Условие задачи
Найдите наименьшее значение функции \(y=(x^2-8x+8)e^{2-x}\) на отрезке \([1; 7].\)
Решение
Хотите решить эту задачу за 10 секунд? Вспомните, что число \(e\) – иррациональное.
Когда функция \(e^t\) принимает целое значение? Очевидно, при \(t = 0.\)
Если \(t = 2-x,\) то \(x = 2.\) Именно это значение и надо подставить в формулу функции, чтобы найти ее наименьшее значение.
Подставив, получим: \(y(2) = - 4.\)
Это решение для хитрых. Мы воспользовались тем, что ответы в первой части ЕГЭ по математике – это целые числа или конечные десятичные дроби. А теперь – честное решение!
\(y{}'=(2x-8) e^{2-x}-e^{2-x} (x^2-8x+8)=e^{2-x} (-x^2+10x-16);\)
\(y{}'=-e^{2-x} (x-2)(x-8). \)
Найдем знаки производной на отрезке \([1; 7]:\)
Найдем знаки производной на отрезке [1; 7]:
Точка 2 – точка минимума, \(y_{min}=-4.\)
Ответ:
-4.
