Вариант 7, решения

Видеоразбор варианта 7:

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шел без остановок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд вышел ему навстречу из Санкт-Петербурга в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?

Решение:

Пусть за час до встречи расстояние между поездами равно х.

За час первый поезд пройдет 60 км, а второй 40, и они встретятся. Тогда х = 60 + 40 км = 100 км.

Ответ: 100 км

2. На диаграмме показано среднемесячное количество осадков в Санкт-Петербурге за каждый месяц (усредненные данные, собранные за последние три года).

Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда количество осадков превышало 10 мм.

Решение:

Количество осадков превышало 10 мм в июне, июле, августе и сентябре, 4 месяца.

Ответ: 4

3. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \cdot 1$ изображен квадрат АВСD. Найдите площадь S вписанного в него круга. В ответ запишите $\displaystyle \frac{S}{ \pi }.$

Решение:

Диаметр круга равен стороне квадрата.

$AB^2=1^2+3^2=10;$

$D=AB=\sqrt{10},$

$\displaystyle \frac{S}{ \pi }=\frac{10}{4}=2,5$

Ответ: 2,5

4. Анна Малкова

Студентка Маша учится в МГУ. Если утром светит солнце, Маша посещает первую лекцию с вероятностью 0,7. Если в момент пробуждения Маши пасмурно, то с вероятностью 0,8 Маша снова засыпает и пропускает первую лекцию.

Утром 1 апреля вероятность солнечной погоды в Москве оценивается в 25%.

С какой вероятностью Маша будет присутствовать 1 апреля на первой лекции?

Решение:

Нарисуем «дерево» возможных исходов.

Вероятность присутствия Маши на первой лекции 1 апреля равна

$p=0,25\cdot 0,7+0,75\cdot 0,2=0,175+0,15=0,325$

Ответ: 0,325

5. Решите уравнение ${{log}_2 \sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=3\ }.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.

Решение:

${{log}_2 \sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=3\ }$

ОДЗ:

$x\ne 1$

Так как $\sqrt{a^2}=\left|a\right|,$

$\sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=\left|1-x\right|=\left|x-1\right|$

${{log}_2 \left|x-1\right|=3;\ }$

$\left|x-1\right|=2^3;$

$\left|x-1\right|=8;$

$x=9$ или $x=-7.$

Больший корень: $x=9.$

Ответ: 9

6. Анна Малкова

Точки D, Е, F лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС так, что АD : BD = 2 : 1, FD || BC и DE || AC. Площадь четырехугольника CFDE равна 4. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

$\triangle AFD\sim \triangle DEB\sim \triangle ACB$

Пусть $AD=2x,$ $DB=x,$ $\angle ACB=\angle AFD=\angle DEB= \varphi$

$DE=z, AF=2z, BE=y, FD=2y.$

Тогда $S_{CFDE}=2yz{sin \varphi \ }$

$\displaystyle S_{\triangle AFD}=\frac{1}{2}\cdot 4zy{sin \varphi \ }=2yz{sin \varphi =4\ }$

(по условию)

$\triangle AFD\sim \triangle DEB; \; k=2;$

$\displaystyle \frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle DEB}}=4,\; S_{\triangle DEB}=1,\; S_{\triangle ABC}=4+4+1=9.$

Ответ: 9

7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции f(x) в точке $x_0.$

Решение:

Производная функции f(x) в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке $x_0$ к графику функции.

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

$\displaystyle f$

Ответ: 0,25

8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=\sqrt{3}AA_1.$ Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CC_1.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Прямые $AB_1$ и $CC_1$ — скрещивающиеся.

Так как $BB_1$ параллельна $CC_1,$ угол между $AB_1$ и $CC_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BB_1,$ то есть углу $BB_1A.$

Найдем его из прямоугольного треугольника $BB_1A.$

$\displaystyle tg\ \widehat{BB_1A}=\frac{AB}{BB_1}=\frac{AB}{AA_1}=\frac{\sqrt{3}AA_1}{AA_1}=\sqrt{3}.$

Угол $BB_1A$ равен 60 градусов.

