Вариант 8, решения

Видеоразбор варианта 8:

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Анна Малкова Фирма доставки еды получила заказ на горячие обеды. Внутреннее пространство термо-короба курьера имеет форму куба со стороной 0,42 метра, обеды упаковываются в кубические пластиковые контейнеры размером 15 х 15 х 15 см. Сколько таких контейнеров поместится в термо-короб?

Решение:

Очевидно, что контейнеры нельзя переворачивать или ставить боком. Поставим 4 контейнера по углам короба. Поместится ли в середине пятый, если его поставить так, как на рисунке?

Половина диагонали квадрата АВСD должна быть не больше 12 сантиметров. Следовательно, диагональ квадрата не больше 24 сантиметров.

Значит, $AB\cdot \ \sqrt{2}\ \le \ 24$ , и если АВ = 15 сантиметров, то $15\cdot \ \sqrt{2} \textless \ 24$ . Это легко проверить: $5\sqrt{2}\ \textless \ 8$ , то есть $25\cdot 2\ \textless \ \ 64$ . Поставим на эти 5 контейнеров второй ряд, получим, что помещается 10 контейнеров.

Ответ: 10

2. Анна Малкова На графике показана зависимость температуры кипения воды (в градусах Цельсия)от высоты над уровнем моря. Определите температуру кипения воды на высоте 4500 метров.

Решение: Согласно графику, на высоте 4500 метров над уровнем моря температура кипения воды равна 85 градусов Цельсия.

Ответ: 85

3. Анна Малкова Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ выразите в кв. см.

Решение:

Один из способов: разбейте фигуру на 4 треугольника и квадрат. Затем вычтите площадь квадрата в середине.

Ответ: 14

4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Решение:

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна $\displaystyle \frac{1}{2}\$ . Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\ =\frac{1}{4}$ . На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна $\displaystyle \frac{1}{2}$ а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна $\displaystyle \frac{1}{32\ }$ , то есть 0,03125.

Ответ: 0,03125.

5. Решите уравнение:
$4^{x+2}-2^{x+3}+1=0$

Решение:
$4^{x+2}-2^{x+3}+1=0$

$16\cdot 4^x-8\cdot 2^x+1=0$

$16\cdot {\left(2^x\right)}^2-8\cdot 2^x+1=0$

${\left(4\cdot 2^x-1\right)}^2=0$

$4\cdot 2^x=1$

$2^x=1$

$\displaystyle 2^x=\frac{1}{4}$

$x=-2$

Ответ: -2

6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.

Решение:

Так как трапеция описана вокруг окружности, суммы длин ее противоположных сторон равны, АВ + CD = AD + BC = 50.

Диаметр окружности равен длине стороны АВ; АВ =2R = 50 — CD = 50 — 42 = 8,

R = 4.

Ответ: 4

7. На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

Решение:

Производная функции f(x) в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим: $\displaystyle f$

8. Анна Малкова Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника АВС, площадь которого равна 12, вокруг стороны АВ, длина которой равна $\pi$ .

Решение:

Проведем из точки С перпендикуляр на прямую АВ. Основание перпендикуляра — точка О. При вращении треугольника АВС вокруг стороны АВ получается фигура, объем которой равен разности объемов конусов с радиусами основания, равными ОС, и высотами, равными ОВ и ОА соответственно.
$\displaystyle V=V_2-V_1=\frac{1}{3} \pi \cdot OC^2\left(OB-OA\right)=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot OC^2\cdot AB$
Заметим, что OC — высота $\triangle ABC;$

$\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC\Rightarrow OC=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}$

$\displaystyle V=\frac{1}{3} \pi \cdot 4\cdot \frac{S^2_{\triangle ABC}}{AB^2}\cdot AB=\frac{4}{3} \pi \cdot \frac{S^2_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{4}{3}\cdot \frac{ \pi \cdot 144}{ \pi }=192$

9. Анна Малкова Вычислите:

$\displaystyle 2\sqrt{{{cos}^2 x\ }}-\sqrt{1-{{cos}^2 \left(\frac{ \pi }{2}+x\right)\ }}-{cos \left(x- \pi \right)\ }$ при $\displaystyle x\in \left[\frac{ \pi }{2}; \pi \right]$

Решение:
$\displaystyle 2\sqrt{{{cos}^2 x\ }}-\sqrt{1-{{cos}^2 \left(\frac{ \pi }{2}+x\right)\ }}-{cos \left(x- \pi \right)=2\left|{cos x\ }\right|-\sqrt{{{sin}^2 \left(\frac{ \pi }{2}+x\right)\ }}+{cos x\ }\ }=$

$=2\left|{cos x\ }\right|-\sqrt{{{cos}^2 x\ }}+{cos x=2\left|{cos x\ }\right|-\left|{cos x\ }\right|+{cos x=\left|{cos x\ }\right|+{cos x;\ }\ }\ }$

Если $\displaystyle x\in \left[\frac{ \pi }{2}; \pi \right],\$ то ${cos x \textless 0\ },$ $\left|{cos x\ }\right|=-{cos x\ }$

$\left|{cos x\ }\right|+{cos x=-{cos x+{cos x=0;\ }\ }\ }$

Ответ: 0

10. Анна Малкова При последовательном соединении проводников сопротивления резисторов складываются. При параллельном соединении складываются величины, обратные сопротивлениям. Согласно закону Ома для полной цепи, $\displaystyle I=\frac{E}{R+r}$ , где Е — ЭДС источника (в вольтах), R — внешнее сопротивление (в омах), r — внутреннее сопротивление источника (в омах), I - сила тока (в амперах). Найдите силу тока в цепи, изображенной на рисунке, если ЭДС источника равна 40 В, r = 0,5 Ом.

Решение:

При параллельном соединении резисторов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2\$ общее сопротивление R рассчитывается по формуле $\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1 }+\frac{1}{R_2 }.$

Для участка с параллельным соединением двух сопротивлений, равных 20 Ом, имеем:

Для параллельного соединения трех сопротивлений, равных 20, 30 и 60 Ом, имеем:

Для последовательного соединения сопротивлений, равных 9,5 Ом, 10 Ом, 10 Ом и 10 Ом, получим:

Полное сопротивление цепи равно 39,5 + 0,5 = 40 Ом, сила тока в цепи

Ответ: 1

11. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

Решение:

Пусть х – расстояние, которое теплоход проходит по течению. Такое же расстояние теплоход пройдет против течения; за весь рейс теплоход пройдет 2х км.

Время движения по течению: $\displaystyle \frac{x}{15 + 3} = \frac{x}{18},$

Время движения против течения: $\displaystyle\frac{x}{15 - 3} = \frac{x}{12},$

Общее время движения теплохода: 25 – 5 = 20 часов (вычли время стоянки).

Получим уравнение:

$\displaystyle\frac{x}{18}+\frac{x}{12}=20$

$\displaystyle\frac{5x}{36}=20$

$x= 36 \cdot 4=144,$

$2x=288$

Ответ: 288

12. Анна Малкова Найдите наибольшее значение функции

$y=2\sqrt{2}\ ({sin x+{cos x)\ \ }\ }$ на отрезке [0; $\pi$ ].

Решение:
$y=2\sqrt{2}\left({sin x+{cos x\ }\ }\right)$

$x\in \left[0; \pi \right]$

Найдём производную:
$y$

Приравняем производную к нулю.

