Slider

Решение. Задание 15, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача) Решите неравенство:
ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \displaystyle \frac{x+1}{x-2}

Решение

Разложим x^2-x-2 на множители: x^2-x-2=(x+1)(x-2).

ln(x+1)(x-2)-ln\displaystyle \frac{x+1}{x-2}\leq 1

Найдем область допустимых значений неравенства:

(x+1)(x-2)>0  < = > \left[       \begin{gathered}         x < -1; \\         x >2, \\       \end{gathered} \right.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов с учетом ОДЗ. Неравенство равносильно системе:

\begin{cases}ln(x-2)^2\leq1\\\left[       \begin{gathered}        x<-1; \\         x>2 \\       \end{gathered} \right.\end{cases}

Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель log_{h}f-1 заменяем на (h-1)(f-h). Логарифм здесь натуральный, его основание равно е, е>1.
Получим:

\begin{cases}(x-2)^2-e\leq0\\\left[       \begin{gathered}        x<-1; \\         x>2 \\       \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-2)^2-(\sqrt{e})^2\leq0\\\left[       \begin{gathered}        x<-1; \\         x>2 \\       \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow

\begin{cases}(x-2-\sqrt{e})(x-2+\sqrt{e})\leq0\\\left[       \begin{gathered}        x<-1; \\         x>2 \\       \end{gathered} \right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-(2+\sqrt{e}))(x-(2-\sqrt{e}))\leq0\\\left[       \begin{gathered}        x<-1; \\         x>2 \\       \end{gathered} \right.\end{cases}

Отметим на числовой прямой точки 2+\sqrt{e} и 2-\sqrt{e}. Очевидно, что 2+\sqrt{e} >2. Но что больше, 2-\sqrt{e} или -1?
Поскольку e<4 и 2=\sqrt{4}, получаем,что 2-\sqrt{e}>0 .

Значит, 2-\sqrt{e}>-1.

Ответ:

(2;~2+\sqrt{e}]

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить