Видеоразбор варианта 7:
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шел без остановок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд вышел ему навстречу из Санкт-Петербурга в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?
Решение:
Пусть за час до встречи расстояние между поездами равно х.
За час первый поезд пройдет 60 км, а второй 40, и они встретятся. Тогда х = 60 + 40 км = 100 км.
Ответ: 100 км
2. На диаграмме показано среднемесячное количество осадков в Санкт-Петербурге за каждый месяц (усредненные данные, собранные за последние три года).
Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда количество осадков превышало 10 мм.
Решение:
Количество осадков превышало 10 мм в июне, июле, августе и сентябре, 4 месяца.
Ответ: 4
3. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \cdot 1\) изображен квадрат АВСD. Найдите площадь S вписанного в него круга. В ответ запишите \(\displaystyle \frac{S}{ \pi }.\)
Решение:
Диаметр круга равен стороне квадрата.
\(AB^2=1^2+3^2=10;\)
\(D=AB=\sqrt{10},\)
\(\displaystyle \frac{S}{ \pi }=\frac{10}{4}=2,5\)
Ответ: 2,5
4. Анна Малкова
Студентка Маша учится в МГУ. Если утром светит солнце, Маша посещает первую лекцию с вероятностью 0,7. Если в момент пробуждения Маши пасмурно, то с вероятностью 0,8 Маша снова засыпает и пропускает первую лекцию.
Утром 1 апреля вероятность солнечной погоды в Москве оценивается в 25%.
С какой вероятностью Маша будет присутствовать 1 апреля на первой лекции?
Решение:
Нарисуем «дерево» возможных исходов.
Вероятность присутствия Маши на первой лекции 1 апреля равна
\(p=0,25\cdot 0,7+0,75\cdot 0,2=0,175+0,15=0,325\)
Ответ: 0,325
5. Решите уравнение \({{log}_2 \sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=3\ }.\)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.
Решение:
\({{log}_2 \sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=3\ }\)
ОДЗ:
\(x\ne 1\)
Так как \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|,\)
\(\sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=\left|1-x\right|=\left|x-1\right|\)
\({{log}_2 \left|x-1\right|=3;\ }\)
\(\left|x-1\right|=2^3;\)
\(\left|x-1\right|=8;\)
\(x=9\) или \(x=-7.\)
Больший корень: \(x=9.\)
Ответ: 9
6. Анна Малкова
Точки D, Е, F лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС так, что АD : BD = 2 : 1, FD || BC и DE || AC. Площадь четырехугольника CFDE равна 4. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение:
\(\triangle AFD\sim \triangle DEB\sim \triangle ACB\)
Пусть \(AD=2x,\) \(DB=x,\) \(\angle ACB=\angle AFD=\angle DEB= \varphi \)
\(DE=z, AF=2z, BE=y, FD=2y.\)
Тогда \(S_{CFDE}=2yz{sin \varphi \ }\)
\(\displaystyle S_{\triangle AFD}=\frac{1}{2}\cdot 4zy{sin \varphi \ }=2yz{sin \varphi =4\ }\)
(по условию)
\(\triangle AFD\sim \triangle DEB; \; k=2;\)
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle DEB}}=4,\; S_{\triangle DEB}=1,\; S_{\triangle ABC}=4+4+1=9.\)
Ответ: 9
7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции f(x) в точке \(x_0.\)
Решение:
Производная функции f(x) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке \(x_0\) к графику функции.
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
\(\displaystyle f'(x_0)=tg \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{2}{8}=0,25\)
Ответ: 0,25
8. В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) известно, что \(AB=\sqrt{3}AA_1.\) Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(CC_1.\) Ответ дайте в градусах.
Решение:
Прямые \(AB_1\) и \(CC_1\) — скрещивающиеся.
Так как \(BB_1\) параллельна \(CC_1,\) угол между \(AB_1\) и \(CC_1\) равен углу между прямыми \(AB_1\) и \(BB_1,\) то есть углу \(BB_1A.\)
Найдем его из прямоугольного треугольника \(BB_1A.\)
\(\displaystyle tg\ \widehat{BB_1A}=\frac{AB}{BB_1}=\frac{AB}{AA_1}=\frac{\sqrt{3}AA_1}{AA_1}=\sqrt{3}.\)
Угол \(BB_1A\) равен 60 градусов.