$2\sqrt{x}\left({cos x-{sin x\ }\ }\right)=0;$

${cos x={sin x;\ }\ }$

$\displaystyle x=\frac{ \pi }{4}+ \pi n,\ n\in Z.$

Если $x\in \left[0; \pi \right],\$ то $\displaystyle x\in \frac{ \pi }{4}.$

Так как $y$ точка $\displaystyle x=\frac{ \pi }{4}$ — точка максимума функции $y\left(x\right);$

$\displaystyle y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{ \pi }{4}\right)=4$

Ответ: 4

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Антонс Фомишкинс, Латвия

а) Решите уравнение $\displaystyle {{log}_{4x^2-5x+1} tg\frac{ \pi x}{2}\ }-{{log}_{x-6} tg\frac{ \pi x}{2}\ }=0\$

б) Найдите все его корни на отрезке [20;21].

Решение:

Уравнение равносильно системе:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}4x^2-5x+1 \textgreater 0 \\4x^2-5x+1\ne 1 \\tg\frac{ \pi x}{2} \textgreater 0 \\x-6 \textgreater 0 \\x-6\ne 1 \\\left[ \begin{array}{c}\frac{1}{{{log}_{tg\frac{ \pi x}{2}} 4x^2-5x+1\ }}=\frac{1}{{{log}_{tg\frac{ \pi x}{2}} \left(x-6\right)\ }} \\tg\frac{ \pi x}{2}=1\ \end{array}\right. \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}4x^2-5x+1 \textgreater 0 \\4x^2-5x\ne 0 \\tg\frac{ \pi x}{2} \textgreater 0 \\x \textgreater 6 \\x\ne 7 \\\left[ \begin{array}{c}4x^2-5x+1=x-6 \\tg\frac{ \pi x}{2}=1 \end{array}\right. \end{array}\right.$

Решим неравенство $4x^2-5x+1 \textgreater 0$ .

Уравнение ${4x}^2-5x+1=0$ ;

$D=25-16=9;$

$\displaystyle x=\frac{5\pm 3}{8}; x_1=1, x_2=\frac{1}{4}$

$\displaystyle 4x^2-5x+1 \textgreater 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x \textless \frac{1}{4} \\x \textgreater 1 \end{array}\right.$
Получим:
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x \textless \frac{1}{4} \\x \textgreater 1 \end{array}\right. \\x\left(4x-5\right)\ne 0 \\tg\frac{ \pi x}{2} \textgreater 0 \\x \textgreater 6 \\x\ne 7 \\\left[ \begin{array}{c}4x^2-6x+7=0 \\tg\frac{ \pi x}{2}=1 \end{array}\right. \end{array}\right.$

Уравнение $4x^2-6x+7=0$ не имеет корней, $D \textless 0$ .

Система примет вид:
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 6, \\x\ne 7 \\tg\frac{ \pi x}{2}=1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{ \pi x}{2}=\frac{ \pi }{4}+ \pi k,\ k\in Z \\x \textgreater 6,\ x\ne 1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x=\frac{1}{2}+2k \\x \textgreater 6 \end{array}\right.\ \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}+2k,\ k\ge 3.$

б) Найдем корни на отрезке $[20;21]$ .

$\displaystyle 20\le \frac{1}{2}+2k\le 21$

$\displaystyle 10\le \frac{1}{4}+k\le 10,5$

$9,75\le k\le 10,25$

$\displaystyle k=10,\ \ x=\frac{1}{2}+2\cdot 10=20,5$

Ответ:

а) $\displaystyle x=\frac{1}{2}+2k,\ \ k\ge 3$

б) $x=20,5$

14. Анна Малкова Дан многогранник SABCD. Все плоские углы трехгранного угла при вершине S — прямые.

Ребра АS и CD параллельны. Точки М и К — середины ребер АВ и BS. Точки Р и Е лежат на ребрах АD и SC так, что АP : PD = SE : EC = 3 : 1.

а) Докажите, что фигура, являющаяся сечением многогранника плоскостью МРЕК, имеет не менее двух прямых углов.

б) Найдите площадь сечения плоскостью МРЕК, если BS = 8, AB = 10, SC = 4, CD = 2.

