2} \\{sin x\ } \textgreater 0 \\{cos x\ } \textgreater 0 \end{array}\right.\ \Longleftrightarrow \ x=\frac{ \pi }{6}+2 \pi n, n\in Z$
б) Найдем корни на отрезке $\left[-4 \pi ;0\right]$

Это $\displaystyle \frac{ \pi }{6}-2 \pi =-\frac{11 \pi }{6}$ и $\frac{ \pi }{6}-4 \pi =-\frac{23 \pi }{6}$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{ \pi }{6}+2 \pi n,\ n\in Z$ ;

б) $-\displaystyle \frac{23 \pi }{6};$ $\displaystyle -\frac{11 \pi }{6}$

14. Анна Малкова

В правильном тетраэдре SABC точки М и N — центры граней SAC и SBС соответственно.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, М и N, делит ребро SC пополам.

б) Точка О — центр грани АВС. Найдите расстояние от точки О до плоскости АМN, если ребро тетраэдра равно $\sqrt{3}.$

а) $M$ и $N$ — центры граней $\left(ASC\right)$ и $\left(BSC\right)$ . Пусть $E$ и $F$ — середины сторон $AC$ и $BC,$ $M\in SE,$ $N\in SF.$

$MN\parallel EF$ (так как $\triangle SMN\ \sim \ \triangle SEF$ ), по углу и двум сторонам, $EF$ — средняя линия $\triangle ABC,$ значит, $EF\parallel AB$ и $MN\parallel AB$ ; $MN\in (AMN)$ ;

$\left(AMN\right)\cap \left(ABC\right)=l,$ по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $l\parallel MN,$ значит, $B\in l;$
$\left(AMN\right)\cap \left(ABC\right)=AB.$

Пусть $T$ — середина $SC.$ Тогда $AT$ и $BT$ — медианы $\triangle ASC$ и $\triangle BSC;$

$N\in BT,$ $M\in AT,$ значит, $T\in \left(AMN\right).$

б) Найдем расстояние от 0 до плоскости $\left(AMN\right).$

Пусть $H$ — середина $AB,$ $CH$ — медиана $\triangle ABC,$ $O\in CH.$
$HT\cap SO=K.$
Так как $O$ — проекция $K$ на $\left(ABC\right),$ $OH\bot AB,$ то по теореме о трех перпендикулярах $KH\bot AB.$

Тогда плоскость $THC\bot AB.$

В плоскости $THC$ проведем $OL\bot HT.$

$\left. \begin{array}{c}OL\bot HT \\OL\bot AB \end{array}\right\}\Rightarrow OL\bot \left(ABT\right),$ т.е. $OL\bot \left(AMN\right)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим $\triangle THC.$

Пусть $Q$ — проекция $T$ на плоскость $ABC.$

Так как $T$ — середина $SC,$ $\triangle TQC\sim \triangle SOC$ по двум углам, $\displaystyle \frac{QC}{OC}=\frac{TC}{SC}=\frac{1}{2},$ $Q$ — середина $OC.$

Тогда $HO=OQ=QC,$ т.к. $O$ — центр грани $ABC$ $\displaystyle QT=\frac{1}{2}SO,$ $\displaystyle OK=\frac{1}{4}SO.$

$\displaystyle OL\ =\frac{1}{3}\ CT\ =\frac{a}{6}$

Ответ: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}$

15. Решите неравенство:

$\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }} \textless \frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }}$

Решение:
$\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }} \textless \frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }}$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{c}x-1 \textgreater 0 \\x+1\ge 0 \\x-1\ne 1 \\\sqrt{x+1}\ne 1 \end{array}\right.;$

Упростив эту систему, получим:

$\left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 1 \\x\ne 2 \end{array}\right.$

$\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }}-\frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }} \textless 0$

$\displaystyle \frac{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }-{{log}_2 \left(x-1\right)\ }}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }} \textless 0$

По методу замены множителя, множитель ${{log}_h f\ }$ заменяем на $\left(h-1\right)\left(f-1\right).$

${{log}_h f\ }$ - ${{log}_h g\ }$ заменяем на $\left(h-1\right)\left(f-g\right).$

С учетом ОДЗ получим:
$\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)} \textless 0, x \textgreater 1, x\ne 2.$
Сделаем замену: $\sqrt{x+1}=t.$