Ответ: 60
9. Ольга Чемезова
Вычислите:
\(\displaystyle 5^{\frac{1}{{{log}_{11} 5\ }}}+\left({{log}_7 16\ }-{{log}_7 2\ }\right)\cdot {{log}_2 7\ }\)
Решение:
\(\displaystyle 5^{\frac{1}{{{log}_{11} 5\ }}}+\left({{log}_7 16\ }-{{log}_7 2\ }\right)\cdot {{log}_2 7\ }=5^{{{log}_5 11\ }}+{{log}_7 \frac{16}{2}\ }\cdot {{log}_2 7\ }=\)
\(=11+{{log}_7 8\ }\cdot {{log}_2 7\ }=11+{{log}_7 2^3\ }\cdot {{log}_2 7\ }=\)
\(=11+3\cdot {{log}_7 2\ }\cdot {{log}_2 7\ }=11+3=14\)
Ответ: 14
10. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(\displaystyle P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right),\) где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ выразите в м/с.
Решение:
\(\displaystyle P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right) \geq 0;\)
\(\displaystyle \frac{v^2}{L}-g \geq 0;\)
\(g=10\) м/с²;
\(l=0,441\) м
\(v^2 \geq Lg, \; v^2 \geq 4,41\)
\(\left(v-2,1\right)\left(v+2,1\right) \geq 0\)
\(v \geq 2,1; \; v_{min}=2,1.\)
Ответ: 2,1
11. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найдите скорость катера, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. Ответ выразите в км/ч.
Обозначим через х км/час скорость катера в стоячей воде, а через у км/час скорость течения, тогда имеем систему
\(\left\{ \begin{array}{c}
\frac{96}{x+y}+\frac{96}{x-y}=14 \\
\frac{24}{y}=\frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y} \end{array}
\right.\)
Пусть \(x=zy,\) тогда второе уравнение системы примет вид
\(\displaystyle \frac{24}{y}=\frac{96}{y\left(z+1\right)}+\frac{72}{y\left(z-1\right)}\)
Отсюда
\(z^2-7z=0.\)
Так как \(z\ne 0,\) то \(z=7.\) Поэтому \(x=7y.\) Подставив \(x=7y\) в первое уравнение системы, находим
\(\displaystyle \frac{96}{8y}+\frac{96}{6y}=14.\)
Ответ: 14
12. Найдите точку минимума функции \(\displaystyle y=-\frac{x}{x^2+676}.\)
Решение:
\(\displaystyle y=-\frac{x}{x^2+676};\)
По формуле производной частного двух функций,
\(\displaystyle {\left(\frac{u}{v}\right)}'=\frac{u'v-v'u}{v^2};\)
\(\displaystyle y'(x)=-\frac{\left(x^2+676-2x^2\right)}{{\left(x^2+676\right)}^2};\)
\(y'(x)=0;\)
\(x^2-676=0;\)
\(x=\pm 26\)
\(x=26\) — точка минимума, т.к. \(y'(x)\) меняет знак с «-» на «+».
Ответ: 26
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Анна Малкова
\(\displaystyle 4{{sin}^2 \left(x-\frac{ \pi }{12}\right)+4{{cos}^2 \left(x+\frac{ \pi }{12}\right)+\sqrt{3}\ }=4\ }\)
а) Решить уравнение
б) Найти все корни уравнения на отрезке \(\left[3 \pi ;4 \pi \right].\)
Решение:
Применим формулы понижения степени:
\(\displaystyle 2\cdot \left(1-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)+1+{cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)}}\right)+\sqrt{3}=4\)
\(\displaystyle 4+2\left({cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)}}\right)+\sqrt{3}=4\)
\(\displaystyle {cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)}-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Получим:
\(\displaystyle -2{sin 2x\ }{sin \frac{ \pi }{6}\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle {sin 2x\ }=\frac{\sqrt{3}}{2};\)
\(\left[ \begin{array}{c}
2x=\frac{ \pi }{3}+2 \pi k,\ \ k\in Z \\
2x=\frac{2 \pi }{3}+2 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}
\right.\)
а) \(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{ \pi }{6}+ \pi k,\ \ k\in Z \\
x=\frac{ \pi }{3}+ \pi k,\ \ k\in Z \end{array}
\right.\)
б)
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \([3\pi; 4\pi]\) и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(x_1\) и \(x_2\).
