Решение. Задание 16, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача) Четырехугольник АВСD вписан в окружность; лучи ВА и СD пересекаются в точке Р, углы ВРС и АСD равны 30°,

а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и ВD, если R = 2.

Решение

а) Пусть О – центр окружности, R – ее радиус.

а) Треугольник АСР – равнобедренный,

∠АСР= ∠АРС=30°, значит, ∠САР=120°, ∠ВАС=60°.

∠АОD=60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник АОD – правильный и AD=R.

По теореме синусов, Следовательно, , тогда и .

Мы получили, что для треугольника АОВ выполняется теорема Пифагора:

.

Значит, ∠АОВ=90°, ∠АСВ=45° ( как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ∠Р=30°, ∠С=75°, получим, что ∠АВС=180°- 30°-75°=75°.

Значит, ABCD – равнобокая трапеция и AD∥ВС.

б) Докажем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали BD трапеции АВСD. Пусть точка К – середина стороны DC. Тогда МК – средняя линия треугольника BDC. Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK – средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, то есть N – середина АС. Таким образом, отрезок MN – это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полуразности оснований.

Если то

Ответ: