previous arrow
next arrow
Slider

Вариант 6, решения

Видеоразбор варианта 6:

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной дороге равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой как 7 : 9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском.

Найдите расстояние от Москвы до Можайска. Ответ выразите в километрах.

Решение:

По условию, x+y+z=415,\ \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{7}{9}; \displaystyle x=\frac{7}{9}y; \displaystyle \frac{y}{z}=\frac{27}{35}; \displaystyle y=\frac{27}{35}z;

Тогда \displaystyle x=\frac{7}{9}\cdot \frac{27}{35}z=\frac{3}{5}z;
\displaystyle \frac{3}{5}z+\frac{27}{35}z+z=415 \Rightarrow z=35\cdot 5=175,
\displaystyle x=\frac{3}{5}\cdot 175=3\cdot 35=105 км

Ответ: 105

2. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Средняя скорость находится по формуле:

С помощью графика найдем 

Тогда 

Ответ: 50.

3. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ = АС = 25, основание ВС = 14. Найдите расстояние от точки В до стороны АС.

Решение:

Пусть BK\bot AC, AH\bot BC.

Высота BK — расстояние от B до AC:

В \triangle ABH:

BC=7, AB=25, \angle H=90{}^\circ \Rightarrow AH=\sqrt{{25}^2-7^2}=24 по теореме Пифагора,

\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AC\cdot BK,
14\cdot 24=25\cdot BK,
\displaystyle BK=\frac{14\cdot 24}{25}=13,44

Ответ: 13,44

4. Анна Малкова Играя в снежки, Маша попадает в цель с вероятностью 0,8, а Наташа — с вероятностью 0,25. Маша и Наташа одновременно бросили снежки в Василия. С какой вероятностью в Василия попадет хотя бы один снежок?

Решение: Найдем вероятность того, что в Василия не попадет ни один снежок, то есть и Маша промахнулась (вероятность этого события 1 — 0,8 = 0,2), и Наташа независимо от нее промахнулась (вероятность этого события 1 — 0,25 = 0,75). Получим:
0,2\cdot \ 0,65\ =\ 0,15.
Вероятность противоположного события (в Василия попал хотя бы один снежок) равна

1 — 0,15 = 0,85.

Ответ: 0,85

5. Решите уравнение:

x^{{lg x\ }}=1000x^2.

В ответе запишите сумму корней.

Решение:

ОДЗ: x \textgreater 0

Возьмем десятичные логарифмы от обеих частей уравнения:

{lg \left(x^{{lg x\ }}\right)\ }={lg \left(1000x^2\right)\ }

{lg x\ }\cdot {lg x\ }={lg 1000\ }+{lg x^2\ }

{\left({lg x\ }\right)}^2=3+2{lg x\ }

Замена: {lg x\ }=t,

t^2-2t-3=0,

t=3 или t=-1,

\left[ \begin{array}{c}{lg x\ }=3 \\{lg x\ }=-1 \end{array}\right.; \left[ \begin{array}{c}x=1000 \\x=0,1 \end{array}\right.

x_1+x_2=1000,1.

Ответ: 1000,1

6. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.

Решение:

BC=3, P=42

\angle CBD=\angle BDA — накрест лежащие, тогда \triangle ABD — равнобедренный, значит, AB=AD=CD.

Пусть AB=AD=CD=x, BC=3, 3x+3=42, x=13.

Проведем высоты BH и CE; HE=BC=3,

\displaystyle AH=ED=\frac{13-3}{2}=5; из \triangle CED,

\angle E=90{}^\circ , CE=\sqrt{{13}^2-5^2}=12;

\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CE=\frac{3+13}{2}\cdot 12=96.

Ответ: 96

7. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите значение выражения F(7)−F(1), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).

Решение: Согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных F(7)−F(1) функции y=f(x) в точках 7 и 1 равна площади фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми х = 1 и х = 7 и осью Х.

Площадь этой фигуры равна сумме площадей трапеции с основаниями 1 и 2 и высотой 2 и прямоугольника со сторонами 4 и 2.

Получим: F(7)−F(1) = S = S1 + S2 = 3 + 8 = 11.

Ответ: 11

8. Анна Малкова Снеговик собран из трех снежных шаров, поставленных друг на друга, причем их радиусы относятся как 5 : 3 : 2, а высота снеговика равна 1,5 метра. Найдите массу снеговика (в кг). Шары считать идеальными, число \pi принять равным 3,14, плотность снега - равной 400 кг/м³. Ответ округлить до целого числа килограммов, объемом морковки пренебречь.

Решение:

\displaystyle D_1=0,75=\frac{3}{4}

\displaystyle D_2=0,3\cdot 1,5=0,45=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}

\displaystyle D_3=0,2\cdot 1,5=0,3=\frac{3}{10}

\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \frac{ \pi }{8}\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^3+{\left(\frac{9}{20}\right)}^3+{\left(\frac{3}{10}\right)}^3\right)=\frac{4 \pi }{8\cdot 6}\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^3+{\left(\frac{9}{10}\right)}^3+{\left(\frac{3}{5}\right)}^3\right)=

\displaystyle =\frac{ \pi }{48}\cdot \left({\left(\frac{15}{10}\right)}^3+{\left(\frac{9}{10}\right)}^3+{\left(\frac{6}{10}\right)}^3\right)=\frac{ \pi }{48}\cdot \frac{1}{1000}\cdot \left({15}^3+9^3+6^3\right)=

\displaystyle =\frac{ \pi \cdot 3^3}{48\cdot 1000}\cdot \left(125+27+8\right)=\frac{ \pi \cdot 9}{16\cdot 1000}\cdot \left(125+27+8\right)=

\displaystyle =\frac{ \pi \cdot 9}{1000\cdot 16}\cdot 160=\frac{ \pi \cdot 9}{100}.

\displaystyle m=\frac{3,14\cdot 9\cdot 400}{100}=3,14\cdot 36=113,04\approx 113 кг.

Ответ: 113

9. Вычислите: \displaystyle 2-13{cos 2 \alpha \ }+\frac{1}{{sin 2 \alpha \ }}, если tg\ \alpha =-5

Решение:

tg\ \alpha =t=-5;

Согласно формулам универсальной тригонометрической замены,

\displaystyle {cos 2 \alpha \ }=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-25}{1+25}=-\frac{24}{26}=-\frac{12}{13}

\displaystyle {sin 2 \alpha \ }=\frac{2t}{1+t^2}=-\frac{10}{26}=-\frac{5}{13}

\displaystyle 2+12-\frac{13}{5}=12-\frac{3}{5}=11,4

Ответ: 11,4

10. При температуре 0^\circС рельс имеет длину l_{0}=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot), где \alpha =1,2\cdot{10}^{-5} — коэффициент теплового расширения, \ t— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

Зависимость l\left(t\right)=l_0(1+ \alpha \cdot t) - это функция длины рельса от температуры. Подставим в эту формулу начальные значения: l_{0 }=10 м и \alpha =1,2\cdot {10}^{-5}. Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса\ l\left(t\right) стала равной 10 м + 3 мм.

Переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра (1мм=0,001м={10}^{-3} метра).

l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3} (м)

Получим:
10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t)
Это линейное уравнение с одной переменной t. Раскроем скобки в правой части

10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t

Находим t:
\displaystyle t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25.
При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.

Ответ: 25

11. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120 градусов, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5 градусов. Определите число сторон этого многоугольника.

Решение:

Пусть A_1 — наименьший угол многоугольника, n — количество сторон, d=5{}^\circ - разность арифметической прогрессии.

Выведем формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Поставим точку P внутри многоугольника. Разобьем многоугольника на треугольники с общей вершиной P.

Пронумеруем углы, как показано на рисунке.

Сумма углов n треугольников равна 180{}^\circ \cdot n. С другой стороны, эта сумма равна \angle A_1+\angle A_2+\dots +\angle A_n+\angle 1+\angle 2+\dots \angle n.

Поскольку \angle 1+\angle 2+\angle 3+\dots +n=360{}^\circ , \angle A_1+\angle A_2+\dots +A_n+360{}^\circ =180{}^\circ \cdot n.

Сумма углов выпуклого многоугольника

S=\angle A_1+\angle A_2+\dots \angle A_n=180{}^\circ \cdot n-360{}^\circ =180{}^\circ (n-2)

Подставим данные задачи:

\displaystyle \frac{2a_1+d\left(n-1\right)}{2}\cdot n=S=180\left(n-2\right)

\displaystyle \frac{2\cdot 120+5(n-1)}{2}\cdot n=180\left(n-2\right)

240n+5n^2-5n=360n-720

5n^2-125n+720=0

n^2-25n+144=0

D={25}^2-4\cdot 144=625-576=49

\displaystyle n=\frac{25\pm 7}{2};
\left[ \begin{array}{c}n_1=9 \\n_2=16 \end{array}\right.

Если n=16, A_{16}=A_1+15d=120+75 \textgreater 180{}^\circ

Значит, n=9

Ответ: 9

12. Найдите наибольшее значение функции y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x} на отрезке \left[5;11\right].

Решение:

y

Приравняем производную к нулю. Так как e^{10-x}\textgreater 0 всегда, получим:

-x^2+10x-10+2x-10=0

-x^2+12x-20=0

x^2-12x+20=0

D=144-80=64

\displaystyle x_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2};

x_1=10, x_2=2.

В точке х = 10 производная меняет знак с «+» на «-», значит, х = 10 – точка максимума.

Наибольшее значение функции на данном отрезке y_{max}=y(10)=10.

Ответ: 10

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Ольга Чемезова

а) Решите уравнение 2{{log}_3 cos\ x\ }={{log}_3 ({sin}^2x+sinx)\ }

б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-4\pi ; 0]

Решение:

2{{log}_3 {cos x\ }\ }={{log}_3 \left({{sin}^2 x\ }+{sin x\ }\right)\ }

а) ОДЗ

\left\{ \begin{array}{c}{cos x \textgreater 0\ } \\\ {sin x\ }\left({sin x\ }+1\right) \textgreater 0 \end{array}\right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\{\ \begin{array}{c}{cos x\ } \textgreater 0 \\{sin x\ } \textgreater 0 \end{array}\right.

{{log}_3 {{cos}^2 x\ }\ }={{log}_3 \left({{sin}^2 x\ }+{sin x\ }\right)\ }

{{cos}^2 x\ }={{sin}^2 x\ }+{sin x\ }

1-{{sin}^2 x\ }={{sin}^2 x\ }+{sin x\ }

2{{sin}^2 x\ }+{sin x\ }-1=0

Сделаем замену {sin x\ }=t, \; 0 \textless t\le 1

2t^2+t-1=0

D=9;

\displaystyle t=\frac{-1\pm 3}{4};

\displaystyle t_1=\frac{1}{2};

t_2=-1 — не удовлетворяет условию 0 \textless t\le 1.

\displaystyle t=\frac{1}{2}; \left\{ \begin{array}{c}{sin x\ }=\frac{1}{2} \\{sin x\ } \textgreater 0 \\{cos x\ } \textgreater 0 \end{array}\right.\ \Longleftrightarrow \ x=\frac{ \pi }{6}+2 \pi n, n\in Z
б) Найдем корни на отрезке \left[-4 \pi ;0\right]

Это \displaystyle \frac{ \pi }{6}-2 \pi =-\frac{11 \pi }{6} и \frac{ \pi }{6}-4 \pi =-\frac{23 \pi }{6}

Ответ: а) \displaystyle \frac{ \pi }{6}+2 \pi n,\ n\in Z;

б) -\displaystyle \frac{23 \pi }{6}; \displaystyle -\frac{11 \pi }{6}

14. Анна Малкова

В правильном тетраэдре SABC точки М и N — центры граней SAC и SBС соответственно.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, М и N, делит ребро SC пополам.

б) Точка О — центр грани АВС. Найдите расстояние от точки О до плоскости АМN, если ребро тетраэдра равно \sqrt{3}.

а) M и N — центры граней \left(ASC\right) и \left(BSC\right). Пусть E и F — середины сторон AC и BC, M\in SE, N\in SF.

MN\parallel EF (так как \triangle SMN\ \sim \ \triangle SEF), по углу и двум сторонам, EF — средняя линия \triangle ABC, значит, EF\parallel AB и MN\parallel AB; MN\in (AMN);

\left(AMN\right)\cap \left(ABC\right)=l, по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, l\parallel MN, значит, B\in l;
\left(AMN\right)\cap \left(ABC\right)=AB.

Пусть T — середина SC. Тогда AT и BT — медианы \triangle ASC и \triangle BSC;

N\in BT, M\in AT, значит, T\in \left(AMN\right).

б) Найдем расстояние от 0 до плоскости \left(AMN\right).

Пусть H — середина AB, CH — медиана \triangle ABC, O\in CH.
HT\cap SO=K.
Так как O — проекция K на \left(ABC\right), OH\bot AB, то по теореме о трех перпендикулярах KH\bot AB.

Тогда плоскость THC\bot AB.

В плоскости THC проведем OL\bot HT.

\left. \begin{array}{c}OL\bot HT \\OL\bot AB \end{array}\right\}\Rightarrow OL\bot \left(ABT\right), т.е. OL\bot \left(AMN\right) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим \triangle THC.

Пусть Q — проекция T на плоскость ABC.

Так как T — середина SC, \triangle TQC\sim \triangle SOC по двум углам, \displaystyle \frac{QC}{OC}=\frac{TC}{SC}=\frac{1}{2}, Q — середина OC.

Тогда HO=OQ=QC, т.к. O — центр грани ABC \displaystyle QT=\frac{1}{2}SO, \displaystyle OK=\frac{1}{4}SO.

\displaystyle OL\ =\frac{1}{3}\ CT\ =\frac{a}{6}

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}

15. Решите неравенство:

\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }} \textless \frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }}

Решение:
\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }} \textless \frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }}

ОДЗ:

\left\{ \begin{array}{c}x-1 \textgreater 0 \\x+1\ge 0 \\x-1\ne 1 \\\sqrt{x+1}\ne 1 \end{array}\right.;

Упростив эту систему, получим:

\left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 1 \\x\ne 2 \end{array}\right.

\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }}-\frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }} \textless 0

\displaystyle \frac{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }-{{log}_2 \left(x-1\right)\ }}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }} \textless 0

По методу замены множителя, множитель {{log}_h f\ } заменяем на \left(h-1\right)\left(f-1\right).

{{log}_h f\ } - {{log}_h g\ } заменяем на \left(h-1\right)\left(f-g\right).

С учетом ОДЗ получим:
\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)} \textless 0, x \textgreater 1, x\ne 2.
Сделаем замену: \sqrt{x+1}=t.

Если x \textgreater 1, то t \textgreater \sqrt{2};

x\ne 2, тогда t\ne \sqrt{3}.

x=t^2-1; x-1=t^2-2.
Получим:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{t^2-t-2}{\left(t^2-3\right)\left(t-1\right)} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}{\left(t^2-3\right)\left(t-1\right)} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{t-2}{t-\sqrt{3}} \textgreater 0 \\t \textgreater \sqrt{2} \end{array}\\t\ne \sqrt{3} \end{array}\right.

\left[ \begin{array}{c}\sqrt{2} \textless t \textless \sqrt{3} \\t \textgreater 2 \end{array}\right.

\left[ \begin{array}{c}2 \textless \sqrt{x+1} \textless \sqrt{3} \\\sqrt{x+1} \textgreater 2 \end{array}\right.

