Решение. Задание 18, Вариант 1

Условие задачи

Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=4ax+|x^2-6x+5|$ больше, чем -24.

Решение

Чего не стоит делать в этой задаче? Не стоит строить график функции $f(x)=4ax+|x^2-6x+5|$ . Вместо этого сформулируем условие задачи немного по-другому.

Нам надо найти такие значения а, чтобы наименьшее значение функции f(x) было больше, чем - 24. Это значит, что все значения функции f(x) будут больше - 24. Другими словами, мы ищем такие значения параметра а, чтобы неравенство

$4ax + |x^2- 6x + 5| > - 24$ выполнялось для любого х.

Запишем неравенство в виде:
$|x^2- 6x + 5| > - 4ax- 24.$ Обозначим b = -4а:

$|x^2- 6x + 5| > bx- 24.$

Решим это неравенство графически. График правой части – прямая с угловым коэффициентом b, проходящая через точку (0; -24).

График левой части построить легко. Мы строим квадратичную параболу
$y= x^2- 6x + 5$ . Эта функция равна нулю при х = 1 и х = 5, вершина параболы в точке с координатами (3; -4). Затем отражаем вверх часть параболы, лежащую ниже оси Х.

Выполнение неравенства $| x^2- 6x + 5|> bx- 24$ для всех х означает, что весь график функции $y= | x^2- 6x + 5 |$ лежит выше прямой у= bх- 24. Найдем, при каких значениях углового коэффициента b это происходит.

В точках А и В прямая у= bх- 24 касается графика функции $y= | x^2- 6x + 5 |$ . Поскольку точки А и В лежат выше оси Х, их ординаты положительны и в формуле функции
$y= | x^2- 6x + 5 |$ модуль раскрывается с «плюсом».
Запишем условия касания:

$\left\{\begin{matrix}x^2-6x+5=bx-24\\ 2x-6=b\end{matrix}\right.$