Условие задачи
На доске написано число \(N = 2345623456.\)
а) Можно ли, приписав к числу \(N\) справа две цифры, получить в результате число, кратное 72?
б) Можно ли, приписав к числу \(N\) справа три цифры, получить в результате число, кратное 792?
в) Сколькими способами можно вычеркнуть из числа \(N\) две цифры так, чтобы полученное число делилось на 12?
Решение
а) Число делится на 72 в том и в только том случае, когда оно делится на 9 и на 8 одновременно. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр, а на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится число, составленное из трех его последних цифр.
Сумма цифр числа \(N\) равна 40.
Припишем к \(N\) цифры 3 и 2. Тогда сумма цифр полученного числа равна 45, а число, составленное из трех его последних цифр, – это 632. Таким образом, условия делимости на 72 выполнены.
б) Число делится на 729 тогда и только тогда, когда оно делится на 8, на 9 и на 11.
Вспомним признак делимости на 11: суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Легко проверить, что в числе \(N\) суммы цифр на четных и на нечетных позициях равны:
\(2 + 4 + 6 + 3 + 5 = 3 + 5 + 2 + 4 + 6.\)
Значит, само число \(N\) делится на 11. Припишем к нему три цифры \(a, \ b\) и \(c\).
Необходимо выполнение условий:
— число, составленное из цифр \(a, \ b\) и \(c\), должно делиться на 8;
— сумма \(a+ b+c\) равна 5, 14 или 23 – словом, при делении на 9 должна давать остаток 5;
— \(b = a + c\) (или же разность \(a + c - b\) делится на 11).
Подходит число 176.
в) Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр была кратна 3, а число, составленное из двух последних цифр, было кратно 4.
Заметим, что вычеркивать последнюю цифру, 6, нельзя: чтобы число осталось четным, нужно будет вычеркнуть и предпоследнюю 5, после чего оставшееся число не будет делиться на 3.
Вычеркивать предпоследнюю цифру, 5, тоже нельзя: чтобы число было кратно 4, нужно будет вычеркивать и третью с конца 4, но тогда результат не будет делиться на 3.
Таким образом, последними цифрами остаются 5 и 6. При этом условие делимости на 4 выполняется.
Осталось условие делимости на 3. Поскольку сумма цифр числа \(N\) равна 40, сумма двух вычеркнутых цифр должна быть равна 4, 7 или 10 – то есть при делении на 3 давать остаток 1. Значения меньшие 4 или большие 10 в условиях задачи невозможны.
Получить 4 можно, вычеркнув две двойки (единственным способом).
Получить 7 – вычеркнув комбинацию «2; 5» или «3; 4». Комбинацию «2; 5» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку предпоследнюю пятерку мы не трогаем и вместе с остающейся пятеркой можем взять одну из двух двоек.
Для комбинации «3; 4» возможны 4 способа.
Наконец, пару «4; 6» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку мы не трогаем последнюю шестерку.
Всего получается 9 способов.
* Авторская задача Антона Акимова
Ответ:
а) Нет.
б)176.
в)9.
