Условие задачи
Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем -24.
Решение
Чего не стоит делать в этой задаче? Не стоит строить график функции . Вместо этого сформулируем условие задачи немного по-другому.
Нам надо найти такие значения а, чтобы наименьшее значение функции f(x) было больше, чем - 24. Это значит, что все значения функции f(x) будут больше - 24. Другими словами, мы ищем такие значения параметра а, чтобы неравенство
выполнялось для любого х.
Запишем неравенство в виде:
Обозначим b = -4а:
Решим это неравенство графически. График правой части – прямая с угловым коэффициентом b, проходящая через точку (0; -24).
График левой части построить легко. Мы строим квадратичную параболу
. Эта функция равна нулю при х = 1 и х = 5, вершина параболы в точке с координатами (3; -4). Затем отражаем вверх часть параболы, лежащую ниже оси Х.
Выполнение неравенства для всех х означает, что весь график функции
лежит выше прямой у= bх- 24. Найдем, при каких значениях углового коэффициента b это происходит.
В точках А и В прямая у= bх- 24 касается графика функции . Поскольку точки А и В лежат выше оси Х, их ординаты положительны и в формуле функции
модуль раскрывается с «плюсом».
Запишем условия касания:
Подставив b = 2х – 6 в первое уравнение, получим: . Абсциссы точек А и В – это
и
.
В точке
В точке
Неравенство выполняется, если
Поскольку b = -4а, для а получим условие:
Это ответ.