Если $x \textgreater 1,$ то $t \textgreater \sqrt{2};$

$x\ne 2,$ тогда $t\ne \sqrt{3}.$

$x=t^2-1; x-1=t^2-2.$
Получим:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{t^2-t-2}{\left(t^2-3\right)\left(t-1\right)} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}{\left(t^2-3\right)\left(t-1\right)} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{t-2}{t-\sqrt{3}} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{c}\sqrt{2} \textless t \textless \sqrt{3} \\t \textgreater 2 \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{c}2 \textless \sqrt{x+1} \textless \sqrt{3} \\\sqrt{x+1} \textgreater 2 \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{c}1 \textless x \textless 2 \\x \textgreater 3 \end{array}\right.$
Ответ: $x\in \left(1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

16. Анна Малкова

а) Окружность с центром Р вписана в треугольник АВС. Биссектриса угла А пересекает окружность, описанную вокруг треугольника АВС, в точке М. Докажите, что треугольник СРМ — равнобедренный.

б) В треугольнике АВС угол С — прямой, АВ = 18. Биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность треугольника АВС в точках М и N соответственно. Найдите МN.

Решение:

Пункт (а) — лемма о трезубце.

Дан треугольник АВС, АМ — биссектриса угла А, Р — центр вписанной окружности треугольника АВС, М — точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС.

Докажем, что МВ = МС = МР.

Вписанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны.

Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.

$\angle BAM=\angle CAM$ , поскольку АМ — биссектриса угла ВАС.

Следовательно, $\angle BCM=\angle BAM=\angle CAM=\angle CBM=$ $\alpha$ и треугольник ВМС — равнобедренный, ВМ = СМ.

Точка Р — центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР — биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно.

Пусть $\angle BAC=2 \alpha ,\ \ \angle ABC=2 \beta ,\ \ \angle ACB=2 \gamma .$

Сумма углов треугольника АВС равна 180 ${}^\circ$ , значит, $2 \alpha +2 \beta +2 \gamma =180{}^\circ .$

В треугольнике ВМР: $\angle PMB=\angle ACB=2 \gamma ,$ $\angle PBM= \alpha + \beta$ . Тогда $\angle BPM= \alpha + \beta =\angle PBM$ , треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и М.

б)

$AB=18$
$MN=\ ?$

Про условию, AB=18. Найдем MN.

Согласно лемме о трезубце, $MC=MB$ и $NC=NB.$

Тогда $M$ — середина дуги $BC,$ $N$ — середина дуги $AC.$

Сумма дуг $AC$ и $BC$ равна $180{}^\circ .$ Тогда дуга $\displaystyle \breve{MN}=90{}^\circ =\frac{1}{2}\left(\breve{AC}+\breve{BC}\right)$

$\angle MON=90{}^\circ ;$ $\triangle MON$ — прямоугольный равнобедренный, $MN=OM\sqrt{2}=R\sqrt{2}=9\sqrt{2}.$

17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше 100 миллионов, а за четыре года станет больше 170 миллионов рублей.

Пусть $S$ .миллионов рублей — первоначальные вложения. К началу 2-го года получится $1,2S+20$ миллионов рублей, а к началу 3-го года — $1,2\left(1,2S+20\right)+20=1,44S+44.$ По условию $1,445+44\ \textgreater \ 100,$ откуда $\displaystyle S \textgreater \frac{56}{1,44} \textgreater 38,8.$

К началу 4-го года имеем $1,2(1,44S+44)+10,$ а в конце проекта
$1,2(1,2(1,44S-44)+10)+10-2,0736S+63,36+22-2,0736S+85,36.$
По условию $2,0736S+85,36 \textgreater 170,$ откуда $\displaystyle S \textgreater \frac{84,64}{2,0736} \textgreater 40,8.$

А значит, минимальное возможное целое число, удовлетворяющее условию $S=41.$

Ответ: 41 миллион руб.

18. Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение
$25x^5+25\left(a-1\right)x^3-4(a-7)x=0$
имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Решение:

$25x^5+25\left(a-1\right)x^3-4\left(a-7\right)x=0$

Заметим, что $x=0$ — решение; разделим на $x\ne 0,$ чтобы найти другие корни.
$25x^4+25\left(a-1\right)x^2-4\left(a-7\right)=0$ (*)

Замена $x^2=y,$ $y\ge 0$

$25y^2+25\left(a-1\right)y-4\left(a-7\right)=0.$

Уравнение (*) четно относительно $x$ . Корни исходного уравнения образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрим уравнение

$25y^2+25\left(a-1\right)y-4\left(a-7\right)=0$

Его корни: $y_1=d^2$ (соответствует $x_1=d$ и $x_2=-d$ );

$y_2=4d^2$ (соответствует $x_3=2d$ и $x_4=-2d$ ).

