Slider

Решение. Задание 16, Вариант 5

Условие задачи

(Авторская задача) Четырехугольник АВСD вписан в окружность; лучи ВА и СD пересекаются в точке Р, углы ВРС и АСD равны 30°, BC= \sqrt{\frac{3}{2}}AB.

а) Докажите, что ВС и AD параллельны.
б) Найдите длину отрезка, соединяющего середины АС и ВD, если R = 2.

Решение

а) Пусть О – центр окружности, R – ее радиус.

а) Треугольник АСР – равнобедренный,

∠АСР= ∠АРС=30°, значит, ∠САР=120°, ∠ВАС=60°.

∠АОD=60°, так как центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Тогда треугольник АОD – правильный и AD=R.

По теореме синусов, \displaystyle \frac{BC}{sin\angle A}=2R. Следовательно, \displaystyle \frac{2\cdot BC}{\sqrt{3}}=2R; BC=R\sqrt{3}, тогда \sqrt{\displaystyle \frac{3}{2}}AB=R\sqrt{3} и AB=R\sqrt{2} .

Мы получили, что для треугольника АОВ выполняется теорема
Пифагора:

AB^2=AO^2+OB^2.

Значит, ∠АОВ=90°, ∠АСВ=45° ( как вписанный, опирающийся на ту же дугу).
Из треугольника ВРС, где ∠Р=30°, ∠С=75°, получим, что ∠АВС=180°- 30°-75°=75°. Значит, ABCD – равнобокая трапеция и AD∥ВС.

б) Докажем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали BD трапеции АВСD. Пусть точка К – середина стороны DC. Тогда МК – средняя линия треугольника BDC. Пусть МК пересекает диагональ АС в точке N. Тогда NK – средняя линия треугольника ADC, поскольку проходит через середину стороны DC параллельно AD, то есть N – середина АС. Таким образом, отрезок MN – это разность средних линий треугольников BDC и ADC, и его длина равна полуразности оснований.

MN=\displaystyle \frac{BC-AD}{2}=\displaystyle \frac{R(\sqrt{3}-1)}{2}

Если R=2, то MN=\sqrt{3}-1.

Ответ:

MN=\sqrt{3}-1.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ПРОБНЫЕ ЕГЭ В ФЕВРАЛЕ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.