Условие задачи
(Авторская задача) Решите неравенство:
\(ln(x^2-x-2)\leq 1+ln \displaystyle \frac{x+1}{x-2}.\)
Решение
Разложим \(x^2-x-2\) на множители: \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\).
\(ln(x+1)(x-2)-ln\displaystyle \frac{x+1}{x-2}\leq 1.\)
Найдем область допустимых значений неравенства:
\((x+1)(x-2)>0 < = > \left[
\begin{gathered}
x < -1 \\
x >2 \\
\end{gathered}
\right..\)
Преобразуем левую часть неравенства по формуле разности логарифмов с учетом ОДЗ. Неравенство равносильно системе:
\(\begin{cases}ln(x-2)^2\leq1\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1 \\
x>2 \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}.\)
Первое неравенство упростим по методу замены множителя. Множитель \(log_{h}f-1\) заменяем на \((h-1)(f-h)\). Логарифм здесь натуральный, его основание равно е, е>1.
Получим:
\(\begin{cases}(x-2)^2-e\leq0\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1 \\
x>2 \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-2)^2-(\sqrt{e})^2\leq0\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1 \\
x>2 \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\)
\(\begin{cases}(x-2-\sqrt{e})(x-2+\sqrt{e})\leq0\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1 \\
x>2 \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(x-(2+\sqrt{e}))(x-(2-\sqrt{e}))\leq0\\
\left[
\begin{gathered}
x<-1 \\
x>2 \\
\end{gathered}
\right.\end{cases}.\)
Отметим на числовой прямой точки \(2+\sqrt{e}\) и \(2-\sqrt{e}\).
Очевидно, что \(2+\sqrt{e} >2.\) Но что больше, \(2-\sqrt{e}\) или -1?
Поскольку \(e<4\) и \(2=\sqrt{4}\), получаем,что \(2-\sqrt{e}>0 \).
Значит, \(2-\sqrt{e}>-1. \)
Ответ:
(\(2;~2+\sqrt{e}\)].