Ответ: 60

9. Ольга Чемезова

Вычислите:

$\displaystyle 5^{\frac{1}{{{log}_{11} 5\ }}}+\left({{log}_7 16\ }-{{log}_7 2\ }\right)\cdot {{log}_2 7\ }$

Решение:

$\displaystyle 5^{\frac{1}{{{log}_{11} 5\ }}}+\left({{log}_7 16\ }-{{log}_7 2\ }\right)\cdot {{log}_2 7\ }=5^{{{log}_5 11\ }}+{{log}_7 \frac{16}{2}\ }\cdot {{log}_2 7\ }=$

$=11+{{log}_7 8\ }\cdot {{log}_2 7\ }=11+{{log}_7 2^3\ }\cdot {{log}_2 7\ }=$

$=11+3\cdot {{log}_7 2\ }\cdot {{log}_2 7\ }=11+3=14$

Ответ: 14

10. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $\displaystyle P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right),$ где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ выразите в м/с.

Решение:

$\displaystyle P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right) \geq 0;$

$\displaystyle \frac{v^2}{L}-g \geq 0;$

$g=10$ м/с²;

$l=0,441$ м

$v^2 \geq Lg, \; v^2 \geq 4,41$

$\left(v-2,1\right)\left(v+2,1\right) \geq 0$

$v \geq 2,1; \; v_{min}=2,1.$

Ответ: 2,1

11. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найдите скорость катера, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. Ответ выразите в км/ч.

Обозначим через х км/час скорость катера в стоячей воде, а через у км/час скорость течения, тогда имеем систему

$\left\{ \begin{array}{c}\frac{96}{x+y}+\frac{96}{x-y}=14 \\\frac{24}{y}=\frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y} \end{array}\right.$

Пусть $x=zy,$ тогда второе уравнение системы примет вид

$\displaystyle \frac{24}{y}=\frac{96}{y\left(z+1\right)}+\frac{72}{y\left(z-1\right)}$

Отсюда

$z^2-7z=0.$

Так как $z\ne 0,$ то $z=7.$ Поэтому $x=7y.$ Подставив $x=7y$ в первое уравнение системы, находим

$\displaystyle \frac{96}{8y}+\frac{96}{6y}=14.$

Ответ: 14

12. Найдите точку минимума функции $\displaystyle y=-\frac{x}{x^2+676}.$

Решение:

$\displaystyle y=-\frac{x}{x^2+676};$

По формуле производной частного двух функций,

$\displaystyle {\left(\frac{u}{v}\right)}$

$\displaystyle y$

$y$

$x^2-676=0;$

$x=\pm 26$

$x=26$ — точка минимума, т.к. $y$ меняет знак с «-» на «+».

Ответ: 26

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Анна Малкова

$\displaystyle 4{{sin}^2 \left(x-\frac{ \pi }{12}\right)+4{{cos}^2 \left(x+\frac{ \pi }{12}\right)+\sqrt{3}\ }=4\ }$

а) Решить уравнение

б) Найти все корни уравнения на отрезке $\left[3 \pi ;4 \pi \right].$

Решение:

Применим формулы понижения степени:

$\displaystyle 2\cdot \left(1-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)+1+{cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)}}\right)+\sqrt{3}=4$

$\displaystyle 4+2\left({cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)}}\right)+\sqrt{3}=4$

$\displaystyle {cos \left(2x+\frac{ \pi }{6}\right)}-{cos \left(2x-\frac{ \pi }{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Получим:

$\displaystyle -2{sin 2x\ }{sin \frac{ \pi }{6}\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle {sin 2x\ }=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\left[ \begin{array}{c}2x=\frac{ \pi }{3}+2 \pi k,\ \ k\in Z \\2x=\frac{2 \pi }{3}+2 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}\right.$

а) $\left[ \begin{array}{c}x=\frac{ \pi }{6}+ \pi k,\ \ k\in Z \\x=\frac{ \pi }{3}+ \pi k,\ \ k\in Z \end{array}\right.$

б)

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $[3\pi; 4\pi]$ и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x_1$ и $x_2$ .

$\displaystyle x_1=3 \pi +\frac{ \pi }{6}=\frac{19 \pi }{6}$

$\displaystyle x_2=3 \pi +\frac{ \pi }{3}=\frac{10 \pi }{3}$

Ответ: $\displaystyle \frac{19 \pi }{6},\ \frac{10 \pi }{3}.$

14. Ирина Юдина Восьмигранник ${SABCDS}_{1 }$ (бипирамида) состоит из двух равных правильных четырехугольных пирамид с общим основанием ABCD, причем S и ${S}_{1}$ — нижняя и верхняя вершины соответственно.

Плоскость $\alpha$ проходит через середины отрезков $AS_1,\; CS$ и $AB.$

а) Докажите, что сечение бипирамиды плоскостью $\alpha$ имеет более двух пар параллельных сторон.

б) Найдите площадь сечения, если $SS_1=26,$ $\ AD=5\sqrt{2}.$

Решение:

$MP$ — средняя линия $\triangle ABS_1,\ MP\parallel BS_1,$ тогда $MP\parallel \left(S_1BD\right),$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

$S_1BSD$ — ромб (все стороны равны), значит, $MP\parallel SD\Rightarrow MP\parallel \left(SDC\right).$ Пусть $\alpha \cap \left(SDC\right)=NT,$ по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $NT\parallel SD,$ тогда $NT$ — средняя линия $\triangle SDC,$ $T$ — середина $CD.$

$\alpha \cap \left(ABC\right)=PT, \; PT\parallel AD, \; PT\parallel BC.$

Пусть $\alpha \cap \left(S_1AD\right)=MK;$

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $MK\parallel AD,$ тогда $K$ — середина $S_1D.$

Аналогично, $\alpha \cap SB=F,$ $F$ — середина $SB;$

$\alpha \cap \left(SBC\right)=NF.$

Сечение - шестиугольник $MKTNFP,$ $MK\parallel NF,$ $KT\parallel PF,$ $MP\parallel TN.$

б) Найдем $S_{MKTNFP}.$

$\displaystyle FN=MK=\frac{1}{2}AD=\frac{5\sqrt{2}}{2},$

$PT=BC=5\sqrt{2},$

$\displaystyle MP=KT=PF=TN=\frac{1}{2}AS_1.$

Найдем боковое ребро:

$\triangle S_1CO;$

$S_1C=\sqrt{OS^2_1+OC^2}=\sqrt{194}$

$\displaystyle MP=KT=PF=TN=\frac{\sqrt{194}}{2}$

Трапеция $PMKT:$

Высота $\displaystyle KH=\sqrt{KT^2-HT^2}=\sqrt{\frac{194}{4}-{\left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{194}{4}-\frac{25}{8}}=$

$\displaystyle =\sqrt{\frac{363}{8}}=\frac{11\sqrt{6}}{4}$

$\displaystyle S_{MKTNFP}=(PT+FN)\cdot KH=\frac{165\sqrt{3}}{4}.$

(Две площади трапеции $PMKT$ )

15. Решите неравенство:

$\displaystyle {{log}_7 \left(\left(5^{-x^2}-5\right)\left(5^{-x^2+16}-1\right)\right)+{{log}_7 \frac{5^{-x^2}-5}{5^{-x^2+16}-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13-x^2}-4\right)}^2.\ }\ }$

Решение:

$\displaystyle {{log}_7 \left(5^{-x^2}-5\right)\cdot \left(5^{-x^2-16}-1\right)+{{log}_7 \frac{5^{-x^2}-5}{5^{-x^2+16}-1} \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13-x^2}-4\right)}^2\ }\ }\ }$

Замена: $5^{-x^2}$ $=t,$

$x^2 \geq 0\Rightarrow -x^2 \leq 0\Rightarrow 5^{-x^2} \leq 5^0;$

$0 \textless 5^{-x^2} \leq 1\Rightarrow 0 \textless t \leq 1$

Получим:

$\displaystyle {{log}_7 \left(\left(t-5\right)\left(5^{16}t-1\right)\right)\ }+{{log}_7 \frac{t-5}{5^{16}t-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13}t-4\right)}^2\ }$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left(t-5\right)\left(5^{16}t-1\right) \textgreater 0 \\5^{13}t-4\ne 0 \\{{log}_7 \frac{{\left(t-5\right)}^2\left(5^{16}t-1\right)}{5^{16}t-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13}t-4\right)}^2\ } \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}5^{16}\left(t-5\right)\left(t-\frac{1}{5^{16}}\right) \textgreater 0 \\t-\frac{4}{5^{13}}\ne 0 \\{\left(t-5\right)}^2 \textgreater {\left(5^{13}t-4\right)}^2 \end{array}\right.$

Функция $y={{log}_7 t\ }$ - монотонно возрастающая, и если ${{log}_7 t_1\ } \textgreater {{log}_7 t_2\ },$ то $t_1 \textgreater t_2.$

С учетом условия, $0 \textless t \leq 1$ получим:

$\left\{ \begin{array}{c}0 \textless t \leq 1 \\t-\frac{1}{5^{16}} \textless 0 \\t\ne \frac{4}{5^{13}\ } \\{\left(t-5\right)}^2-\left(5^{13}t-4\right) \textgreater 0 \end{array}\ \Leftrightarrow \ \ \right.\left\{ \begin{array}{c}0 \textless t \leq 1 \\t \textless \frac{1}{5^{16}} \\t\ne \frac{4}{5^{13}\ } \\(t-5-5^{13}t+4)\left(t-5+5^{13}t-4\right) \textgreater 0 \end{array}\ \ \right.$

Сравним $\displaystyle \frac{1}{5^{16}}\bigvee{\frac{4}{5^{13}}}$

$\displaystyle \frac{1}{5^3} \textless 4\Rightarrow \frac{1}{5^{16}} \textless \frac{4}{5^{13}}$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\\left(t\left(1-5^{13}\right)-1\right)\left(t\left(1+5^{13}\right)-9\right) \textgreater 0 \end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{c}0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\\left(t+\frac{1}{5^{13}-1}\right)\left(t-\frac{9}{5^{13}+1}\right) \textless 0 \end{array}\ \Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{array}{c}0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}} \\t \textless \frac{9}{5^{13}+1} \end{array}\ ;\right.$

Так как $\displaystyle \frac{1}{5^{16}} \textless \frac{9}{5^{13}+1},$

$0 \textless t \textless \frac{1}{5^{16}};$

$5^{-x^2} \textless 5^{-16};$

$x^2 \textgreater 16, \left(x-4\right)\left(x+4\right) \textgreater 0;$

$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup (4;+\infty )$

16. Ирина Юдина Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ радиуса 32 с центрами P и Q, пересекаясь, делят отрезок PQ на три равные части. а) Докажите, что центр О окружности $\omega ,$ касающейся внутренним образом обеих окружностей и отрезка PQ, лежит на общей хорде окружностей $\omega_1$ и $\omega_2.$

б) Найти радиус окружности $\omega .$

Решение:

По условию, $R=R_1=R_2=32$

Пусть $PA=AB=BQ=x$

Тогда $PA=32-x,$ $32-x=x,$ $x=16,$ $PQ=3x=48.$

$E$ и $F$ — точки касания, $r=OF=OE$ — радиус окружности $\omega .$

$OQ=R-r, OP=R-r.$

Пусть $H$ — точка касания $\omega$ и $AB;$

$OH\bot AB,$ $\triangle OPQ$ равнобедренный; $H$ — середина $AB.$ (т.к. $OH$ — высота и медиана $\triangle OPQ$ ).

С другой стороны, $MN\bot PQ$ (т.к. $MPNQ$ — ромб, $MN$ и $PQ$ — его диагонали), $H=MN\cap PQ,$ $O\in MN,$ что и требовалось доказать.

б) Найдем $r$ — радиус окружности $\omega .$ $PF=PB=2x=32,$

Рассмотрим $\triangle OPH;$ $OP=PF-OF=32-r,$ $\angle H=90{}^\circ .$ $OH=r,$ $\displaystyle PA=\frac{3x}{2}=24$

По теореме Пифагора:

$OP^2=PH^2+OH^2;$

${\left(32-r\right)}^2={24}^2+r^2;$

${32}^2-64r+r^2={24}^2+r^2$

$64r=\left(32-24\right)\left(32+24\right)=8\cdot 56;$

$r=7$

Ответ: 7

17. Анна Малкова 1 марта 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов в конце каждого года, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.

Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу, причем в некоторые годы он добавлял деньги на счет после начисления процентов, а в некоторые — снимал со счета после начисления процентов.

В марте 2021 года перед очередным начислением процентов на счете Антона было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим $S_1$ — сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а $S_2$ — сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между $S_1$ и $S_2.$

Решение:

Пусть $S$ — первоначальный размер вклада, $x$ — сумма, на которую ежегодно увеличивается вклад,

$\displaystyle x=\frac{300-100}{20}=10$ тыс. руб.,

$S=100$ тыс. руб.

$k=1+\frac{r}{100}$ – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма вклада после начисления процентов.

Схема роста вклада:

«Пополнение» вклада (могут быть положительны или отрицательны)

$z_1=S+x-kS$

$z_2=S+2x-k\left(S+x\right)$

$z_3=S+3x-k\left(S+2x\right)$

$\vdots$

$z_{20}=S+20x-k\left(S+19x\right)$

$\displaystyle k=1+\frac{r}{100}$

Общая сумма «пополнений»:

$P=20S+x\left(1+2+3+\dots +20\right)-$

$-k\left(20S+x\left(1+2+3+\dots +19\right)\right)=$

$=20S+210x-20kS-190x=20S\left(k-1\right)+$

$\displaystyle +210x-190x-190x\cdot \frac{r}{100}=$

$\displaystyle =20x-190x\cdot \frac{r}{100}-20S\cdot \frac{r}{100},$

Мы нашли суммы арифметических прогрессий:

$\displaystyle 1+2+3\dots 20=\frac{1+20}{2}\cdot 20=210$

$\displaystyle 1+2+3\dots +19=\frac{1+19}{2}\cdot 19=190$

$\displaystyle P=200-\frac{1900\cdot 5}{100}-\frac{20\cdot 100\cdot 5}{100}=5$ (тыс. руб).

Ответ: 5 тыс. рублей.

18. Анна Малкова При каких значениях параметра $b$ уравнение

$x-1=(arcsin\ x\ +\ b)^2$

имеет решения?

Решение:

$x-1={\left({arcsin x\ }+b\right)}^2$

Замена: ${arcsin x\ }=y;$ тогда

$\left\{ \begin{array}{c}y={arcsin x\ } \\x-1={\left(y+b\right)}^2 \end{array}\right.$

$x\in [-1;1]$ – область определения арксинуса,

$\displaystyle y\in \left[-\frac{ \pi }{2};\frac{ \pi }{2}\right]$ – область значений арксинуса.

Решим систему методом оценки

$\left\{ \begin{array}{c}x={sin y\ } \\-\frac{ \pi }{2} \leq y \leq \frac{ \pi }{2} \\x={\left(y+b\right)}^2+1 \end{array}\right.$

Так как

$-1 \leq {sin y \leq 1\ }$

${\left(y+b\right)}^2+1 \geq 1$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}{sin y=1\ } \\{\left(y+b\right)}^2+1=1 \\-\frac{ \pi }{2} \leq y \leq \frac{ \pi }{2} \end{array}\right.;$ $\left\{ \begin{array}{c}y=\frac{ \pi }{2} \\b=-\frac{ \pi }{2} \end{array}\right.$

Ответ: $\displaystyle -\frac{ \pi }{2}$

19. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили разное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?

Пусть x юношей отправили девушкам по 4 письма и y юношей отправили по 21 письму.

В группе поровну юношей и девушек. Значит, x + y = n — количество девушек.

Количество отправленных (и полученных девушками) писем р = 4x + 21y.

а) Да, могло. Пусть каждая девушка получила по 7 писем. Тогда 4x + 21y = 7(x + y),

3x = 14 y. Возьмем x = 14 и y = 3. Тогда в группе n = 14 + 3 = 17 девушек, и они получили $17\cdot \ 7\ =\ 119$ писем.

$14\cdot \ 4\ +\ 21\cdot 3\ =\ 17\cdot \ 7,$ каждая из 17 девушек получила ровно 7 писем.

б) Пусть каждая девушка получила k писем: 4x + 21y = kn. Подставив в это уравнение

x = n — y, получим 17y = (k — 4)n.

Это значит, что (k — 4)n делится на 17.

Предположим, что k — 4 делится на 17. Тогда $k-4 \geq 17$ и $k \geq 21.$ С другой стороны,

$\displaystyle k=\frac{4x+21y}{n}=\frac{4x+21y}{x+y}=\frac{21x+21y}{x+y}- \frac{17x}{x+y},\; k\ \textless 21.$

Мы выделили в выражении для k целую часть. Очевидно, х $\textgreater$ 0, так как как по условию $x \geq 2.\$

Значит, k — 4 не делится на 17. Тогда n делится на 17 и потому $n \geq 17.$ Мы оценили n.

Пример для n = 17 приведен в пункте (а). Следовательно, наименьшее возможное количество девушек равно 17.

в) Пусть девушки получили $k_1,\; k_2,\; \dots ,\; k_n$ писем (считаем, что $k_1 \textless k_2 \textless \dots \textless k_n).$ Тогда $k_1 \geq 0,\; k_2 \geq 1,\; \dots ,\; k_n \geq n-1.$ Общее количество писем:

$\displaystyle p=k_1+k_2+\dots +k_n \geq 1+2+\dots +\left(n-1\right)=\frac{n(n-1)}{2}.$

Мы нашли p как сумму n — 1 членов арифметической прогрессии.

С другой стороны,

$p=4x+21y=4x+21\left(n-x\right)=21n-17x.$ Поскольку $x \geq 2,\$

$p\ \leq 21n-17\cdot 2.$

$p\ \leq 21n-34.$

Получаем неравенство для n:

$\displaystyle \frac{n\left(n-1\right)}{2} \leq 21n-34$

$n^2-43n+68 \leq 0$

$\displaystyle \frac{43-\sqrt{1577}}{2} \leq n \leq \frac{43+\sqrt{1577}}{2}$

Это значит, что $\displaystyle n \textless \frac{43+\sqrt{1600}}{2},\$ то есть $n \leq 41.$

Приведем пример, когда n = 41. Пусть x = 2, y = 39,

число отправленных писем $p=4\cdot 2+21\cdot 39=827.$

Пусть первая девушка не получила ни одного письма, вторая получила одно письмо, $\dots ,$ 40-я получила 39 писем и 41-я получила 47 писем.

Это значит, что $k_1=0,\ k_2=1,\dots ,\ k_{40}=39,\ k_{41}=47;$ их сумма

$k_1+k_2+\dots +k_n=1+\dots +39+47=827.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Вариант 7, решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 29.09.2023

Вариант 7, решения

Это полезно