previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Вариант 5

Условие задачи

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

|(|x^2-6x+5|-x^2+6x-13)|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4

имеет единственное целое решение.

Решение

Преобразуем зависящее от x выражение в правой части неравенства, раскрыв скобки:

-(x-2)^2+2x-4=-x^2+4x-4+2x-4=-x^2+6x-8=

=-(x^2-6x+8).

Сделаем замену z=x^2-6x+5.

Тогда -x^2+6x-13=-(x^2-6x+13)=-(z+8).

Неравенство примет вид:

|(|z|-z-8)|+z<a-a^2-3.

Обозначим a-a^2-3=b.

|(|z|-z-8)|+z<b.

Оценим, какие значения может принимать z=x^2-6x+5. Выделим полный квадрат:

z=x^2-6x+5=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4\geq -4.

Заметим, что если х – целое, то z(x) – тоже целое.

Построим график функции y(z)=|(|z|-z-8)|+z при z≥-4.

y(z)=z+8 , если z\geq 0;

y(z)=3z+8, если z<0.

Функция y(z) монотонно возрастает, то есть каждое свое значение принимает ровно один раз.

Если b\in(-4; -1] , неравенство y(z) < b имеет единственное целое решение z=-4 .

Если b \leq -4 – решений нет.

Если b > -1 - неравенство имеет более одного целого решения z.

Если z=z_0  – решение неравенства, то все z<z_0  также будут решениями неравенства.

Мы получили, что если b\in(-4; -1] , то неравенство |(|z|-z-8)|+z < b имеет единственное целое решение z=-4 .

Если z=(x-3)^2-4=-4, то x=3, и значит, исходное неравенство также имеет единственное целое решение х=3.

Найдем, при каких a это произойдет.

Ответ:

a\in (\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2};\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}).

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 18, Вариант 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.09.2023