Решение. Задание 14, Вариант 5

Условие задачи

Точка Р лежит на диаметре АВ сферы. При этом АР : РВ = 3 : 1. Через прямую АВ проведена плоскость α, а через точку Р – плоскость β, перпендикулярная АВ. Отрезок СD – общая хорда окружностей сечений сферы этими плоскостями, S – окружность пересечения сферы с плоскостью β, М – точка, лежащая на окружности S.
а) Докажите, что АМ = СD.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной М и основанием АВСD, если диаметр сферы равен 12, а М – наиболее удаленная от плоскости α точка окружности S.

Решение

Поскольку диаметр шара, которым является отрезок АВ, лежит в плоскости α, центр шара – точка О – также лежит в плоскости α.
Пусть Р – точка пересечения отрезков АВ и СD. Тогда Р∈α, Р ϵ β.
CD – диаметр окружности S, α∩β=CD.

Пусть α-плоскость чертежа.
Вспомним признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.
В нашем случае β⊥АВ — и значит, β⊥α.
Точка М лежит на окружности S. Покажем, что АМ = СD.

Треугольники АРМ и АРС равны по двум катетам, значит, АМ=АС.
Поскольку точка Р делит отрезок АВ в отношении 3:1, а точка О — середина АВ, точка Р является серединой ОВ.
, так как ОВ и ОС — радиусы шара.
В треугольнике ОРС катет ОР вдвое меньше гипотенузы ОС, поэтому ∠РСО=30°, ∠РОС=60°. Тогда ∠COD=120°=∠COA=∠AOD.
Равные дуги стягиваются равными хордами, AC=CD=AM и
∆ACD — правильный.

б) Пусть М — наиболее удалённая от плоскости α точка окружности S.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Наибольше возможное расстояние от точки М до плоскости α будет в случае, если проекцией точки М на плоскость α окажется точка Р. Тогда РМ ⊥α и длина отрезка РМ равна радиусу окружности S.

Найдем — объем пирамиды с основанием АВСD и высотой РМ.
Поскольку АВ ⊥СD – площадь четырехугольника ACBD, найдем как половину произведения его диагоналей.

По теореме о пересекающихся хордах, СР∙PD= АР∙ВР, отсюда

- как радиус окружности S.

Тогда

Ответ:

б) 108.