Решение:

$AS\parallel CD\Longrightarrow A,\ S,\ C,\ D$ лежат в одной плоскости;

Так как AS, CD, SC — ребра, возможно только такое расположение точек A, S, C, D. В основании — прямоугольная трапеция ASCD.

Случай, когда в основании трапеция ASDC, невозможен, так как тогда AD не является ребром (и SC тоже).

MK — средняя линия $\triangle ABS$ , $MK\parallel AS$ .
$ES\bot AS;$

ЕS – проекция ЕК на плоскость АSC,

По теореме о трех перпендикулярах $KE\bot AS$ , значит, $KE\bot MK$ .

Пусть $\left[AD\right)\cap \left[SC\right)=T$ .

Обозначим $CT=Z,$ $DT=t.$

$CD\parallel AS\Longrightarrow \triangle CDT\sim \triangle SAT$ по двум углам.

$\displaystyle \frac{z}{z+4x}=\frac{t}{t+4y}$

$\displaystyle zt+4yz=zt+4xt\Longrightarrow yz=xt\Longrightarrow \frac{y}{t}=\frac{x}{z}$
Прибавим 1 к левой и правой части равенства:

$\displaystyle \frac{y}{t}+1=\frac{x}{z}+1$ ; $\frac{y+t}{t}=\frac{x+z}{z}\Longrightarrow \frac{PT}{DT}=\frac{ET}{CT}\Longrightarrow \triangle PET\sim \triangle DCT$ по углу и двум сторонам $PE\parallel CD$ , тогда $PE\parallel MK$ , $MPEK$ — прямоугольная трапеция.

Заметим, что в частном случае в сечении может получится не прямоугольная трапеция, а прямоугольник.

б) Найдем $S_{MPEK}$ .

$BS=8\Longrightarrow SK=4,$

$SC=4\Longrightarrow SE=3$ , тогда из $\triangle KSE:$ $KE=5$ — высота трапеции.

Из $\triangle ASB\left(\angle S=90^\circ \right)$ $AS=\sqrt{100-64}=6$ .

$\triangle DCT\sim \triangle AST$ по двум углам, $\displaystyle \frac{CT}{ST}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{CT}{4+CT}=\frac{1}{3};$

$3CT=4+CT,\ CT=2.$

$\triangle PET\sim \triangle DCT$ по 2 углам, $\displaystyle \frac{PE}{2}=\frac{3}{2}$ ; $PE=3.$

Значит, $MPEK$ — прямоугольник, $PE=MK=3$ , $S_{MPEK}=3\cdot 5=15$ .

Ответ: 15

15. Решите неравенство: $\displaystyle \left|{{log}_x \frac{x}{4}\ }\right|\cdot {{log}_{4x} \left(2x^2\right)\ }\le \left|{{log}_x \frac{x}{4}\ }\right|$ .

Решение:
$\displaystyle \left|{{log}_x \frac{x}{4}\ }\right|\cdot {{log}_{4x} \left(2x^2\right)\ }\le \left|{{log}_x \frac{x}{4}\ }\right|\Longleftrightarrow \left|{{log}_x \frac{x}{4}\ }\right|\cdot \left({{log}_{4x} \left(2x^2\right)\ }-1\right)\le 0\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 0 \\x\ne 1 \\4x\ne 1 \\\left[ \begin{array}{c}{{log}_x \frac{x}{4}\ }=0 \\{{log}_{4x} \left(2x^2\right)\ }-1\le 0 \end{array}\right. \end{array}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 0 \\x\ne 1,\ x\ne \frac{1}{4} \\\left[ \begin{array}{c}\frac{x}{4}=1 \\\left(4x-1\right)\left(2x^2-4x\right)\le 0 \end{array}\right. \end{array}\right.$

(применили метод замены множителя)

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textgreater 0 \\x\ne 1,\ x\ne \frac{1}{4} \\\left[ \begin{array}{c}x=4 \\\left(4x-1\right)\cdot x\left(x-2\right)\le 0 \end{array}\right. \end{array}\right.$

Отметим решения системы на числовой прямой.

