Решение. Задание 18, Вариант 5

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

$|(|x^2-6x+5|-x^2+6x-13)|<a-a^2-(x-2)^2+2x-4$

имеет единственное целое решение.

Решение

Преобразуем зависящее от х выражение в правой части неравенства, раскрыв скобки:

$-(x-2)^2+2x-4=-x^2+4x-4+2x-4=-x^2+6x-8=$

$=-(x^2-6x+8)$

Сделаем замену $z=x^2-6x+5$ .

Тогда $-x^2+6x-13=-(x^2-6x+13)=-(z+8)$ .

Неравенство примет вид:

$|(|z|-z-8)|+z<a-a^2-3.$

Обозначим $a-a^2-3=b.$

$|(|z|-z-8)|+z<b$

Оценим, какие значения может принимать $z=x^2-6x+5.$ Выделим полный квадрат:

$z=x^2-6x+5=x^2-6x+9-4=(x-3)^2-4\geq -4.$

Заметим, что если х – целое, то z(x) – тоже целое.

Построим график функции $y(z)=|(|z|-z-8)|+z$ при z≥-4.

$y(z)=z+8 ,$ если $z\geq 0,$

$y(z)=3z+8,$ если $z<0,$

Функция y(z) монотонно возрастает, то есть каждое свое значение принимает ровно один раз.

Если $b\in(-4; -1]$ , неравенство $y(z) < b$ имеет единственное целое решение $z=-4$ .

Если $b \leq -4$ – решений нет. Если $b > -1$ - неравенство имеет более одного целого решения z.
Если $z=z_0$ – решение неравенства, то все $z<z_0$ также будут решениями неравенства.

Мы получили, что если $b\in(-4; -1]$ , то неравенство $|(|z|-z-8)|+z < b$ имеет единственное целое решение $z=-4$ .

Если $z=(x-3)^2-4=-4$ , то $x=3$ , и значит, исходное неравенство также имеет единственное целое решение х=3.

Найдем, при каких а это произойдет.

Ответ:

$a\in (\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2};\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}).$

Решение. Задание 18, Вариант 5

Это полезно