Условие задачи
Авторская задача. Решите неравенство: \(ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \displaystyle \frac{x+1}{x-2}.\)
Решение
Разложим \(x^2-x-2\) на множители: \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\).
\(ln(x+1)(x-2)-ln\displaystyle \frac{x+1}{x-2}\leq 1.\)
Найдем область допустимых значений неравенства:
\((x+1)(x-2)>0 \Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
x < -1, \\ x >2. \\
\end{gathered}
\right.\)
Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов с учетом ОДЗ. Неравенство равносильно системе:
\(\begin{cases}ln(x-2)^2\leq1,\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1, \\ x>2. \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\)
Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель \(log_{h}f-1\) заменяем на \((h-1)(f-h)\). Логарифм здесь натуральный, его основание равно \(e, \ e>1.\)
Получим:
\(\begin{cases}(x-2)^2-e\leq0,\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1, \\ x>2; \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-2)^2-(\sqrt{e})^2\leq0,\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1, \\ x>2; \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}(x-2-\sqrt{e})(x-2+\sqrt{e})\leq0,\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1, \\ x>2; \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-(2+\sqrt{e}))(x-(2-\sqrt{e}))\leq0,\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1, \\ x>2 .\\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\)
Отметим на числовой прямой точки \(2+\sqrt{e}\) и \(2-\sqrt{e}.\)
Очевидно, что \(2+\sqrt{e} >2.\) Но что больше, \(2-\sqrt{e}\) или \(-1\)?
Поскольку \(e<4\) и \(2=\sqrt{4}\), получаем, что \(2-\sqrt{e}>0 .\)
Значит, \(2-\sqrt{e}>-1. \)
Ответ:
\(\left (2;~2+\sqrt{e}\right].\)