Ответ: $\displaystyle x\in \left(\frac{1}{4};1\right)\cup \left(1;2\right]\cup \left\{4\right\}.$

16. В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120 ${}^\circ$ .

а) Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $BC=4$ , а $\angle BED=75{}^\circ$ .

Решение:

Пусть $\angle BAC=2 \alpha$ , $\angle BCA=2 \gamma$ ;

Из $\triangle AOC$ :
$\alpha + \gamma +120{}^\circ =180{}^\circ , \alpha + \gamma =60{}^\circ$

Из $\triangle ABC$ :

$2 \alpha +2 \gamma +\angle B=180{}^\circ ,$

$120{}^\circ +\angle B=180{}^\circ ,$

$\angle B=60{}^\circ ;$

$\angle DOE=\angle AOC=120^\circ$ - как вертикальные углы.

$\angle DBE+\angle DOE=180{}^\circ ,$

$DBOE$ — можно вписать в окружность.

б) $BC=4$ , $\angle BED=75{}^\circ$ .

Из $\triangle BED$ : $\angle BDE=180{}^\circ -60{}^\circ -75{}^\circ =45{}^\circ$

Тогда $\angle BOE=\angle BDE=45{}^\circ$ (опираются на дугу BD вспомогательной окружности), BO — биссектриса $\angle B$ , т.к. O — точка пересечения биссектрис, $\angle OED=\angle OBD=30{}^\circ$ , тогда $\angle AEO=180{}^\circ -30{}^\circ -75{}^\circ =\ 75{}^\circ$ ;

Из $\triangle AOE$ , где $\angle AOE=60{}^\circ$ (смежный с $\angle AOC=120{}^\circ$ ), получим, что $\angle EAO= \alpha =180{}^\circ -60{}^\circ -75{}^\circ =45{}^\circ$ , тогда $\angle A=90{}^\circ$ , $\triangle ABC$ прямоугольный.

Так как BC = 4, $AB=4{sin 30{}^\circ \ }=2$ , $AC=ABtg\ 60{}^\circ =2\sqrt{3}$ , $\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$ .

17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» —- 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Пусть в отеле:

x стандартных номеров

y «люксов»,

Тогда $30x+40y\le 940$ .

Прибыль в сутки (в тысячах рублей)

$Z\left(x;y\right)=4x+5y$

(при условии, что все номера заняты).

Найдем наибольшее значение функции $z\left(x,y\right)=4x+5y$ при условии

$30x+40y\le 940.$

$3x+4y\le 94;$

$\displaystyle y\le \frac{94-3x}{4}$

$\displaystyle Z\left(x,y\right)=4x+5y\le 4x+\frac{5}{4}\left(94-3x\right)=4x+\frac{235}{2}-\frac{15}{4}x=\frac{235}{2}+\frac{x}{4}.$

Чем больше x, тем больше прибыль;

Если $y=0$ , то $3x\le 94$ , $x\le 31$ .

При $x=31$

$Z\left(x,y\right)=31\cdot 4=124$ тысячи рублей, однако при этом остается $940-30\cdot 31=10$ м² свободной площади.

Проверим, что будет, если $x=30$ , $y=1$ . Тогда $30\cdot 30+40\cdot 1=940$ , занята вся возможная площадь, прибыль равна: $30\cdot 4+5=125$ тыс. рублей. Больше, чем в первом случае.

Дальнейшее уменьшение числа стандартных номеров невыгодно, так как наибольшая прибыль

$\displaystyle Z\le \frac{235}{2}+\frac{x}{4},$

$\displaystyle Z\le \frac{470+31}{4}=\frac{501}{4},$

$Z\le 125,25;$

Так как $Z=4x+5y$ ,

$Z$ — целое, $Z\le 125$ тыс.рублей.

