Условие задачи
Авторская задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 64 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на \(p\)% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите \(p\), если известно, что кредит будет полностью погашен за три года, причём в первый и второй год будет выплачено по 16000 рублей, а в третий год — 80 000 рублей.
Решение
Пусть \(S\) – сумма кредита; \(S=64\) тыс. рублей
\(Х=16\) тыс. рублей, \(Y=80\) тыс. рублей.
\(k=1+\displaystyle \frac{p}{100}\), где \(p\) – процент по кредиту. Составим уравнение для погашения кредита:
\(((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-Y=0;\)
\(((64k-16)\cdot k-16)\cdot k-80=0;\)
\(64k^3-16k^2-16k-80=0;\)
\(4k^3-k^2-k-5=0. \)
Мы получили уравнение третьей степени. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности кубов:
\((4k^3-4)-(k^2+k+1)=0;\)
\(4(k-1)(k^2+k+1)-(k^2+k+1)=0;\)
\((k^2+k+1)(4k-5)=0.\)
Поскольку \(k^2+k+1>0\) при всех \(k\), получим, что \(4k-5 =0.\)
Тогда \(k=\displaystyle \frac{5}{4}; \ p=25\% .\)
Ответ:
\(p=25\%. \)