Чтобы уравнение относительно $y$ имело два различных корня, необходимо выполнение условия $D \textgreater 0.$ Применим также теорему Виета.

Получим:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}D \textgreater 0 \\y_1+y_2=5d^2=\frac{25\left(1-a\right)}{25}=1-a \\y_1y_2=4d^2=\frac{4\left(7-a\right)}{25} \end{array}\right.$

Отсюда:

$\left\{ \begin{array}{c}5d^2=1-a \\25d^4=7-a \end{array}\right.; \begin{array}{c}1-a\ge 0 \\7-a\ge 0 \end{array};$

${\left(a-1\right)}^2=7-a$

$a^2-a-6=0$

$\left(a-3\right)\left(a+2\right)=0$

$a=3$ — не удовлетворяет условию $1-a\ge 0$

При $a=-2$ все условия выполнены и $D \textgreater 0.$

Ответ: $a=-2.$

19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Пусть в первом взводе $a$ солдат, во втором $b$ солдат, причем $a\ \textless \ b.$

В каждом ряду $k$ солдат.

Перейдем от строгих неравенств к нестрогим. Это полезный прием при решении таких задач.

$k\ \ge \ 8,$ $a\ \ge \ 51,$ $a\ +\ b\ \le \ 119.$ Тогда $51\ +\ b\ \le \ a\ +\ b\ \le \ 119.$ Отсюда $51\ +\ b\ \ \le \ 119$ и $b\ \le \ 68.$

Получим: $51\ \le \ a\ \textless \ b\ \le \ 68.$

Кроме того, $a\ \vdots k$ и $b\ \vdots k,$ поскольку ни в одном ряду нет солдат из двух разных взводов.

Заметим, что и 51, и 68 делятся на 17.

а) Пусть в каждом ряду 17 солдат, k = 17. Тогда в первом взводе $51\ =\ 17\ \cdot\ 3$ солдат, а во втором $68\ =\ 17\ \ \cdot \ 4$ солдат. Всего в роте равно $51\ +\ 68\ =\ 119\ \textless \ 120$ солдат, все условия выполнены.

б) Предположим, что $k\ =\ 11,$ то есть в каждом ряду 11 солдат.

Тогда $a$ и $b$ делятся на 11, причем $a\ \textless \ b.$ Между числами 51 и 68 заключены ровно два числа, которые делятся на 11. Значит, $a\ =\ 55,$ $b\ =\ 66.$ Но тогда $a\ +\ b\ =\ 121\ \textgreater \ 120.$ Мы получили противоречие с условием, и значит, построить роту по 11 человек в ряд в этих условиях нельзя.

в) Построим роту по k человек в ряд, причем $k\ \ge \ 8.$ Поскольку $a$ и $b$ делятся на $k,$ то и разность $a\ -\ b$ делится на $k.$ Но разность $a\ -\ b\ \le \ 17$ — потому что $51\ \le \ a\ \textless \ b\ \le \ 68.$

Значит, $k\ \le \ 17.$ Нам осталось перебрать варианты от k = 8 до k = 17, учитывая результаты, полученные в пунктах (а) и (б).

1) Если k = 8, то a = 56, b = 64. В роте 56 + 64 = 120 солдат — не подходит по условию задачи.

2) Если k = 9, то a = 54, b = 63, всего в роте 117 солдат — подходит.

3) Случай k = 10 невозможен, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 10.

4) k = 11 — не подходит, и мы доказали это в пункте (б).

5) k = 12 не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 12.

6) k = 13 подходит. Тогда a = 52, b = 65, в роте 52 + 65 = 117 солдат.

7) k = 14 — не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 56, которое делится на 14.

8) k = 15 — не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 15.

9) k = 16 — не подходит, поскольку только одно число a = 64 лежит на отрезке [51; 68].

10) k = 17 подходит, мы показали это в пункте (а).

Значит, k = 9, 13 или 17. В роте может быть 117 или 119 солдат.

Ответ: 117 или 119.

В варианте использованы задачи с сайта РешуЕГЭ, из сборников под редакцией М. И. Сканави, Козко, Парфенова и Чирского, а также авторские задачи.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Вариант 6, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 02.10.2023

Вариант 6, решения

Это полезно