Условие задачи
(Авторская задача) Четырехугольник АВСD вписан в окружность; лучи ВА и СD пересекаются в точке Р, углы ВРС и АСD равны 30°,
а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и ВD, если R = 2.
Решение
а) Пусть О – центр окружности, R – ее радиус.
а) Треугольник АСР – равнобедренный,
∠АСР= ∠АРС=30°, значит, ∠САР=120°, ∠ВАС=60°.
∠АОD=60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник АОD – правильный и AD=R.
По теореме синусов, Следовательно,
, тогда
и
.
Мы получили, что для треугольника АОВ выполняется теорема Пифагора:
.
Значит, ∠АОВ=90°, ∠АСВ=45° ( как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ∠Р=30°, ∠С=75°, получим, что ∠АВС=180°- 30°-75°=75°.
Значит, ABCD – равнобокая трапеция и AD∥ВС.
б) Докажем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.
Пусть точка М – середина диагонали BD трапеции АВСD. Пусть точка К – середина стороны DC. Тогда МК – средняя линия треугольника BDC. Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK – средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, то есть N – середина АС. Таким образом, отрезок MN – это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полуразности оснований.
Если то
Ответ:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Вариант 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 20.09.2023