\(\displaystyle x_1=3 \pi +\frac{ \pi }{6}=\frac{19 \pi }{6}\)
\(\displaystyle x_2=3 \pi +\frac{ \pi }{3}=\frac{10 \pi }{3}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{19 \pi }{6},\ \frac{10 \pi }{3}.\)
14. Ирина Юдина Восьмигранник \({SABCDS}_{1 }\)(бипирамида) состоит из двух равных правильных четырехугольных пирамид с общим основанием ABCD, причем S и \({S}_{1}\) — нижняя и верхняя вершины соответственно.
Плоскость \( \alpha \) проходит через середины отрезков \(AS_1,\; CS\) и \(AB.\)
а) Докажите, что сечение бипирамиды плоскостью \( \alpha \) имеет более двух пар параллельных сторон.
б) Найдите площадь сечения, если \(SS_1=26,\) \(\ AD=5\sqrt{2}.\)
Решение:
\(MP\) — средняя линия \(\triangle ABS_1,\ MP\parallel BS_1,\) тогда \(MP\parallel \left(S_1BD\right),\) по признаку параллельности прямой и плоскости.
\(S_1BSD\) — ромб (все стороны равны), значит, \(MP\parallel SD\Rightarrow MP\parallel \left(SDC\right).\) Пусть \( \alpha \cap \left(SDC\right)=NT,\) по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \(NT\parallel SD,\) тогда \(NT\) — средняя линия \(\triangle SDC,\) \(T\) — середина \(CD.\)
\( \alpha \cap \left(ABC\right)=PT, \; PT\parallel AD, \; PT\parallel BC.\)
Пусть \( \alpha \cap \left(S_1AD\right)=MK;\)
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \(MK\parallel AD,\) тогда \(K\) — середина \(S_1D.\)
Аналогично, \( \alpha \cap SB=F,\) \(F\) — середина \(SB;\)
\( \alpha \cap \left(SBC\right)=NF.\)
Сечение - шестиугольник \(MKTNFP,\) \(MK\parallel NF,\) \(KT\parallel PF,\) \(MP\parallel TN.\)
б) Найдем \(S_{MKTNFP}.\)
\(\displaystyle FN=MK=\frac{1}{2}AD=\frac{5\sqrt{2}}{2},\)
\(PT=BC=5\sqrt{2},\)
\(\displaystyle MP=KT=PF=TN=\frac{1}{2}AS_1.\)
Найдем боковое ребро:
\(\triangle S_1CO;\)
\(S_1C=\sqrt{OS^2_1+OC^2}=\sqrt{194}\)
\(\displaystyle MP=KT=PF=TN=\frac{\sqrt{194}}{2}\)
Трапеция \(PMKT:\)
Высота \(\displaystyle KH=\sqrt{KT^2-HT^2}=\sqrt{\frac{194}{4}-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{194}{4}-\frac{25}{8}}=\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{363}{8}}=\frac{11\sqrt{6}}{4}\)
\(\displaystyle S_{MKTNFP}=(PT+FN)\cdot KH=\frac{165\sqrt{3}}{4}.\)
(Две площади трапеции \(PMKT\))
15. Решите неравенство:
\(\displaystyle {{log}_7 \left(\left(5^{-x^2}-5\right)\left(5^{-x^2+16}-1\right)\right)+{{log}_7 \frac{5^{-x^2}-5}{5^{-x^2+16}-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13-x^2}-4\right)}^2.\ }\ }\)
Решение:
\(\displaystyle {{log}_7 \left(5^{-x^2}-5\right)\cdot \left(5^{-x^2-16}-1\right)+{{log}_7 \frac{5^{-x^2}-5}{5^{-x^2+16}-1} \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13-x^2}-4\right)}^2\ }\ }\ }\)
Замена: \(5^{-x^2}\)\(=t,\)
\(x^2 \geq 0\Rightarrow -x^2 \leq 0\Rightarrow 5^{-x^2} \leq 5^0;\)
\(0 \textless 5^{-x^2} \leq 1\Rightarrow 0 \textless t \leq 1\)
Получим:
\(\displaystyle {{log}_7 \left(\left(t-5\right)\left(5^{16}t-1\right)\right)\ }+{{log}_7 \frac{t-5}{5^{16}t-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13}t-4\right)}^2\ }\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left(t-5\right)\left(5^{16}t-1\right) \textgreater 0 \\
5^{13}t-4\ne 0 \\
{{log}_7 \frac{{\left(t-5\right)}^2\left(5^{16}t-1\right)}{5^{16}t-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13}t-4\right)}^2\ } \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
5^{16}\left(t-5\right)\left(t-\frac{1}{5^{16}}\right) \textgreater 0 \\
t-\frac{4}{5^{13}}\ne 0 \\
{\left(t-5\right)}^2 \textgreater {\left(5^{13}t-4\right)}^2 \end{array}
\right.\)
Функция \(y={{log}_7 t\ }\) - монотонно возрастающая, и если \({{log}_7 t_1\ } \textgreater {{log}_7 t_2\ },\) то \(t_1 \textgreater t_2.\)
С учетом условия, \(0 \textless t \leq 1\) получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
0 \textless t \leq 1 \\
t-\frac{1}{5^{16}} \textless 0 \\
t\ne \frac{4}{5^{13}\ } \\
{\left(t-5\right)}^2-\left(5^{13}t-4\right) \textgreater 0 \end{array}
\ \Leftrightarrow \ \ \right.\left\{ \begin{array}{c}
0 \textless t \leq 1 \\
t \textless \frac{1}{5^{16}} \\
t\ne \frac{4}{5^{13}\ } \\
(t-5-5^{13}t+4)\left(t-5+5^{13}t-4\right) \textgreater 0 \end{array}
\ \ \right.\)
Сравним \(\displaystyle \frac{1}{5^{16}}\bigvee{\frac{4}{5^{13}}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{5^3} \textless 4\Rightarrow \frac{1}{5^{16}} \textless \frac{4}{5^{13}}\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\
\left(t\left(1-5^{13}\right)-1\right)\left(t\left(1+5^{13}\right)-9\right) \textgreater 0 \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\
\left(t+\frac{1}{5^{13}-1}\right)\left(t-\frac{9}{5^{13}+1}\right) \textless 0 \end{array}
\ \Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{array}{c}
0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\
t \textless \frac{9}{5^{13}+1} \end{array}
\ ;\right.\)
Так как \(\displaystyle \frac{1}{5^{16}} \textless \frac{9}{5^{13}+1},\)
\(0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}};\)
\(5^{-x^2} \textless 5^{-16};\)
\(x^2 \textgreater 16, \left(x-4\right)\left(x+4\right) \textgreater 0;\)
\(x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup (4;+\infty )\)
16. Ирина Юдина Две окружности \( \omega_1\) и \( \omega_2\) радиуса 32 с центрами P и Q, пересекаясь, делят отрезок PQ на три равные части. а) Докажите, что центр О окружности \( \omega ,\) касающейся внутренним образом обеих окружностей и отрезка PQ, лежит на общей хорде окружностей \( \omega_1\) и \( \omega_2.\)
б) Найти радиус окружности \( \omega .\)
Решение:
По условию, \(R=R_1=R_2=32\)
Пусть \(PA=AB=BQ=x\)
Тогда \(PA=32-x,\) \(32-x=x,\) \(x=16,\) \(PQ=3x=48.\)
\(E\) и \(F\) — точки касания, \(r=OF=OE \) — радиус окружности \( \omega .\)
\(OQ=R-r, OP=R-r.\)
Пусть \(H\) — точка касания \( \omega \) и \(AB;\)
\(OH\bot AB,\) \(\triangle OPQ\) равнобедренный; \(H\) — середина \(AB.\) (т.к. \(OH\) — высота и медиана \(\triangle OPQ\)).
С другой стороны, \(MN\bot PQ\) (т.к. \(MPNQ\) — ромб, \(MN\) и \(PQ\) — его диагонали), \(H=MN\cap PQ,\) \(O\in MN,\) что и требовалось доказать.
б) Найдем \(r\) — радиус окружности \( \omega .\) \(PF=PB=2x=32,\)
Рассмотрим \(\triangle OPH;\) \(OP=PF-OF=32-r,\) \(\angle H=90{}^\circ .\) \(OH=r,\) \(\displaystyle PA=\frac{3x}{2}=24\)
По теореме Пифагора:
\(OP^2=PH^2+OH^2;\)
\({\left(32-r\right)}^2={24}^2+r^2;\)
\({32}^2-64r+r^2={24}^2+r^2\)
\(64r=\left(32-24\right)\left(32+24\right)=8\cdot 56;\)
\(r=7\)
Ответ: 7
17. Анна Малкова 1 марта 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов в конце каждого года, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.
Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу, причем в некоторые годы он добавлял деньги на счет после начисления процентов, а в некоторые — снимал со счета после начисления процентов.
В марте 2021 года перед очередным начислением процентов на счете Антона было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим \(S_1\) — сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а \(S_2\) — сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между \(S_1\) и \(S_2.\)
Решение:
Пусть \(S\) — первоначальный размер вклада, \(x\) — сумма, на которую ежегодно увеличивается вклад,
\(\displaystyle x=\frac{300-100}{20}=10\) тыс. руб.,
\(S=100\) тыс. руб.
\(k=1+\frac{r}{100}\) – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма вклада после начисления процентов.
Схема роста вклада:
«Пополнение» вклада (могут быть положительны или отрицательны)
\(z_1=S+x-kS\)
\(z_2=S+2x-k\left(S+x\right)\)
\(z_3=S+3x-k\left(S+2x\right)\)
\(\vdots \)
\(z_{20}=S+20x-k\left(S+19x\right)\)
\(\displaystyle k=1+\frac{r}{100}\)
Общая сумма «пополнений»:
\(P=20S+x\left(1+2+3+\dots +20\right)-\)
\(-k\left(20S+x\left(1+2+3+\dots +19\right)\right)=\)
\(=20S+210x-20kS-190x=20S\left(k-1\right)+\)
\(\displaystyle +210x-190x-190x\cdot \frac{r}{100}=\)
\(\displaystyle =20x-190x\cdot \frac{r}{100}-20S\cdot \frac{r}{100},\)
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
\(\displaystyle 1+2+3\dots 20=\frac{1+20}{2}\cdot 20=210\)
\(\displaystyle 1+2+3\dots +19=\frac{1+19}{2}\cdot 19=190\)
\(\displaystyle P=200-\frac{1900\cdot 5}{100}-\frac{20\cdot 100\cdot 5}{100}=5\) (тыс. руб).
Ответ: 5 тыс. рублей.
18. Анна Малкова При каких значениях параметра \(b\) уравнение
\(x-1=(arcsin\ x\ +\ b)^2\)
имеет решения?
Решение:
\(x-1={\left({arcsin x\ }+b\right)}^2\)
Замена: \({arcsin x\ }=y;\) тогда
\(\left\{ \begin{array}{c}
y={arcsin x\ } \\
x-1={\left(y+b\right)}^2 \end{array}
\right.\)
\(x\in [-1;1]\) – область определения арксинуса,
\(\displaystyle y\in \left[-\frac{ \pi }{2};\frac{ \pi }{2}\right]\) – область значений арксинуса.
