previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача)
\sqrt{2}\begin{vmatrix} sinx\end{vmatrix}=tgx

а) Решить уравнение,

б) Найти все его корни на отрезке [-3π; 2π]

Решение

Начнем с области допустимых значений уравнения: cosx≠0.

Раскроем модуль по определению. Мы помним, что \begin{vmatrix}z\end{vmatrix}=\left\{\begin{matrix}z, z\geq 0\\ -z, z\leq 0\end{matrix}\right.

Наше уравнение равносильно совокупности двух систем:

При отборе решений пользуемся тригонометрическим кругом.

Объединив решения, получим ответ в пункте (а) :
\pi n, n\in Z, или \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

В пункте (б) сделаем отбор решений с помощью двойного неравенства.

Дли серии \pi n, n\in Z, :

-3\pi \leq \pi n \leq 2\pi :

-3\leq n \leq 2:

-3\pi, -2\pi, -\pi,0, \pi, 2\pi – решения.

Для серии \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

-3\pi \leq \frac{\pi}{4} +\pi n \leq 2\pi :

-3 \leq \frac{1}{4} +1 n \leq 2:

-3\frac{1}{4}\leq n \leq 1\frac{3}{4}:

Поскольку n – целое, n= -3, -2, -1, 0 или 1.

Решения на указанном промежутке:

-3\pi;~ \displaystyle \frac{-11\pi}{4};~ -2\pi; ~\displaystyle \frac{-7\pi}{4};~ -\pi ; ~\displaystyle \frac{-3\pi}{4};~ 0;~ \displaystyle \frac{\pi}{4};~\pi; ~ \displaystyle \frac{5\pi}{4};~2\pi.

Ответ:

а) \pi n, n\in Z, или \displaystyle \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z

б) -3\pi;~ \displaystyle \frac{-11\pi}{4};~ -2\pi; ~\displaystyle \frac{-7\pi}{4};~ -\pi ; ~\displaystyle \frac{-3\pi}{4};~ 0;~ \displaystyle \frac{\pi}{4};~\pi; ~ \displaystyle \frac{5\pi}{4};~2\pi.