\left[ \begin{array}{c}1 \textless x \textless 2 \\x \textgreater 3 \end{array}\right.
Ответ: x\in \left(1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)

16. Анна Малкова

а) Окружность с центром Р вписана в треугольник АВС. Биссектриса угла А пересекает окружность, описанную вокруг треугольника АВС, в точке М. Докажите, что треугольник СРМ — равнобедренный.

б) В треугольнике АВС угол С — прямой, АВ = 18. Биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность треугольника АВС в точках М и N соответственно. Найдите МN.

Решение:

Пункт (а) — лемма о трезубце.

Дан треугольник АВС, АМ — биссектриса угла А, Р — центр вписанной окружности треугольника АВС, М — точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС.

Докажем, что МВ = МС = МР.

Вписанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны.

Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.

\angle BAM=\angle CAM, поскольку АМ — биссектриса угла ВАС.

Следовательно, \angle BCM=\angle BAM=\angle CAM=\angle CBM= \alpha и треугольник ВМС — равнобедренный, ВМ = СМ.

Точка Р — центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР — биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно.

Пусть \angle BAC=2 \alpha ,\ \ \angle ABC=2 \beta ,\ \ \angle ACB=2 \gamma .

Сумма углов треугольника АВС равна 180{}^\circ, значит, 2 \alpha +2 \beta +2 \gamma =180{}^\circ .

В треугольнике ВМР: \angle PMB=\angle ACB=2 \gamma , \angle PBM= \alpha + \beta . Тогда \angle BPM= \alpha + \beta =\angle PBM, треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и М.

б)

AB=18
MN=\ ?

Про условию, AB=18. Найдем MN.

Согласно лемме о трезубце, MC=MB и NC=NB.

Тогда M — середина дуги BC, N — середина дуги AC.

Сумма дуг AC и BC равна 180{}^\circ . Тогда дуга \displaystyle \breve{MN}=90{}^\circ =\frac{1}{2}\left(\breve{AC}+\breve{BC}\right)

\angle MON=90{}^\circ ; \triangle MON — прямоугольный равнобедренный, MN=OM\sqrt{2}=R\sqrt{2}=9\sqrt{2}.

17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше 100 миллионов, а за четыре года станет больше 170 миллионов рублей.

Пусть S.миллионов рублей — первоначальные вложения. К началу 2-го года получится 1,2S+20 миллионов рублей, а к началу 3-го года — 1,2\left(1,2S+20\right)+20=1,44S+44. По условию 1,445+44\ \textgreater \ 100, откуда \displaystyle S \textgreater \frac{56}{1,44} \textgreater 38,8.

К началу 4-го года имеем 1,2(1,44S+44)+10, а в конце проекта
1,2(1,2(1,44S-44)+10)+10-2,0736S+63,36+22-2,0736S+85,36.
По условию 2,0736S+85,36 \textgreater 170, откуда \displaystyle S \textgreater \frac{84,64}{2,0736} \textgreater 40,8.

А значит, минимальное возможное целое число, удовлетворяющее условию S=41.

Ответ: 41 миллион руб.

18. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
25x^5+25\left(a-1\right)x^3-4(a-7)x=0
имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Решение:

25x^5+25\left(a-1\right)x^3-4\left(a-7\right)x=0

Заметим, что x=0 — решение; разделим на x\ne 0, чтобы найти другие корни.
25x^4+25\left(a-1\right)x^2-4\left(a-7\right)=0 (*)

Замена x^2=y, y\ge 0

25y^2+25\left(a-1\right)y-4\left(a-7\right)=0.

Уравнение (*) четно относительно x. Корни исходного уравнения образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрим уравнение

25y^2+25\left(a-1\right)y-4\left(a-7\right)=0

Его корни: y_1=d^2 (соответствует x_1=d и x_2=-d);

y_2=4d^2 (соответствует x_3=2d и x_4=-2d).

