Решение. Задание 15, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача) Решите неравенство:
$ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \displaystyle \frac{x+1}{x-2}$

Решение

Разложим $x^2-x-2$ на множители: $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ .

$ln(x+1)(x-2)-ln\displaystyle \frac{x+1}{x-2}\leq 1$

Найдем область допустимых значений неравенства:

$(x+1)(x-2)>0 < = > \left[ \begin{gathered} x < -1; \\ x >2, \\ \end{gathered} \right.$

Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов с учетом ОДЗ. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases}ln(x-2)^2\leq1\\\left[ \begin{gathered} x<-1; \\ x>2 \\ \end{gathered} \right.\end{cases}$

Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель $log_{h}f-1$ заменяем на $(h-1)(f-h)$ . Логарифм здесь натуральный, его основание равно е, е>1.
Получим:

$\begin{cases}(x-2)^2-e\leq0\\\left[ \begin{gathered} x<-1; \\ x>2 \\ \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-2)^2-(\sqrt{e})^2\leq0\\\left[ \begin{gathered} x<-1; \\ x>2 \\ \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow$

$\begin{cases}(x-2-\sqrt{e})(x-2+\sqrt{e})\leq0\\\left[ \begin{gathered} x<-1; \\ x>2 \\ \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-(2+\sqrt{e}))(x-(2-\sqrt{e}))\leq0\\\left[ \begin{gathered} x<-1; \\ x>2 \\ \end{gathered} \right.\end{cases}$

Отметим на числовой прямой точки $2+\sqrt{e}$ и $2-\sqrt{e}$ . Очевидно, что $2+\sqrt{e} >2.$ Но что больше, $2-\sqrt{e}$ или -1?
Поскольку $e<4$ и $2=\sqrt{4}$ , получаем,что $2-\sqrt{e}>0$ .