Решим систему методом оценки
\(\left\{ \begin{array}{c}
x={sin y\ } \\
-\frac{ \pi }{2} \leq y \leq \frac{ \pi }{2} \\
x={\left(y+b\right)}^2+1 \end{array}
\right.\)
Так как
\(-1 \leq {sin y \leq 1\ }\)
\({\left(y+b\right)}^2+1 \geq 1\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
{sin y=1\ } \\
{\left(y+b\right)}^2+1=1 \\
-\frac{ \pi }{2} \leq y \leq \frac{ \pi }{2} \end{array}
\right.;\) \(\left\{ \begin{array}{c}
y=\frac{ \pi }{2} \\
b=-\frac{ \pi }{2} \end{array}
\right.\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{ \pi }{2}\)
19. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили разное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
Пусть x юношей отправили девушкам по 4 письма и y юношей отправили по 21 письму.
В группе поровну юношей и девушек. Значит, x + y = n — количество девушек.
Количество отправленных (и полученных девушками) писем р = 4x + 21y.
а) Да, могло. Пусть каждая девушка получила по 7 писем. Тогда 4x + 21y = 7(x + y),
3x = 14 y. Возьмем x = 14 и y = 3. Тогда в группе n = 14 + 3 = 17 девушек, и они получили \(17\cdot \ 7\ =\ 119\) писем.
\(14\cdot \ 4\ +\ 21\cdot 3\ =\ 17\cdot \ 7,\) каждая из 17 девушек получила ровно 7 писем.
б) Пусть каждая девушка получила k писем: 4x + 21y = kn. Подставив в это уравнение
x = n — y, получим 17y = (k — 4)n.
Это значит, что (k — 4)n делится на 17.
Предположим, что k — 4 делится на 17. Тогда \(k-4 \geq 17\) и \(k \geq 21.\) С другой стороны,
\(\displaystyle k=\frac{4x+21y}{n}=\frac{4x+21y}{x+y}=\frac{21x+21y}{x+y}- \frac{17x}{x+y},\; k\ \textless 21.\)
Мы выделили в выражении для k целую часть. Очевидно, х \( \textgreater \) 0, так как как по условию \(x \geq 2.\ \)
Значит, k — 4 не делится на 17. Тогда n делится на 17 и потому \(n \geq 17.\) Мы оценили n.
Пример для n = 17 приведен в пункте (а). Следовательно, наименьшее возможное количество девушек равно 17.
в) Пусть девушки получили \(k_1,\; k_2,\; \dots ,\; k_n\) писем (считаем, что \(k_1 \textless k_2 \textless \dots \textless k_n).\) Тогда \(k_1 \geq 0,\; k_2 \geq 1,\; \dots ,\; k_n \geq n-1.\) Общее количество писем:
\(\displaystyle p=k_1+k_2+\dots +k_n \geq 1+2+\dots +\left(n-1\right)=\frac{n(n-1)}{2}. \)
Мы нашли p как сумму n — 1 членов арифметической прогрессии.
С другой стороны,
\(p=4x+21y=4x+21\left(n-x\right)=21n-17x.\) Поскольку \(x \geq 2,\ \)
\(p\ \leq 21n-17\cdot 2.\)
\(p\ \leq 21n-34.\)
Получаем неравенство для n:
\(\displaystyle \frac{n\left(n-1\right)}{2} \leq 21n-34\)
\(n^2-43n+68 \leq 0\)
\(\displaystyle \frac{43-\sqrt{1577}}{2} \leq n \leq \frac{43+\sqrt{1577}}{2}\)
Это значит, что \(\displaystyle n \textless \frac{43+\sqrt{1600}}{2},\ \)то есть \(n \leq 41.\)
Приведем пример, когда n = 41. Пусть x = 2, y = 39,
число отправленных писем \(p=4\cdot 2+21\cdot 39=827.\)
Пусть первая девушка не получила ни одного письма, вторая получила одно письмо, \(\dots ,\) 40-я получила 39 писем и 41-я получила 47 писем.
Это значит, что \(k_1=0,\ k_2=1,\dots ,\ k_{40}=39,\ k_{41}=47;\) их сумма
\(k_1+k_2+\dots +k_n=1+\dots +39+47=827.\)