Чтобы уравнение относительно y имело два различных корня, необходимо выполнение условия D \textgreater 0. Применим также теорему Виета.

Получим:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}D \textgreater 0 \\y_1+y_2=5d^2=\frac{25\left(1-a\right)}{25}=1-a \\y_1y_2=4d^2=\frac{4\left(7-a\right)}{25} \end{array}\right.

Отсюда:

\left\{ \begin{array}{c}5d^2=1-a \\25d^4=7-a \end{array}\right.; \begin{array}{c}1-a\ge 0 \\7-a\ge 0 \end{array};

{\left(a-1\right)}^2=7-a

a^2-a-6=0

\left(a-3\right)\left(a+2\right)=0

a=3 — не удовлетворяет условию 1-a\ge 0

При a=-2 все условия выполнены и D \textgreater 0.

Ответ: a=-2.

19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Пусть в первом взводе a солдат, во втором b солдат, причем a\ \textless \ b.

В каждом ряду k солдат.

Перейдем от строгих неравенств к нестрогим. Это полезный прием при решении таких задач.

k\ \ge \ 8, a\ \ge \ 51, a\ +\ b\ \le \ 119. Тогда 51\ +\ b\ \le \ a\ +\ b\ \le \ 119. Отсюда 51\ +\ b\ \ \le \ 119 и b\ \le \ 68.

Получим: 51\ \le \ a\ \textless \ b\ \le \ 68.

Кроме того, a\ \vdots k и b\ \vdots k, поскольку ни в одном ряду нет солдат из двух разных взводов.

Заметим, что и 51, и 68 делятся на 17.

а) Пусть в каждом ряду 17 солдат, k = 17. Тогда в первом взводе 51\ =\ 17\ \cdot\ 3 солдат, а во втором 68\ =\ 17\ \ \cdot \ 4 солдат. Всего в роте равно 51\ +\ 68\ =\ 119\ \textless \ 120 солдат, все условия выполнены.

б) Предположим, что k\ =\ 11, то есть в каждом ряду 11 солдат.

Тогда a и b делятся на 11, причем a\ \textless \ b. Между числами 51 и 68 заключены ровно два числа, которые делятся на 11. Значит, a\ =\ 55, b\ =\ 66. Но тогда a\ +\ b\ =\ 121\ \textgreater \ 120. Мы получили противоречие с условием, и значит, построить роту по 11 человек в ряд в этих условиях нельзя.

в) Построим роту по k человек в ряд, причем k\ \ge \ 8. Поскольку a и b делятся на k, то и разность a\ -\ b делится на k. Но разность a\ -\ b\ \le \ 17 — потому что 51\ \le \ a\ \textless \ b\ \le \ 68.

Значит, k\ \le \ 17. Нам осталось перебрать варианты от k = 8 до k = 17, учитывая результаты, полученные в пунктах (а) и (б).

1) Если k = 8, то a = 56, b = 64. В роте 56 + 64 = 120 солдат — не подходит по условию задачи.

2) Если k = 9, то a = 54, b = 63, всего в роте 117 солдат — подходит.

3) Случай k = 10 невозможен, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 10.

4) k = 11 — не подходит, и мы доказали это в пункте (б).

5) k = 12 не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 12.

6) k = 13 подходит. Тогда a = 52, b = 65, в роте 52 + 65 = 117 солдат.

7) k = 14 — не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 56, которое делится на 14.

8) k = 15 — не подходит, так как между числами 51 и 68 найдется только одно число a = 60, которое делится на 15.

9) k = 16 — не подходит, поскольку только одно число a = 64 лежит на отрезке [51; 68].

10) k = 17 подходит, мы показали это в пункте (а).

Значит, k = 9, 13 или 17. В роте может быть 117 или 119 солдат.

Ответ: 117 или 119.

В варианте использованы задачи с сайта РешуЕГЭ, из сборников под редакцией М. И. Сканави, Козко, Парфенова и Чирского, а также авторские задачи.