Ответ: 125 тыс.рублей.

18. Анна Малкова При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно 4 решения?

$\left\{ \begin{array}{c}{\left(\left|x\right|-2\right)}^2+{\left(\left|y\right|-2\right)}^2=1, \\2\left|x\right|+\left|y\right|=2a \end{array}\right.$

Если $\left|x\right|=0$ , то $x=0$ .

Тогда $\left|y\right|=2a$ ;

Система может иметь не больше 2 решений: $\left(0;2a\right)$ и $(0;\ -2a)$

Аналогично, если $\left|y\right|=0$ , система может иметь не более 2 решений.

Значит, $x\ne 0$ и $y\ne 0$

Обозначим $\left|x\right|=t$ и $\left|y\right|=z$ ;

Каждому $t \textgreater 0$ соответствуют $x_1$ и $x_2$ , каждому $z \textgreater 0$ соответствуют $y_1$ и $y_2$ , каждой паре $\left(t,\ \ z\right)$ , где $t \textgreater 0$ , $z \textgreater 0$ , соответствуют 4 решения.

$\left(x_1;y_1\right)$ , $(x_1;y_2)$ , $\left(x_2;y_1\right)$ и $\left(x_2;y_2\right)$ .

Чтобы исходная система имела ровно 4 решения, система

$\left\{ \begin{array}{c}{\left(t-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=1 \\2t+z=2a \end{array}\right.$ должна иметь единственное решение $t \textgreater 0$ , $Z \textgreater 0$ .

$\left\{ \begin{array}{c}{\left(t-2\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2 \\z=2(a-t) \end{array}\right.$

Первое уравнение системы задает окружность с центром $M (2; 2)$ и радиусом $R=1.$

Второе уравнение системы задает прямую $l$ .

Система имеет относительно z, единственное решение, если прямая касается окружности в точке A или B. При этом прямая пересекает ось $y$ в точке с ординатой $2a_1$ или $2a_2$ .

Проведем $MK$ параллельно оси $t$ ; $K(0;2)$

Отметим точки $E\left(0;2a_1\right)$ и $F\left(0;2a_2\right)$

Пусть $AE\cap MK=T$

$\triangle EKT\sim \triangle MAT$ по двум углам, $\angle K=\angle A=90{}^\circ$ (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), $\displaystyle tg\angle KET=\frac{1}{2}$ ,

$KE=2a_1-2$ , тогда $KT=a_1-1$ .

$AM=1, TM=2-KT=2+1-a_1=3-a_1$

Из $\triangle ATM$

$AT=\sqrt{TM^2-AM^2}=\sqrt{{\left(a_1-3\right)}^2-1}$ .

$\displaystyle tg\angle AMT=\frac{1}{2}=\frac{AT}{AM};$

$\displaystyle \sqrt{{\left(a_1-3\right)}^2-1}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle {\left(a_1-3\right)}^2=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

Так как $a_1 \textless 3$ , $\displaystyle 3-a_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$ , $a_1=3-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{6-\sqrt{5}}{2}$ .

Пусть $P=BF\cap KM$ .

$\triangle MBP=\triangle MAT$ по катету и острому углу, $\displaystyle MP=TM=3-a_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$ , тогда $\displaystyle KP=2+\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\displaystyle \triangle FKP\sim \triangle EKT$ , $tg\ \angle KFP=\frac{1}{2}$ , отсюда

$FK=2KP=4+\sqrt{5}$ , $OF=2a_2=OK+FK=2+FK=6+\sqrt{5}$ .

$\displaystyle a_2=\frac{6+\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{5}}{2}$ .

19. Анна Малкова В трехзначном числе А, в котором все цифры различны и не равны нулю, поменяли местами первую и последнюю цифры.

а) Могло ли получиться число в 8/3 раз больше исходного?

б) Могло ли получиться число в 2 раза больше исходного?

в) Пусть после перестановки первой и последней цифр получилось число в k раз больше исходного. Найдите наибольшее k.

Ответ: а) Да, могло. Например, число 297; 792:297 = 8/3.

б) Нет

в) 307/43

Решение:
$A=\overline{abc};$

Поменяли местами первую и последующую цифры, $B=\overline{cba}$

$A=100a+10b+c$

$B=100c+10b+a$
$\displaystyle k=\frac{B}{A}=\frac{100c+10b+a}{100a+10b+c}$

Выделим целую часть

$\displaystyle k=\frac{c+99c+10b+100a-99a}{100a+10b+c}=1+\frac{99(c-a)}{100a+10b+c}=1+\frac{99(c-a)}{A}$
$1\le c-a\le 8$ , так как все цифры в числе A различны и среди них нет нулей.

а) Пусть $\displaystyle k=\frac{8}{3}$ ;

$\displaystyle 1+\frac{99(c-a)}{A}=\frac{8}{3};$

$\displaystyle \frac{99\left(c-a\right)}{A}=\frac{5}{3};$

$297\left(c-a\right)=5A$

Пусть $A=297$ , тогда $c-a=5$

$\displaystyle \frac{792}{297}=\frac{8}{3}$

б) Нет, не может.

Предположим, что $k=2$ .

$\displaystyle 1+\frac{99(c-a)}{A}=2;$

$\displaystyle \frac{99\left(c-a\right)}{A}=1;$

$A=99(c-a)$

При этом $c \textgreater a$ , $A$ — трехзначное.

Возможные значения A:

198, 297, 396, 495.

Если $A=198$ , $B=891\ne 2A$ ;

Если $A=297$ , $B=792\ne 3A$ .

Аналогично, не подходят числа 396 и 495.

в) Найдем наибольшее возможное k.

$\displaystyle k=1+\frac{99\left(c-a\right)}{A}\le 1+\frac{99\cdot 8}{A}$

$A$ — трехзначное, все цифры в числе A различны, значит, $A\ge 123.$

Тогда $\displaystyle 0 \textless \frac{1}{A}\le \frac{1}{123}$ , $k\le 1+\frac{99\cdot 8}{123}$ .

Если $A=123$ , то $c-a\ne 8$ .

Наименьшее трехзначное число $A=\overline{abc}$ , где $a,\ b,\ c$ — различны, $c-a=8$ — это 129.

Тогда $\displaystyle k\le 1+\frac{99\cdot 8}{129}$ , $k\le \frac{307}{43}$ .

$\displaystyle k\le \frac{307}{43}.$

Пусть $A=129$ , $\displaystyle \frac{921}{129}=\frac{307}{43}$ .

Покажем, что это наибольшее возможное k.

Если $\displaystyle A \textgreater 129$ , $k \textless 1+\frac{99\cdot 8}{129}$ ;

Если $123\le A\le 128$ — покажем, что

$\displaystyle k \textless 1+\frac{99\cdot 8}{129}$

Если $A=123$ , $c-a=2$

$A=124, c-a=3$

$\dots$

$A=128, c-a=7.$

Таким образом, для чисел 123, 124… 128

$A=129-m, c-a=8-m,$ причём $m \textgreater 0$

Тогда $\displaystyle k=1+\frac{99(8-m)}{129-m}$ ; сравним с $\displaystyle 1+\frac{99\cdot 8}{129}$

$\displaystyle \frac{8-m}{129-m}\vee \frac{8}{129}$

$8\cdot 129-129m\vee 8\cdot 129-8m$

$8m \textless 129m$ , т.к. $m \textgreater 0$ .

Значит, $\displaystyle k_{max}=\frac{307}{43}\$ .

Ответ: а) Да, могло. Например, число 297; $\displaystyle 792:297 = \frac{8}{3}.$
б) Нет
в) $\displaystyle \frac{307}{43}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Вариант 8, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 02.10.2023

Вариант 8, решения

Это полезно